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DEMOSTRACIÓN MATEMÁTICA EN EL PROCESO ENSEÑANZA-APRENDIZAJE
Resumen El presente documento aborda la importancia que tiene la historia matemática en la educación, y el papel que juega tanto la lógica como la intuición en el proceso enseñanza- aprendizaje de una demostración matemática. Partiendo que la enseñanza de las matemáticas ha sido vista desde un modelo tradicional, ocasionando ello, a que las matemáticas se limiten a ser enseñadas de manera formal, compleja y rigurosa, dejando así de lado la intuición o el “poder intuitivo” de los individuos, el cual se lo relaciona con un proceso creativo, que permite dar los primeros pasos para llevar a cabo una construcción, en este caso la de una demostración matemática. De igual manera, se presenta el valor significativo y primordial que tiene la demostración dentro de las matemáticas, pues esta, además de recurrir a la intuición y la lógica, permite conocer que un argumento dado es verdadero, y así que las teorías que estructuran la matemática también lo son. Palabras clave: intuición, lógica, enseñanza, aprendizaje, historia de las matemáticas, demostración matemática.
Abstract This document addresses the importance of mathematical history in education, and the role that both logic and intuition play in the teaching-learning process of a mathematical demonstration. On the basis that the teaching of mathematics has been seen from a traditional model, causing it, that mathematics is limited to being taught in a formal, complex and rigorous way, thus leaving aside the intuition or the "intuitive power" of individuals, which is related to a creative process, which allows to take the first steps to carry out a construction, in this case that of a mathematical demonstration. In the same way, the significant and primordial value that demonstration has in mathematics is presented, since this, in addition to resorting to intuition and logic, allows us to know that a given argument is true, and so the theories that structure the Mathematics are too. Keywords: intuition, logic, teaching, learning, match history, mathematical demonstration.
La Historia de las Matemáticas en la Enseñanza y Aprendizaje La historia de las matemáticas dentro de la educación permite que tanto profesores como estudiantes tengan conocimiento de las cuestiones que dieron origen a diversos conceptos que conforman las matemáticas. De esta manera, la historia da a conocer cómo y dónde nacieron los objetos y/o ramas que conforman las matemáticas, permitiendo ello, entender que estas tal y como las conocemos hoy en día tuvieron que ser sometidas a debates y pruebas, y que no están “ahí” por estar, sino que debieron pasar por una comunidad matemática y por diversos aportes para poder existir, y además estas al ser una ciencia están en cabida para nuevos descubrimientos. También, la historia da a conocer la importancia que tuvo la intuición para el descubrimiento matemático, pues personajes reconocidos como Euclides hicieron uso del “poder intuitivo” para generar aportes matemáticos, que, desde la época hasta la actualidad son usados para la enseñanza, un claro ejemplo de ello es, los Elementos de Euclides. El hecho de mostrar a los alumnos el cómo surgieron las matemáticas a lo largo del tiempo, y por supuesto sus creadores, conlleva a decir que las matemáticas provienen de una actividad humana constructivista, la cual al estar activa admitiendo nuevos descubrimientos, permite a que hombres y mujeres puedan ser capaces de hacer cosas nuevas, dando esto la oportunidad de tener nuevas mentes brillantes. De igual manera, es importante mencionar, que la historia matemática proviene desde la prehistoria, donde las matemáticas surgieron por necesidades humanas, como, por ejemplo, la necesidad de contar para poder llevar a cabo un control de sus pertenencias, esto es la aparición de los números naturales; del mismo modo en civilizaciones antiguas como, Babilonia, Egipto,
India, Mesopotamia, Grecia, entre otras, las matemáticas surgieron a partir de necesidades o actividades cotidianas, como fueron, el trabajo en el campo, comercio, prácticas de rituales y cultos, también, de problemas matemáticos como fue el problema de la cuadratura del círculo, en donde la geometría jugo un papel muy importante. Con esto se pretende enseñar que las matemáticas han existido siempre en la vida del ser humano, y que a través del tiempo han surgido nuevos aportes que han permitido apreciar la belleza de esta ciencia. Ahora bien, dado que la enseñanza de las matemáticas se ha visto sumergida en un nivel de tradicionalismo muy alto, ha limitado a que los conceptos sean dados de una manera formal, cerrada y sin cabida a la imaginación, proporcionando así a que los estudiantes sean poco creativos y vean las matemáticas como algo complejo y aburrido, de aquí que: Los conceptos y las ideas matemáticas que se tratan en la Enseñanza Secundaria, son presentados a los alumnos de una forma cerrada y acabada. Se olvida que han surgido después de un largo proceso de gestación, en las que las intuiciones más fecundas con otras estériles, han configurado sus presentaciones sucesivas. A lo largo de la Historia, estas ideas han sido generadas por diversos tipos de problemas, prácticos