¡Descarga La Función Delta de Dirac y más Esquemas y mapas conceptuales en PDF de Física solo en Docsity!
La Función Delta de Dirac
Fernando Andino, Marlon Recarte, Michael Spilsbury
Universidad Nacional Autónoma de Honduras en el Valle de Sula
Abstract
La función de Dirac presenta propiedades verdaderamente útiles para modelar problemas de la física – matemática. Se presenta un resumen detallado de las principales características y propiedades de dicha ”función”, argumentándose la validez de las mismas.
Palabras clave: Función de Dirac, Delta de Dirac, Distribuciones
The Dirac function has properties truly useful to model problems in physics and mathematics. This document includes a detailed overview of the main characteristics and properties of the function, arguing the validity of them.
Keywords: Dirac function, Delta function, Distributions
I. Definición
L
a función δ de Dirac no es propiamente una función, es una distribución o fun- ción generalizada (localmente integrable) introducida por primera vez por el físico ingles Paul Dirac quien la denomino como función impropia, desde el punto de vista matemático, requiere el uso de la teoría de distribuciones desarrollada por Laurent Schwartz (1940) e introducidas anteriormente de forma indepen- diente por Sergéi Sóbolev (1935). Puede expresarse como limite de una sucesión de funciones, lo que permite dar una idea in- tuitiva y operativa de la misma. Esta función constituye una aproximación muy útil para funciones pulso o función de impulso y repre- senta igual tipo de abstracción matemática que el de una carga o masa puntual, permitiendo definir las derivadas generalizadas de funciones discontinuas. En física esta función es muy útil ya que per- mite expresar magnitudes singulares en un punto como límite de magnitudes continuas, se usa para representar la distribución de den- sidad de una masa unidad concentrada en un punto. La delta de Dirac es introducida para represen- tar cierto tipo de infinitos y sus argumentos son variables reales. Para manejar estos infini- tos con una notación rigurosa introducimos la
cantidad δ que depende de un parámetro x y satisface las condiciones:
δ(x) =
0 six 6 = 0 ∞ six = 0 ∫ (^) ∞
−∞
δ(x)dx = 1
Figure 1: Representación de la delta de Dirac
Si queremos tener una imagen rigurosa de δ, consideremos una función de variable real x que sea nula fuera de un pequeño dominio de amplitud alrededor del origen x = 0 y que en el interior de este dominio sea igual a uno. No importa la forma exacta de la función en el interior de este dominio, con tal que no sufra en él variaciones innecesariamente bruscas. Tomando el límite para → 0 , esta función tenderá a confundirse con δ.
δ(x) no es una función de x según la definición matemática ordinaria de función (que le exige tener un valor definido para cada punto de su dominio) sino algo mas general que llamaremos función impropia. Para destacar su diferencia con las funciones definidas de modo ordinario. Por tanto, δ(x) no es un cantidad que pueda usarse en análisis matemático con tanta gen- eralidad como las funciones ordinarias, y su uso debe restringirse a cierto tipos de expre- siones sencillas para las que sea evidente que no pueda dar lugar a inconsecuencias lógicas.
II. Propiedades
La propiedad más importante de δ(x) puede expresarse con la siguiente ecuación, ∫ (^) ∞
−∞
f (x)δ(x)dx = f ( 0 )
Figure 2
en la que f (x) es cualquier función continua de x. Es fácil ver la validez de esta ecuación a partir de la imagen de δ(x) que acabamos de dar. El primer miembro de la ecuación anterior sólo puede depender de los valores muy próximos al origen, de forma que sin error notable podemos sustituir f (x) por su valor en el origen f ( 0 ). Esto resulta como consecuencia de la definición. Si hacemos el cambio en el origen en la ecuación ∫ (^) ∞
−∞
f (x)δ(x)dx = f ( 0 )
entonces podemos deducir la fórmula ∫ (^) ∞
−∞
f (x)δ(x − a)dx = f (a)
en la que a es un número real cualquiera. Luego el resultado de multiplicar una función de x por δ(x − a) e integrar para todo x es equivalente
Figure 3
a sustituir x por a. Este resultado general es válido aunque la función de x no sea una fun- ción numérica, sino un vector o un operador lineal dependiente de x. El intervalo de inte- gración en las fórmulas anteriores no ha de ser necesariamente de −∞ a ∞, sino que puede ser cualquier dominio que incluya el punto crítico en el que la función δ no se anula. Podemos definir la función δ todavía de otro modo, como la derivada u′(x) de la función u(x) definida así:
u(x) =
0 x < 0 1 x > 0 Para comprobar que esta nueva definición es equivalente a la anterior haremos lo siguiente: Sean a y b dos números positivos cualquiera
∫ (^) b
− a
f (x)δ(x)dx =
∫ (^) b
− a
f (x)u′(x)dx
Al integrar por partes
∫ (^) b
− a
f (x)u′(x)dx = f (x)u(x)
b
− a
−
∫ (^) b
− a
f ′(x)u(x)dx
= f (b) −
∫ (^) b
0
f ′(x)dx
= f (b) − [f (b) − f ( 0 )] = f ( 0 ) De acuerdo a esto la función δ aparece al derivar una función discontinua. Algunas ecuaciones elementales se pueden es- cribir con la función δ siendo esencialmente reglas de manipulación para desarrollos alge- braicos. Estas ecuaciones dan el mismo resul- tado en sus dos miembros y se utilizan como factores en un integrando.
