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Resumen
Delta de Dirac
FCFM Javier Alejandro Carrasco Ávila ([email protected])
2015 Enero
1 Definición
A la función (generalizada) delta de Dirac se le suele llamar distrubución delta, pues, nos referiremos a un delta de Dirac como a aquel objeto matemático que posee ciertas propiedades y cuyo sentido (y utilidad) aparece al aplicarse sobre integrales en el integrando.
Definición Simbólica (Delta de Dirac)
Simbólicamente, un delta de Dirac es una función
δ : R −→ { 0 , ∞}
x 7 −→ δ(x) =
0 , si x 6 = 0 ∞, si x = 0
tal que ∀a, b ∈ R, a < 0 < b,
∫ (^) b
a
δ(x)dx = 1
Nota
Es importante notar que δ no es una función en el sentido del cálculo habitual, y por lo tanto, tener en cuenta que cada vez que se hable de función delta de Dirac, hablamos de una función generalizada (cuya de nición formal no corresponde a la recién mostra- da).
Notemos que, en particular, haciendo a → −∞ y b → ∞, se cumple ∫ (^) ∞
−∞
δ(x)dx = 1
La razón importante de tener en cuenta esta de ni- ción o representación simbólica, es que, nos recuerda que no nos interesa el signi cado de un delta de Di- rac como función generalizada, si no que la acción que ejerce sobre integrales, de hecho, la propiedad más importante que se utilizará de un delta de Dirac es fácil de obtener a partir de esta de nición simbó- lica, y es la que se muestra a continuación.
Propiedad de Selectividad
Sea f : R → R una función contínua. Entonces:
∫ (^) b
a
δ(x)f (x)dx = f (0), ∀a, b ∈ R, a < 0 < b
Se debe tener en cuenta que no existe una represen- tación general que cumpla las propiedades mencio- nadas de δ para cualquier a, b ∈ R, luego, cada vez que escribamos δ estamos aceptando que hablamos de cualquier representación formal que cumpla estas propiedades en los intervalos [a, b] jados previamen- te implícitamente, es decir, cuando anotemos varias veces un delta de Dirac, no necesariamente corres- ponderán al mismo. Esto no produce confusión ya
que, como se dijo, no nos interesará la representa- ción explícita de δ, sino su acción al integrar en los intervalos que necesitemos.
Un caso particular de la propiedad de selectividad se tiene considerando a → −∞ ∧ b → ∞: ∫ (^) ∞
−∞
δ(x)f (x)dx = f (0)
Para una de nición completamente formal de un delta de Dirac, es necesario conocer conceptos de la teoría de distribuciones (funciones generalizadas), sin embargo, existe la alternativa de utilizar límites de sucesiones de funciones para obtener una buena representación matemática.
Definición (Sucesión Delta) Sea f : R → R una función contínua. Una sucesión delta (o secuencia delta) es cualquier sucesión de funciones {φn(x)}n∈N con dominio y recorrido real que cumple:
∃a, b ∈ R, a < 0 < b, l´ım n→∞
∫ (^) b
a
φn(x)f (x)dx = f (0)
A diferencia de la de nición simbólica dada para un delta de Dirac, las sucesiones deltas, sí existen (y al menos una para cada par de valores a, b ∈ R) y son una buena forma de representar un delta de Dirac, ya que, en conjunto, cumplen las propiedades que deseamos y que exigimos en nuestra de nición idea- lizada anterior. De hecho, notemos que, considerando el caso particular en que f (x) ≡ 1 , obtenemos:
l´ım n→∞
∫ (^) b
a
φn(x)dx = 1
Además, existen sucesiones delta que cumplen lo mencionado para el caso en que a → −∞ ∧ b → ∞, es decir, que cumplen:
l´ım n→∞
−∞
φn(x)f (x)dx = f (0)
l´ım n→∞
−∞
φn(x)dx = 1
Algunas sucesiones delta construídas a partir de fun- ciones diferenciables son: φn(x) = nπ1+n^12 x 2
φn(x) = √nπ e−n (^2) x 2
φn(x) = (^) nπ^1 sin
(^2) (nx) x^2 Notemos que la segunda corresponde a la densidad de una distribución de probabilidad normal (distri- bución Gaussiana).
