DERIVACION, Apuntes de Análisis Matemático

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Derivación y diferenciabilidad

Recordad:

Si

Entonces

a dom f

f R R

h f a h f a x a f x f a f a x a h

lim

' ( ) lim 0

 

¿Cómo hay que leer esto?

Si el punto x está próximo al punto a entonces

La derivada de f en el punto a es la

pendiente de la recta que mejor aproxima

los valores de f(x) cuando estamos cerca del

punto a.

h f a h f a x a f x f a f a x a h

lim

' ( ) lim 0

  ( ) '( ) ( ( ) )

f x f a x f a a f x f a f a x a x a f x f a f a    

Gráficamente:

¿Qué hacemos con funciones de varias variables?

Primer intento: vamos a ver si simplemente

podemos copiar la fórmula

Esto es un vector!

¡No sabemos dividir vectores!^5

h f a h f a f a f R R h        ( ) ( ) '( ) lim : 0 2     

Segundo intento: Derivadas parciales.

Idea: En un punto (a,b) fijo la variable y=b

¿qué me queda? Pues una función que sólo

depende de x!!!!

¡Genial! ¡estas funciones las se derivar!

No es lo que queremos pero casi.

Ejemplo: Consideremos la función

Fijamos ahora y=

También podemos fijar

la x=

8 ( , ) ( 2 , 3 ) ( , ) 2 2    a b f x y x y '( 2 , 3 ) 2 · 2 4 En el punto 2 entonces '( , 3 ) 2 ( , 3 ) 3 2 2       x x f x f x x f x x '( 2 , 3 ) 2 · 3 6 En el punto 3 entonces '( 2 , ) 2 ( 2 , ) 2 2 2       y y f y f y y f y y

Análogamente:

Obs: En este límite fijamos la primera variable

y movemos la segunda, es exactamente la

derivada de la función de una variable que nos

queda al hacer fija la segunda.

h f a b h f a b a b y f h ( , ) ( , ) ( , ) lim 0      

Ejemplo:

Calculemos las derivadas parciales en un

punto cualquiera

f x y  x  y  xy

2 2

( a , b )

Observación: de la misma manera que hacemos

para funciones de una variable, si calculamos

las derivadas parciales en un punto cualquiera

lo que obtenemos son nuevamente funciones a

las que llamamos función derivada parcial

respecto de la variable primera o segunda

según proceda

Son funciones de dos

variables

x y R R x f    2 ( , ) : x y R R y f    2 ( , ) :

Idea: En general para calcular la derivada parcial

con respecto a la primera variable pensamos que

la segunda es UNA CONSTANTE y derivamos la

función de una variable que tenemos.

Analogamente si lo que queremos es derivar

respecto de la segunda variable.

De hecho, si tenemos una función con n variables

el método es el mismo. Cuando derivamos

respecto a la variable i-ésima lo que hacemos es

pensar que las demás variables son constantes

Ejemplo:

Ahora es esto lo que

vemos constante

2 2 f ( x , y )  x  y x y y y f ( , )  2  

Ejemplo:

Vemos todo

esto constante

f ( x , y ) 2 x 5 y 4 xy 2 2    x y x y x f ( , )  4  4  