¡Descarga Exercicis límits i derivació y más Apuntes en PDF de Cálculo solo en Docsity!
Problemes de C`alcul I: Preliminars
- Proveu per inducci´o els enunciats seg¨uents: (a) S
erie aritmetica: ∑^ n k=
[a + (k − 1)d] = n[2a + (n − 1)d]/ 2 ∀n ∈ N;
(b) Serie geometrica: n∑− 1
k=
rk^ = 1 + r + · · · + rn−^1 = 1 − rn 1 − r ∀r ∈ R, r 6 = 1;
(c) Suma de pot`encies d’enters positius: ∑^ n k=
k^2 = 1 + 4 + · · · + n^2 = n(n + 1)(2n + 1)/ 6 ∀n ∈ N;
∑^ n k=
k^3 = 1 + 8 + · · · + n^3 = [n(n + 1)/2]^2 =
( (^) ∑n
k=
k
) 2 ∀n ∈ N;
(d) La quantitat n(n^2 + 5) ´es divisible per 6, ∀n ∈ N.
- Conjectureu provant alguns valors de n una expressi´o general de Sn i demostreu-la per inducci´o:
Sn =
∑^ n k=
k(k + 1)
n(n + 1) .
- Demostreu per inducci´o la desigualtat de Bernoulli: si x ∈ R i x ≥ −1, llavors es satisf`a (1 + x)n^ ≥ 1 + nx ∀n ∈ N.
- Determineu els elements dels seg¨uents conjunts de n´umeros reals:
A = {x|x ∈ R, x(x + 1) ≤ 0 }; B = {x|x ∈ R,
x < x};
C = {x|x ∈ R, x^2 > 3 x + 4}; D = {x|x ∈ R, 1 < x^2 < 4 }; E = {x|x ∈ R, |x − 3 | < 5 }; F = {x|x ∈ R, |x| = |x + 1|}; G = {x|x ∈ R, |x^2 − 1 | ≤ 3 }.
- Considereu A = B = R. Quines de les seg¨uents correspond
encies de A a B s´on funcions? Quan no ho siguin, com s’han de restringir A o B perque ho siguin? Quines s´on injectives, exhaustives o bijectives? x → x^2 − 1; x → x^3 − x; x → 1 /x; x → 1 /x, 0 → 0; x → 1 /x, 0 → 2; x → cos x; x → arccos x; x → ex; x → ln x.
- Proveu a partir de les propietats del valor absolut que ∀ x , y ∈ R les
desigualtats següents són certes
| x |≤| x + y |+| y | ; | x |−| y | ≤| x − y |
Ajut: considereu x = x − y + y.
6 bis. Trobeu el conjunt de números reals que compleixen el següent sistema d’inequacions
x x
x
| 1 − 2 x |< 4
- Prova que les seg¨uents successions definides per recurr`encia tenen l´ımit i calcula’l:
(a) a 1 = 1, an = p 3 an 1 (b) a 1 =
p 2 , an =
p 2 + an 1 (c) a 1 =
, an = a (^2) n 1 +
Escriu els tres primers termes de cada successi´o.
- Alguns teoremes ´utils per al c`acul de l´ımits:
(a) Si {a (^) n } ´es una successi´o de nombres reals positius i lim a^ n a+1 (^) n = l =) lim n p a (^) n = l (b) Si lim |a|^ na+1 (^) n | |= l < 1 =) lim an = 0 (c) Criteri de Stolz: Si {b (^) n } ! + 1 i lim a b^ nn^ abn^ n ^11 = l =) lim a bn^ n = l
Fent ´us del teorema (a), trobeu
(a) lim n
p n, (b) lim
p nn!
n
- Calcula els seg¨uents l´ımits (si existeixen):
(a) lim 12 + 2^2 + · · · + n^2 n 3
(j) lim n + 1 n
p n (b) lim( 1)n^ + ( 1)^2 n ^1 (k) lim P (n) Q(n) (c) lim
✓ 1 +
n
◆ (^) log n (l) lim n!
p n!