Éstas son sucesiones delta con a → −∞ ∧ b → ∞, y además, tienen la particularidad de que cumplen:
∫ (^) ∞
−∞
φn(x)dx = 1
es decir, su integral se encuentra normalizada (sin necesidad de hacer n → ∞).
Nota
Una sucesión delta no converge a una función del- ta. De hecho, las tres sucesiones delta presentadas explícitamente, divergen (recordar que estamos en el contexto de límites de sucesiones de funciones, es de- cir, en el de los espacios de funciones, luego, lo que se debe comprobar es que no existe convergencia unifor- me). En efecto, es fácil ver que ni siquiera se cumple la convergencia puntual (o simple), entonces, no se cumple la convergencia uniforme [(conv. uniforme ⇒ conv. puntual)⇔(no conv. puntual ⇒ no conv. uni- forme)].
En lo que sigue, siempre se considerarán, solo los ca- sos en que a → −∞ y b → ∞, de forma implícita. No obstante, se debe tener en consideración, que lo escrito será válido para los casos en que se reempla- cen los límites de las integrales inde nidas por a y b tal cual como se mostró en esta sección, con el cui- dado de que, en algunos casos, pueden ser necesarias ciertas condiciones adicionales o modi car algunas de estas.
2 Propiedades
En la sección anterior se mencionó la importantísi- ma propiedad de selectividad. Ahora veremos otras propiedades muy útiles de un delta de Dirac.
Definición (Función Escalón de Heaviside)
La función escalón de Heaviside (o función es- calón unitario) es aquella función con dominio real de nida por:
H(x) =
0 , si x < 0 1 , si x ≥ 0
Notación
Cuando escribamos g 1 (x)δ(h 1 (x)) = g 2 (x)δ(h 2 (x)), con g 1 , g 2 , h 1 , h 2 funciones de R en R cualesquiera, tales que g 1 , g 2 sean no nulas, nos referiremos a que se cumple la igualdad: ∫ (^) ∞
−∞
g 1 (x)δ(h 1 (x))f (x)dx =
−∞
g 2 (x)δ(h 2 (x))f (x)dx
para toda función f : R → R contínua.
En la notación recién indicada, se excluyen los casos en que g 1 ∨ g 2 son nulos debido a que, como se verá más adelante, existe un caso especí co en que no
se requiere que la función f sea contínua, lo cual es muy importante tener en consideración, ya que se utilizará la misma notación recién señalada pero signi carán cosas levemente distintas (son otras las exigencias de la función f ). Propiedad
δ(x) =
dH(x) dx
Una demostración informal se puede lograr conside- rando una sucesión delta φn(x) y veri cando que l´ım n→∞ Φn(x) = H(x)
donde Φn(x) =
∫ (^) x
−∞
φn(ξ)dξ
Cualquier demostración formal de esta u otra propie- dad de un delta de Dirac, requerirá, naturalmente, la aplicación de fundamentos de la teoría de funciones generalizadas (a menos que se pueda demostrar a partir de propiedades ya conocidas). Propiedad Sea f : R → R una función m-diferenciable. Enton- ces: ∫ (^) ∞
−∞
dmδ(x) dxm^
f (x)dx = (−1)m^
dmf (0) dxm
Notemos que lo anterior se representa mediante la expresión
l´ım n→∞
−∞
dmφn(x) dxm^ f (x)dx = (−1)m^
dmf (0) dxm
que exige que φn(x) sea diferenciable m veces y que: ∫ (^) ∞
−∞
dkφn(x) dxk^
f (x)dx < ∞, ∀n ∈ N ∧ ∀k ∈ { 0 , ..., m}
Propiedad Si f : R → R es una función contínua en x = 0 o si satisface que l´ımx→ 0 xf (x) = 0, entonces: ∫ (^) ∞
−∞
xδ(x)f (x)dx = 0
Esto se resume en la notación xδ(x) = 0.
Notemos que la propiedad anterior no exige que f sea contínua. Propiedad (Selectividad Cambiada)
δ(x − a) =
d dx
H(x − a)
es decir, ∀f : R → R función contínua, ∫ (^) ∞
−∞
δ(x − a)f (x)dx = f (a)
expresión más práctica.
