UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE MADRID
GRADO EN ECONOMÍA - ANÁLISIS MATEMÁTICO I
HOJA Nº2 – DERIVADAS PARCIALES. VECTOR GRADIENTE. MATRÍZ HESSIANA
1.- Calcula las derivadas parciales de las siguientes funciones:
a) 𝑓(𝑥,𝑦)=𝑥·𝑦
b) 𝑓(𝑥,𝑦)=𝑒𝑥+𝑦
c) 𝑓(𝑥,𝑦)= 5𝑥4𝑦2−2𝑥𝑦3
2.- Calcular el vector gradiente y la matriz hessiana , en un punto genérico y en el indicado
en cada apartado, de las siguientes funciones:
a) 𝑓(𝑥,𝑦)= 2𝑥+ 3𝑦, en el punto 𝑃 (1, −1)
b) 𝑓(𝑥,𝑦)=𝑦𝑒3𝑥+𝑦2, en el punto 𝑃 (−3,3)
c) 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)=𝑥𝑒𝑧−1 +𝑦· ln (𝑥 − 𝑧), en el punto 𝑃 (2,2,1)
d) 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)=(𝑥+𝑦)2
𝑥3, en el punto 𝑃 (1, −1)
3.- Probar que la ecuación 𝑓(𝑥,𝑦)=1
2(𝑒𝑦− 𝑒−𝑦 )·𝑠𝑒𝑛 (𝑥) satisface la ecuación
𝜕𝑓
𝜕𝑥2(𝑥,𝑦)+𝜕𝑓
𝜕𝑥2(𝑥,𝑦)= 0
4.- ¿Cuánto vale el gradiente de 𝑓(𝑥,𝑦 )=2𝑥𝑦2−3𝑦
𝑥2+𝑦3 en el punto (1,1)?
5.- La temperatura en el punto (x, y) de una placa viene dada por 𝑇(𝑥,𝑦 )=𝑥
𝑥2+𝑦2 .Calcula
la dirección de mayor crecimiento del calor en el punto (3, 4).
6.- Calcula el plano tangente a la superficie de la función 𝑓(𝑥,𝑦)=𝑒𝑥2+𝑦 en el punto
𝑃 (1, −1,1)
7.- Dada la función 𝑓(𝑥,𝑦 )=(𝑥2−1)·(𝑦2−2𝑦) Halla la ecuación del plano tangente a
esa superficie en el punto (2, −1, 9).
8.- Calcula las derivadas parciales de la función 𝑓(𝑥,𝑦 )= (1 + 𝑥2𝑦)3+𝑥�𝑦 − 9. Calcula el
vector gradiente en el punto (1,1 ). ¿Cuál es su módulo?
9.- Calcula el vector gradiente y la matriz hessiana de la función
𝑓(𝑥,𝑦 )=−𝑥3+ 4𝑥𝑦 − 2𝑦2+ 1 en el punto (0,0)
10.- Dada 𝑓(𝑥,𝑦 )=𝑒−(𝑥2+𝑦2), calcula su gradiente en el punto (1,0) y su hessiana en (0,0)