(d) lim n
p a n^ + b n^ a, b > 0 (m) lim
p nn!
n (e) lim
✓ (^) n + 3 n + 2
◆ (^5) n 3
(f) lim n
qp 2 3
p 3 · · · n
p n (g) lim 1 k^ + 2k^ + · · · + nk n k+1^ + 1 (h)
1 + · · · + n
p n 4 1
p n 4 (i) lim(
p n + 1
p n)
p n
- Troba si les seg¨uents successions s´on de Cauchy o no:
(a) an =
n (b) a (^) n = ( 1)n
- Demostra que a (^) n = 2n^ ´es un successi´o divergent.
- Sigui a (^) n la successi´o definida per a 1 = 1 i a (^) n+1 =
p 4 + 3a (^) n. Demostreu per inducci´o que, per tot n 2 N es t´e a (^) n < 4 i a (^) n+1 an. Quin ´es el l´ımit de la successi´o?
- Demostreu que si la successi´o {an } t´e l´ımit, llavors la successi´o de valors absoluts {|an |} tamb´e el t´e. Es certa l’afirmaci´´ o rec´ıproca?
- Considereu la successi´o an , on a (^) n =
( 1)n^ n 2 n + 1 (a) Justifiqueu si aquesta successi´o ´es o no fitada. (b) Trobeu el l´ımit de la successi´o parcial formada pels an amb n parell. (c) Enuncieu el teorema de Bolzano-Weierstrass i verifiqueu que es compleix per a la successi´o {a (^) n }. (d) Justifiqueu si la successi´o {a (^) n } ´es o no convergent.
- Busqueu els punts d’acumulaci´o, interiors i a¨illats dels conjunt seg¨uents, i digueu quins dels conjunts s´on oberts i tancats. Trobeu llurs fronteres. (a) L’interval (a, b) (b) L’interval [a, b] (c) L’interval (a, b] (d) (a, b] S {c}, a < b < c (e)
n
, n 2 N (f)
( ( 1)n 1 + (^) n^1
) , n 2 N (g) Q T (a, b]
- Trobeu els l´ımits de les seg¨uents successions:
(a) (^) nlim!
n n 2 + 1
(b) (^) nlim!
a 1 + a 2 2
an n log n
, a (^) n! a
(c) (^) nlim!
n 2
n 2 + 1^2
n 2 + n 2
- Sigui a 0, i {x (^) n } la successi´o definida per x 1 = 1 i x (^) n+1 = 12 (x (^) n + (^) xa^2 n ). Demostreu que, per n 2, es t´e x (^) n a i x (^) n+1 x (^) n. Calculeu el l´ımit de la successi´o.
- Sigui a 2 R, a > 0. Proveu que lim n
p a = 1. (Indicaci´o: si a > 1, feu n
p a = 1 + (^) n amb n > 0 i demostreu (^) n! 0 fent servir la desigualtat de Bernouilli).
- Fent servir el resultat del problema anterior, trobeu el l´ımit de n
p a n^ + b n^ , on a > 0 i b > 0. (Estudieu per separat els casos a < b, a > b i a = b).
- Calculeu els seg¨uents l´ımits fitant les successions donades per altres de m´es senzilles:
(a) lim cos (n 2 + 1) n
(b) lim
an n! , (a > 1);
(c) lim n! n n^
(d) lim p^1 n 2 + 1
p^1 n 2 + 2
p^1 n 2 + n
- Sigui {an } una successi´o de nombres reals no nuls.
III. FUNCIONS. L´IMITS DE FUNCIONS. CONTINU¨ITAT
- Utilitzant la definici´o de l´ımit d’una funci´o en termes d’✏ i demostreu:
(a) lim x! 1
2 x 2 + x
(b) lim x! 0 x 3 |x|
(c) lim x! 0
✓ x sin
x
◆ = 0.