Representación Integral
δ(x) =
2 π
−∞
eikxdk
Nota
Ambas representaciones mencionadas resultan ser, respectivamente, una serie divergente y una integral divergente, lo cual no nos debe sorprender, pues, si fueran expresiones convergentes, sería posible de nir un delta de Dirac como una función en el sentido del Cálculo habitual, lo cual no es el caso (y por ello se debe de nir como una función generalizada).
Hagamos una leve modi cación a la representación integral y consideremos la función
ψa(x) =
2 π
−∞
e−a
(^2) k 2 eikxdk, a 6 = 0
En este caso, el factor de convergencia ea
(^2) k 2 hace a la integral convergente (de allí el nombre); y dado que la función eikx^ es uniformemente contínua, se tiene que
l´ım a→ 0 ψa(x) =
2 π
−∞
eikxdk = δ(x)
Pero, ψa(x) puede ser calculada y evaluada muy fá- cilmente. En efecto, completando cuadrados, se ob- tiene la expresión
ψa(x) =
2 π
e
−x^2 4 a^2
−∞
e−(ak+^ 2 xai )^2 dk
y la integral es trivialmente calculada al considerar el c.v. u = ak + 2 xai que implica du = adk y recor-
dando el conocido resultado
−∞ e
−u^2 du = √π, con
lo que se obtiene
ψa(x) =
2 a
π
e
−x^2 4 a^2
que no es más que la densidad de una distribución de probabilidad Gaussiana (notemos que, haciendo el c.v. n = (^21) a , se obtiene la segunda sucesión delta presentada a modo de ejemplo en la sección 2), por lo que no debe sorprender el resultado ∫ (^) ∞
−∞
ψa(x)dx = 1, ∀a ∈ R
por lo que es de esperar, y puede ser probado rigu- rosamente, que
l´ım a→ 0
−∞
ψa(x)f (x)dx = f (0)
para toda función de "comportamiento razonable- mente bueno" f (x) (para mayor precisión es ne- cesario adentrarse en la teoría de distribuciones). Bastará que f sea diferenciable en x = 0.
Nuestro análisis, nos lleva a concluir que, si primero se desarrolla la integral respecto a x, para una gran variedad de funciones f (x), se cumple la igualdad
1 2 π
−∞
−∞
eikxf (x)dkdx = f (0)
que es, básicamente, escribir de forma sorprendente la propiedad de selectividad: ∫ (^) ∞
−∞
δ(x)f (x)dx = f (0)
A continuación, consideremos un pulso rectangular positivo normalizado P (^) τ+ (t − t 0 ).
Definición (Función Pulso) (2) Sea τ ∈ (0, ∞). Sea t 0 > 0. El pulso rectangular positivo normalizado es la función real:
P (^) τ+ (t − t 0 ) =
0 , si 0 ≤ t ≤ t 0 1 τ ,^ si^ t^0 < t < t^0 +^ τ 0 , si t ≥ t 0 + τ Nota Existen muchas formas posibles de de nir funciones pulso. Para uso exclusivo de este texto, se de nieron las 2 ya presentadas, pues son adecuadas al contexto y entregan claridad. Por ejemplo, la segunda función pulso no se encuentra de nida para valores negati- vos, lo cual es adecuado al contexto de la transforma- da de Laplace, que se de ne sólo para el semiespacio positivo. Además, el concepto de normalizado puede referirse a que el área es 1 (como en nuestro caso) o a que la función toma el valor 1. También note- mos que un pulso no tiene por qué ser rectangular (en el primer caso se de nió como uno rectangular sin mencionarse en el nombre). Por estas razones, se debe tener algo de precaución al leer desarrollos ma- temáticos que involucren este tipo de funciones.
Notemos que la transformada de Laplace del pulso P (^) τ+ (t − t 0 ) es
L
[
P (^) τ+ (t − t 0 )
]
(s) =
∫ (^) t 0 +τ
t 0
τ
e−stdt = e−st^0
1 − e−sτ sτ
Luego, basta ver que
l´ım τ → 0
P (^) τ+ (t − t 0 ) = δ(t − t 0 )
y que l´ım τ → 0
1 − e−sτ sτ
para concluir el valor de la transformada de Laplace de un delta de Dirac. Representación en Transformada de Laplace
L [δ(t − t 0 )] (s) = e−st^0 , ∀t > 0
Importante!
