demostracion matematica, Apuntes de Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Académica

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Soluciones! a Lista de Problemas de teoría de números 1.- Demostrar que 30 | n? —n. Solución: Notemos que 151. = n(n241)(n+1)(n—1), ya sabemos que 6| (n— 1)n(n+ 1), por ser el producto de tres números consecutivos, basta demostrar que 5 | n(n?+1)(n + 1)(n — 1); ahora n puede 5h 5k+1,5k+2,5k+3,5k +4. ser de la forma: Caso 1: n=5k= 5 | n(ya que (5k) =5-k)=>5|n?—n. Caso 2: n=5k+1=>5|nm— (ya que (5k+1)-1=5-k)>5|n nm. Caso 3: n= 5k42= 5 | n24+1(ya que (542)241 = 252420445 =5(5k%4+4k+1)) > 5 | nm. Caso 4: n= 5k4+3= 5 | n%41(ya que (5%43)%+1 = 25430410 = 5(5k%46k+2)) > 5 | n?—n. Caso 5: n=5k+4+4=5|n+1(ya que (5k+4)+1=5(k+1)>5|n—n. 30] 1 —ny 2.- Probar que si 7 y y son enteros impares, entonces 12 +y?2 es par, pero no es divisible entre 4. Solución: x= y y impares > x= 27 +1 para algún r € Z y y =2s+1 para algún s € Z, > 124 y? =(2r+1)+(25+ 1)? =4(17+5*4+r+8)+2 2/12 44?, pero 412? + yg 3.- Probar que el cuadrado de cualquier entero es de la forma 3% o bien 3k +1, pero no de la forma 3k + 2. Solución: Sea n € Z=> N es de la forma: 37,37 + 1 0 bien 3r +2. Caso L: n= 3r => 1? =9r? =3(31?) = 3k. Caso 2: 1 =3r4+1=>n2=97+6r41=3(3124+2r) + 1=3k+ 1. Caso 3: n=3r4+2=>n?=9r 412 44= +4r)+1=3k +1. *. el cuadrado de cualquier entero es de la forma 3k o bien 3k+1, pero no de la forma 3k+2y 4.- Probar que si n es impar, entonces 8 | n? — 1. Solución: Sea n € 2Z + L(impares) = n es de la forma:4k +10 4k 43. Caso l: n= 4k4+1 => n2-1 = (441)?-1 = 16:?4+8k = 8(2*%4+k) > 8 | n?-1. Cualquier comentario respecto a las soluciones a José Luis Alonzo Velázquez