derivació, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga derivació y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

Capítol 5 (Part I) 1

Derivació numèrica

Derivació numèrica 2

Introducció

Volem calcular la derivada d’una funció f en un punt x 0 , però: Tenim l’expressió de f , però és molt complicada; o No tenim l’expressió de f , però sí una recepta per avaluar-la; o Tenim una tabulació de f , que prové, per exemple, de dades experimentals. Llavors, podem aproximar la derivada mitjançant alguna fórmula de derivació numèrica.

Un primer exemple 4

Exemple: Volem calcular la derivada de f (x) = sin(x^2 ) al punt x 0 = 0 .5, i no recordem la fórmula ... :( La podem aproximar utilitzant fórmules de derivació numèrica. Per exemple, prenent h = 1 .e−6, obtenim (operant amb precisió doble):

f ′(x 0 ) ≈ δ+f (x 0 , h) = 0. 968913266924387 f ′(x 0 ) ≈ δ−f (x 0 , h) = 0. 968911576471054 f ′(x 0 ) ≈ δf (x 0 , h) = 0. 968912421697721

Nota: f ′(x 0 ) = 0 .968912421710645.

Un altre exemple: Usain Bolt als 100m 5

L’any 2009 (a Berlín) Usain Bolt va situar el record dels 100m en 9.58s. Les dades de la carrera són les següents

r 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t(r) 0 1.85 2.89 3.78 4.64 5.49 6.31 7.11 7.92 8.74 9.

on la primera fila és la distància recorreguda en metres i la segona el temps emprat en segons (font: NBC, http://www.universalsports.com/news/article/newsid=385633.html).

Problema : Volem una aproximació de la velocitat i l’acceleració

v =

dr dt , a =

dv dt

d^2 r dt^2

en la carrera.

• Un exemple: Usain Bolt als 100m (continuació) - t 0.000 1.850 2.890 3.780 4.640 5.490 6.310 7.110 7.920 8.740 9.
  • x 0.000 10.000 20.000 30.000 40.000 50.000 60.000 70.000 80.000 90.000 100.
  • v 0.000 5.405 9.615 11.236 11.628 11.765 12.195 12.500 12.346 12.195 11.
  • a 2.922 4.048 1.821 0.456 0.161 0.525 0.381 -0.191 -0.184 -0.

Fórmules de derivació interpolatòria 8

Procediment general

Algorisme. Per estimar la derivada d’una funció f (x) en un punt x 0 , utilitzant els seus valors en un conjunt de nodes x 0 , x 1 ,... , xm, podem procedir de la següent manera:

1. Construïm el polinomi interpolador pm(x) de f (x) en els nodes x 0 , x 1 ,... , xm;
2. Calculem p′ m(x);
3. Aproximem f ′(x 0 ) ≈ p′ m(x 0 ).

Nota : L’algorisme es pot generalitzar a derivades d’ordre superior.

Ordre de l’error d’una fórmula de derivació 10

Definició

Definició. Sigui Dk^ f (x 0 , h) una fórmula de derivació numèrica per f (k)(x 0 ), de forma que

f (k)(x 0 ) = lim h→ 0

Dk^ f (x 0 , h).

Direm que la fórmula té ordre p > 0, i ho escriurem f (k)(x 0 ) = Dk^ f (x 0 , h) + O(hp), si

lim h→ 0

|f (k)(x 0 ) − Dk^ f (x 0 , h)| |h|p^

= C > 0.

Direm també que C és la constant asimptòtica de l’error. Problema: Calcular l’ordre d’una fórmula de derivació numèrica. Idea. Usar Taylor.

Ordre de l’error d’una fórmula de derivació 11

Mètode de les sèries de Taylor

Exemple: 1. Calculem l’ordre de l’error per a la fórmula de derivació endavant f ′(x 0 ) ≈ f (x 0 + h) − f (x 0 ) h

Per la fórmula de Taylor d’ordre 1

f (x 0 + h) = f (x 0 ) + f ′(x 0 )h +

f ′′(ξ) 2!

h^2 ,

de manera que

δ+f (x 0 , h) − f ′(x 0 ) =

f (x 0 + h) − f (x 0 ) h

− f ′(x 0 ) =

f ′′(ξ) 2!

h ,

i per tant l’ordre és 1.