- Determineu els l´ımits seg¨uents:
(a) (^) xlim! 2 x 3 + 8 x 2 4 ; (e) (^) xlim! x 2 1 + x p x
(b) lim x! 1
p (^3) x 1 p x 1 ; (f) lim x! 0
p 1 + x
p 1 x x
(c) lim x! 0
✓ 1 + x 2
◆ (^) x 1 ; (g) (^) xlim! 1 +
1 x
(d) lim x! 1
1 x ; (h) lim x!a x n^ a n x a
- Estudieu l’exist`encia dels l´ımits seg¨uents i calculeu-ne el valor quan existeixin:
(a) lim x! 1
1 x 2
(b) lim x! 0 cos
x 2
(c) lim x! 2 [x]. (Nota: [x] vol dir ”part entera de x”).
- Demostreu, fent servir la definici´o, que la funci´o y = sin x ´es cont´ınua per qualsevol x 2 R.
- Estudieu els punts de discontinu¨ıtat i establiu-ne el tipus per a les seg¨uents funcions:
(a) y = x 3 27 x 2 9 ; (c) y = sin (1/x);
(b) y = a/x 1 a/x
; (d) y = x sin (1/x).
- Determineu els punts de discontinu¨ıtat de la funci´o seg¨uent
f (x) =
( x 2 si x ´es irracional, 0 si x ´es racional.
- Demostreu que qualsevol equaci´o c´ubica (ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, amb a 6 = 0) t´e almenys una sol·luci´o real.
- Demostreu que les seg¨uents equacions tenen al menys una soluci´o real:
(a) x^3 x 2 1 = 0; (b) sin x = x 5.
- Una funci´o cont´ınua est`a definida en l’interval [0, 1], i pren valors dins de [0, 1]. Estudiant la funci´o g(x) = f (x) x demostreu que hi ha al menys un punt x 0 2 [0, 1] tal que f (x 0 ) = x 0.
- Donades les seg¨uents funcions, definides als dominis que s’indiquen, determineu si tenen inverses, i per quins valors estan definides: (a) f (x) = 3x + 2, per x 2 R; (b) g(x) = x 2 + 2x 3, per x 0; (c) h(x) =
x 2 , per 0 < x 1;
(d) p(x) = x x + 2 , per x > 2.
- Calculeu
xlim! 0
sin(tan x) x
seguint el procediment seg¨uent: Feu ´us de sin x x tan x, per x 0, per demostrar
xlim! 0
sin x x = 1, i (^) xlim! 0 tan x x
Utilitzeu aquests dos l´ımits per “comprimir” la funci´o. [ Observaci´o: per a x 0 es pot aplicar el mateix raonament per`o ara amb la desigualtat sin x x tan x. ]
- Trobeu una expressi´o per l’
area A(n) d’un pol´ıgon regular de n costats inscrit en una circumferencia de radi r. Quin ´es el l´ımit d’aquesta `area quan n tendeix a infinit? - Calculeu els l´ımits seg¨uents, raonant amb infinit`esims:
(a) lim x! 0 tan^3 x x 4 + x 3 ; (c) lim x! 0 (ex^ 1)^2 sin x tan^3 x
(b) lim x! 0 (1 cos x)^2 3 sin 4 x + sin^5 x
; (d) lim x! 0 1 cos x + x^2 2 x 2
- Calculeu els l´ımits:
(a) (^) x!lim+ 1 ln (x 4 + x 2 + 1) ln (x 10 + 3x 6 + 2)
; (c) lim x! 0
✓ (^) 2 + x 2 x 2 + x 3 x
◆ (^1) /x ;
(b) (^) x!lim+ 1
x 2 + 1 x 2 1
! 2 x 1 ; (d) (^) xlim! 0 + | sin x| ln^1 x .
- Mireu quines de les seg¨uents funcions s´on uniformement cont´ınues als conjunts indi- cats: (a) f (x) = 1/x 2 , amb 0 < x < 1; (b) f (x) = 1/(x 2 + 1), amb x 2 R; (c) f (x) = sin x, amb x 2 R.