o teóricos, pertenecientes a la propia matemática o a otras disciplinas. El conocimiento de estos problemas, y el estudio de la evolución de su tratamiento y de los nuevos problemas que han generado, proporciona los fundamentos para la comprensión de las ideas y conceptos que de ellos han resultado. (Nolla.2001, p.1). es decir, para salir de esa presentación formal y cerrada en la que se encuentra la enseñanza de las matemáticas es importante dar a conocer todo aquello que involucra la historia, como es, las intuiciones e ideas de las que surgieron, la génesis de los términos, lenguaje y notaciones en las que se expresaban, las dificultades que involucraban, los problemas que resolvían, la aplicación, los procesos y estrategias que desarrollaban, el planteamiento de axiomas, teoremas,
El Valor De La Demostración Matemática en la Enseñanza y Aprendizaje Aquí, vale la pena mencionar que la demostración matemática tiene su propia historia, pues esta apareció en la antigua civilización griega, gracias a Tales de Mileto (padre de las matemáticas demostrativas), Euclides, Hipócrates de Quíos, entre otros, todos considerados por aportar el cómo junto con el porqué de ciertos objetos matemáticos, es decir, estos personajes a medida que dieron aportes a las matemáticas, se interesaron y preocuparon en dar una explicación de la veracidad de la existencia y validez de sus aportes. Actualmente una demostración matemática es entendida como algo que garantiza la veracidad de una proposición, permite involucrar objetos matemáticos que se consideran relevantes, así mismo como, la lógica, el leguaje simbólico y el lenguaje formal, estos con el fin de obtener una demostración más rigurosa; también, se puede usar otras afirmaciones previamente establecidas, tales como teoremas, axiomas o afirmaciones iniciales. Con lo anterior, cabe señalar que la demostración juega un papel muy esencial e importante en las matemáticas, en especial en su enseñanza y aprendizaje, esto permite preguntarse, ¿enseñar la demostración matemática a estudiantes de secundaria hace que estos admiren la belleza de las matemáticas y que sientan gusto o amor por ellas? Según Recio (2001), “la demostración matemática es vista como un objeto complejo, y como algo que genera dificultad en los estudiantes, pues en estudios realizados se han admirado cierta variedad de interpretaciones y demostraciones de planteamientos matemáticos”, de este modo, la demostración matemática es vista por parte de los estudiantes como algo difícil y posiblemente esta los aleja de sentir cierto aprecio hacia las matemáticas.
Por otro lado, se tiene que las demostraciones matemáticas que se encuentra en los libros o textos matemáticos son un poco complejas, y por tanto presentan un grado de dificultad para la comprensión por parte de los estudiantes, lo cual lleva a que estos presenten obstáculos en el momento de enfrentarse a un ejercicio donde se pide la demostración, de aquí, (Solow, 1987) sintetiza, “la incapacidad para comunicar demostraciones de una manera comprensible ha sido perjudicial para estudiantes y profesores de todas las ramas de las matemáticas”. De esto se puede decir que una demostración matemática presenta grandes dificultades en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Así pues, la falta de comprensión de una demostración matemática formal, lleva a los estudiantes a presentar desmotivación y falta de interés por aprender matemáticas, pues al exigirse un cierto rigor en las demostraciones, genera que los alumnos no puedan usar su intuición, y por ende a decir que las matemáticas no son comprensibles y que hay que aprenderlas de memoria, también surgen las preguntas tales como, ¿para qué me va a servir aprender a demostrar?, ¿será que existe otra manera de enseñar la demostración matemática de modo que sea más entendible para los estudiantes?. Para dar respuesta a estas preguntas, (Recio,
- señala que, “el valor de la demostración matemática en el aula le permite al estudiante razonar en matemáticas”, es decir le brinda a los estudiantes una forma de razonar más operativa, la cual les permite resolver problemas y así justificar el cumplimiento generalizado de las proposiciones matemáticas que se usan en la resolución de problemas, construyéndose así en el estudiante una mente matemática inteligente, lógica y lejana a lo mecánico. Por otra parte, Solow en su libro “como entender y hacer demostraciones matemáticas”, propone en el análisis de una demostración en clase que,
Referencias Bibliográficas. Anacona, M. (2003). La historia de las matemáticas en la educación matemática. Revista Ema , 8 (1), 30-46. Dunham, W. (1990). Journey through genius: The great theorems of mathematics. Wiley. Recio, A. M. (2002). La demostración en matemática: Una aproximación epistemológica y didáctica. In Investigación en educación matemática: Quinto Simposio de la Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática, Almeria, 18-21 septiembre 2001. (pp. 27-44). Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática, SEIEM. Solow Daniel. Cómo entender y hacer demostraciones en matemática, Limusa, 1987. Urbaneja, P. M. G. (2004). La historia de las matemáticas como recurso didáctico e instrumento para enriquecer culturalmente su enseñanza. Suma , 45 , 17-28.