δ [ f ( x )] =
i
∣∣^ df dx
( xi )
δ ( x − xi ) Si f (x)
es una función continua con x i raíces tal que f (x i ) = 0. Sea g(x) una función arbitraria, entonces (^) ∫ (^) ∞
−∞
g(x)δ[f (x)]dx
Tomando la serie de Taylor de la función f (x) alrededor de la raíz x i tenemos:
f (x) = f (x i ) +
f ′(x i ) 1! (x^ −^ x i )
f ′′(x i ) 2!
(x − x i )^2 + · · ·
∑^ ∞
n = 0
f n (x i ) n! (x^ −^ x i )
n
Donde el termino f (x i ) = 0 y los términos (x − x i ) n^ de orden n > 1 son despreciables, quedando únicamente el término f ′(x i )(x − x i ), por lo cual
∫ (^) ∞
−∞
g(x)δ[f (x)]dx
i
−∞
g(x)δ[f ′(x i )(x − x i )]dx
−∞
g(x)
i
[
∣∣f ′(x i )
δ(x − x i )
]
dx
III. Aplicaciones
I. Representaciones
Los siguientes tres ejemplos constituyen repre- sentaciones de la delta de Dirac.
δ(x) = (^) n lim→∞ √^ n π
e− n^2 x^2
δ(x) = (^) n lim→∞^ sin(nx) πx
δ(x) = (^) n lim→∞
n π
1 + n^2 x^2 Todas ellas satisfacen
n^ lim→∞
−∞
f n (x)g(x) = g( 0 )
Figure 4
2
4
6
Figure 5
Figure 6
Es importante tener presente que en el uso de las representaciones, las integrales se realizan primero y luego se toma el límite n → ∞. El orden no conmuta. En muchas aplicaciones de la física nos encon- traremos con las siguientes representaciones equivalentes de la delta:
δ(x) = (^) n lim→∞
sin(nx) πx = (^) n lim→∞
2 π
∫ (^) n
− n
e ixt dt
2 π
−∞
e ixt dt
δ(x − x′) =
2 π
−∞
e i ( x − x
′) t dt
δ(x − x′) = (^) n lim→∞
sin(n(x − x′)) π(x − x′)
δ(x − x′) = (^) n lim→∞
n π
1 + n^2 (x − x′)^2
II. Derivada de la función delta
Notemos el comportamiento de las derivadas de las representaciones de la función delta
n^ lim→∞
d dx
√n π e
− n^2 x^2
Ver figura 7
Figure 7
n^ lim→∞
d dx
sin(nx) πx
Ver figura 8
Figure 8
n^ lim→∞
d dx
n π
1 + n^2 x^2
Ver figura 9
Figure 9
III. Representaciones utilizando fun-
ciones ortogonales
Si ~e(x) es ortogonal a ~e(x′) entonces
δ(x − x′) = eee(x) · eee(x′)
=
n
w(x)w(x′) E n^2 Ψ n (x)Ψ
∗ n (x
donde
E n^2 =
I
Ψ^2 n (x)w(x)dx
En la siguiente tabla se presentan algunos poli- nomios ortogonales y sus características
δ(x − x′) =
∑^ ∞
k = 0
k +
P k (x)P k (x′)
Si consideramos x′^ = 0 entonces
La correspondiente función de Dirac es
δ(~r − r~ 0 ) = 1 ρ
δ(ρ − ρ 0 )δ(φ − φ 0 )δ(z − z 0 )
δ(~r − r~ 0 ) =
2 πρ
δ(ρ − ρ 0 )δ(z − z 0 )
δ(~r − r~ 0 ) = 1 2 πρ
δ(ρ − ρ 0 )
VII. Divergencia de rr ˆ 2
Consideremos la función vectorial ~v = (^) rr ˆ 2. Al calcular la divergencia de ~v obtenemos
∇ · ~v =
r^2
∂r
r^2
r^2
r^2
∂r
Por otro lado si calculamos el flujo de V sobre una esfera de radio R centrada en el origen tenemos
∮ ~v · d~a =
∫ (^
rˆ R^2
· (R^2 sin(θ)dθdφ rˆ) = 4 π
Usando lo anterior y el teorema de la divergen- cia se tiene una paradoja ∫ ∇ · ~vdτ =
~v · d~a
Por lo que podemos definir
rˆ r^2
= 4 πδ^3 (~r)
Además
r
= − rˆ r^2
Entonces
∇^2
r
= − 4 πδ^3 (~r)
References
[1] Arfken and Weber. Mathematical Methods for Physicists. Elseiver Academic Press,
[2] Paul Dirac. Principios de mecánica cuán- tica. Ediciones Ariel, 1958.
[3] David J. Griffiths. Introduction to Quan- tum Mechanics. Pearson Prentice Hall,
[4] Hoskins. Delta Functions Introduction to Generalised Functions. Woodhead Publish- ing, 2009.
[5] Jackson. Classical electrodynamics. John Wiley and Sons, 1962.
[6] Morse and Feshbach. Methods of Theoreti- cal Physics Vol 1. McGraw Hill, 1953.