Errors d’arrodoniment i truncament 13

Estimacions

Problema numèric: Quan h tendeix a 0 l’error de truncament decreix, però l’error d’arrodoniment (degut a cancelacions) creix. Considerem per exemple la fórmula de derivació endavant. Posem f (x 0 + h) = [f (x 0 + h)]arr + arr (x 0 + h) on arr (x 0 + h) és l’error d’arrodiment del valor numèric de f (x 0 + h). Anàlogament f (x 0 ) = [f (x 0 )]arr + arr (x 0 ). Tenim ∣ ∣ ∣ ∣f^

′(x 0 )^ −^

[f (x 0 + h)]arr − [f (x 0 )]arr h

arr (x 0 + h) − arr (x 0 ) h

f ′′(ξ) 2!

h

Si treballem amb arrodoniments a la k−èsima xifra decimal els valors absoluts de arr (x 0 + h) i arr (x 0 ) estan acotats per k = 0. 5 · 10 −k^. Així, (^) ∣ ∣ ∣ ∣f^

′(x 0 ) − [f^ (x^0 +^ h)]arr^ −^ [f^ (x^0 )]arr h

∣ ≤^

2 k h

M 2

h,

on M 2 és una cota de |f ′′|. El terme 2k /h és una cota de l’error d’arrodoniment i M 2 h/ 2! és una cota de l’error de truncament.

Errors d’arrodoniment i truncament 14

Un experiment numèric

Experiment. Considerem f (x) = sin x^2 i x 0 = 0 .5, i les fórmules de derivació δ+ i δ (endavant i centrada) per diferents h’s.

Dades: ε = 5 .e−16, M 2 = 2 i M 3 = 4 .5 (cotes “generoses”); Passos òptims: hA = 3. 2 e−08 i hB = 6. 9 e−06.

Extrapolació de Richardson 16

Introducció

Nota: El mètodes d’extrapolació son útils per a millorar la convergèn- cia (ordre) de fórmules d’aproximació de derivades i d’integrals (entre d’altres).

Problema: El càlcul numèric de derivades (i veurem que també d’integrals) es redueix a estimar un límit de la forma

F 0 = lim h→ 0 F (h)

per una certa funció F (h). Hem vist que en fer h petit tenim proble- mes d’arrodoniment numèric. En el cas de la integracio numèrica, veurem que el nombre d’operacions augmenta considerablement en fer h petit, fent créixer els errors d’arrodoniment i també el cost de càlcul.

Objectiu: millorar les estimacions, sense fer h massa petit.

Exemple 17

Plantejament

Exemple : Per la funció f (x) = sin(x^2 ) al punt x 0 = 0 .5, calculem f ′(x 0 ) = 9. 689124217106447 e−01, utilitzant la fórmula de derivació numèrica cap endavant

D(h) =

f (x 0 + h) − f (x 0 ) h amb els tres pasos h = 1 .e−3, h/ 2 = 0. 5 e−3 i h/ 4 = 0. 25 e−3: D( 1 .e− 3 ) = 9. 697572226650484 e−01; D( 0. 5 e− 3 ) = 9. 693349246344281 e−01; D( 0. 25 e− 3 ) = 9. 691236987561548 e−01.

Obtenim unes 3 xifres significatives correctes.

Exemple 19

Extrapolació de Richardson (repetició)

Repetint l’argument, ara amb D 1 (h), eliminen els termes de h^2 en la fórmula de l’error, de forma que

D 2 (h) =

4 D 1 ( h 2 ) − D 1 (h) 3 = f ′(x 0 ) + c^23 h^3 + c^24 h^4 +...

Així, podem tornar a refinar els resultats, obtenint: D 2 ( 1 .e− 3 ) = 9. 689124216359061 e−01,

que té 9 xifres significatives correctes!!

Capítol 5 (Part III) 20

Integració numèrica