Al considerar t 0 = 0, se obtiene L [δ(t)] (s) = 1, sin embargo, en este caso (t 0 = 0), la distribución del- ta no es exactamente la misma que la de nida en el intervalo (−∞, ∞). Por ejemplo, no podríamos decir que δ(t) (construida de esta forma) es una función (generalizada) par, dado que en la teoría de las trans- formadas de Laplace, todas las funciones se asumen cero para t < 0. Con δ(t) construida así, obtendría- mos lo que podría llamarse "la mitad de la distri- bución delta original". Una consecuencia práctica es que, en este caso, la propiedad de selectividad cam- biaría a: (^) ∫ (^) ∞
0
δ(t)f (t)dt = f (0 + 0)
Esto es algo que vale la pena recordar ya que, en muchos problemas que involucran transformadas de Laplace, el valor f (0) no es posible de nirlo.
Por último, notemos que se puede dar sentido a la transformada de Fourier de un delta de Dirac:
F [δ(x − a)] (λ) :=
2 π
−∞
δ(x−a)e−iλxdx, a ∈ R
donde la igualdad es por la de nición de la trans- formada de Fourier. Pero aquí podemos usar di- rectamente la propiedad de selectividad cambiada, obteniendo la nueva representación deseada.
Representación en Transformada de Fourier (1)
F [δ(x − a)] (λ) =
e−iλa √ 2 π
, ∀a ∈ R
Notemos que un caso particular, es el de a = 0, que nos dice que
F [δ(x)] (λ) =
e−iλ^0 √ 2 π
2 π
También podemos aplicar la antitransformada de Fourier (o transformada inversa de Fourier), resul- tando
F−^1
[
e−iλa
]
(x) =
2 πδ(x − a), ∀a ∈ R,
por lo que se tiene:
δ(x−a) =
2 π
−∞
e−iλaeiλxdλ =
2 π
−∞
e−iξaeiξxdξ
Luego, haciendo el c.v. x = −λ, se obtiene
δ(−λ − a) =
2 π
−∞
e−iξae−iξλdξ,
lo que, junto con el hecho de que δ(−λ−a) = δ(λ+a) (paridad), nos lleva a la expresión
F
[
e−iξa
]
(λ) =
2 πδ(λ + a), ∀a ∈ R
Nota Hemos considerado las transformadas y antitransfor- madas de Fourier con coe cientes √^12 π para ambas, sin embargo, es común usar una de nición alternati- va con coe cientes 1 y (^21) π respectivamente, en cuyo caso, las relaciones presentadas cambian a las expre- siones que se muestran a continuación. Representación en Transformada de Fourier (2)
F [δ(x − a)] (λ) = e−iλa, ∀a ∈ R y además,
F
[
e−iξa
]
(λ) = δ(λ + a), ∀a ∈ R
Estos resultados se obtienen de forma idéntica a los anteriores, simplemente usando las de niciones al- ternativas de transformadas y antitransformadas de Fourier mencionadas.
4 Extensión a Rn
Sea ~r ∈ Rn^ un vector n-dimensional. Si, al represen- tarse en coordenadas cartesianas, el vector se escribe
~r =
∑^ n
i=
xi ˆxi
entonces, su delta de Dirac se de ne
δ(~r) ≡
∏^ n
i=
δ(xi)
y así, la integración se realiza de forma independien- te en cada dimensión.
Notemos que se obtiene el resultado: ∫ δ(~r)dV = 1
Ahora, consideremos un sistema de coordenadas dis- tinto al cartesiano de nido por las relaciones (que deben ser invertibles):
Relaciones Directas: ui = ui(x 1 , ..., xn), ∀i = 1, ..., n Relaciones Inversas: xi = xi(u 1 , ..., un), ∀i = 1, ..., n
Dado que, el diferencial de volumen es
dV = dx 1 · · · dxn = |det (J)| du 1 · · · dun,
donde J es el Jacobiano de la transformación, que en tres dimensiones se escribe
JR 3 ≡
∂x 1 ∂u 1
∂x 2 ∂u 1
∂x 3 ∂u 1 ∂x 1 ∂u 2
∂x 2 ∂u 2
∂x 3 ∂u 2 ∂x 1 ∂u 3
∂x 2 ∂u 3
∂x 3 ∂u 3
