Teoria, Apuntes de Análisis Matemático

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Apuntes de analisis de varias variables

(Curso 2007-2008)

Tomados y redactados por Angel David Mart nez Martnez a partir de las clases de Rafael Crespo Garca

• Rafael Crespo Garca y Angel David Mart nez Martnez
• Rafael Crespo Garca y Angel David Mart nez Martnez

Requisitos y notacion

En esta seccion daremos un repaso a ciertas nociones topologicas que se daran por conocidas a lo largo de este curso. Por ello el motivo de esta seccion no es divagar en cuestiones referentes a la topologa, sino el de introducir una notacion y nomenclatura para la misma en Rn^ y que mantendremos a lo largo del curso:

Bola abierta: una bola abierta de centro x y radio r sera denotada por B(x; r) o bien Br(x), y se de ne de la siguiente forma:

B(x; r) := fy 2 Rn^ : d(x; y) < rg

Donde d es la distancia inducida por el producto escalar en Rn. En particular toda bola abierta es un abierto.

Bola cerrada: una bola cerrada de centro x y radio r sera denotada por B(x; r) o bien Br(x), y se de ne de la siguiente forma:

B(x; r) := fy 2 Rn^ : d(x; y)  rg

En particular toda bola cerrada es un cerrado.

Esfera: una esfera de centro x y radio r sera denotada por S(x; r) o bien Sr(x), y se de ne como sigue:

S(x; r) := fy 2 Rn^ : d(x; y) = rg

En particular una esfera es un cerrado.

Diametro: se denominara diametro de A a la aplicacion d(A) 2 R de nida como sigue: d(A) := supfd(x; y) : x; y 2 Ag

Captulo 1

El espacio R

n

Nuestro ambiente de trabajo, el conjunto en el que vamos a desarrollar un calculo de varias variables reales, sera el espacio vectorial real Rn. Si n 2 N se de ne: Rn^ := f(x 1 ; x 2 ; : : : ; xn) : xi 2 R; 1  i  ng

A partir de ahora utilizaremos un abuso de notacion en el que si x 2 Rn, por de nicion x = (x 1 ; : : : ; xn) para el mismo. As mismo utilizaremos la notacion 0 = (0; 0 ; : : : ; 0). Esta nueva notacion posibilitara una mayor agilidad en la lectura de estos apuntes. Observemos que sobre el cuerpo (R; +;
) es un espacio vectorial con las leyes:

(interna) (x 1 ; : : : ; xn) + (y 1 ; : : : ; yn) := (x 1 + y 1 ; : : : ; xn + yn) (externa) (x 1 ; : : : ; xn) := ( x 1 ; : : : ; xn)

Se trata de un espacio de dimension n pues su base (canonica) es:

BRn := f 1 ;  2 ; : : : ; ng

Donde i = ( 11 ;  12 ; : : : ; in) siendo ij la delta de Kronecker de nida como sigue:

ij :=

1 si i = j 0 si i 6 = j

As coordenadas y componentes son conceptos equivalentes x = x 1  1 +


+ xnn. Sin embargo, estamos interesados en una estructura de proximidad que tenga una componente geometrico-topologica. Nos ayudara al respecto la visualizacion geometrica, donde si n = 1 se da la equivalencia R^1 = R, el conjunto de los numeros reales, que es biyectivo con los puntos de una recta (una vez elegidos el cero, 0; y la unidad, 1, a su derecha):

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DIBUJO DE LA RECTA REAL CON CERO Y UNIDAD

Al ser R^2 = RR los puntos de R^2 los podemos identi car con los puntos del plano cartesiano. Indistintamente usaremos (x 1 ; x 2 )  (x; y) como forma de designar sus puntos (visualizacion geometrica) como sus elementos. A la primera componente (x) se le llama abscisa^1 y a la segunda componente (y) se le llama ordenada^2. Cada punto, pues, tiene dos coordenadas, abscisa y ordenada que suponen su proyeccion sobre dos ejes ortogonales que se cruzan en el origen (0; 0):

DIBUJO DE DOS EJES Y EL ORIGEN

Al ser R^3 = R  R  R sus puntos se pueden identi car con los del es- pacio eucldeo que hay al considerar tres ejes ortogonales en un punto. La proyeccion de un punto sobre esos ejes genera, en sus distancias al origen, tres numeros x abscisa, y ordenada, y z cota (de altura topogra ca) qu ecor- responden a (x; y; z)  (x 1 ; x 2 ; x 3 ) en un elemento de R^3 :

DIBUJO DE TRES EJES EN PERSPECTIVA

1.1. Estructura topologica inducida

En Rn^ tenemos una nocion de proximidad debida a una distancia a la que llegaremos desde otras nociones. Sea n 2 N y para el Rn, dados x e y en Rn de nimos su producto escalar:

hx; yi = x 1 y 1 +


+ xnyn =

X^ n

i=

xiyi

Tal que cumple:

1. hx; xi > 0 para cualqier x 2 Rn^ 0.
2. hx; yi = hy; xi para cualquier x; y 2 Rn. Es decir, es una aplicacion simetrica. (^1) Del latn abscisus-a-um, que signi ca cortada, del verbo scindo cuyo signi cado es cortar. (^2) Del latn ordinatae lineae nombre que se le daba debido a su relacion con las paralelas al eje de abscisas, ya que para encontrar la segunda coordenada se traza una paralela a dicho eje que pase por el punto en cuestion.

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Tales que kuk = kvk = 1. Esto es sencillo de ver, ya que (^) k^1 xk es un escalar se cumple que:

kuk =

kxk

x =

kxk

kxk =

kxk

kxk = 1

Prueba analoga se puede realizar para la norma de v. Ahora consideremos:

0  hu v; u vi = hu; ui 2 hu; vi + hv; vi = 2 2 hu; vi

Y por tanto hu; vi  1, es decir:  x kxk

y kyk

 1 , hx; yi  kxk kyk

Analogamente, si realizamos el proceso en vez de con x con x obtendramos hx; yi  kxk kyk. Utilizando ambas desigualdades se in ere la desigualdad buscada.

Proposicion: (Desigualdad de Minkowsky) para todo x; y 2 Rn^ se cumple:

kx + yk  kxk + kyk

Demostracion: en primer lugar observemos lo siguiente:

kx + yk^2 = hx + y; x + yi = hx; xi + 2hx; yi + hy; yi

Aplicando ahora la desigualdad de Cauchy-Schwartz obtenemos que:

hx; xi + 2hx; yi + hy; yi  kxk^2 + 2 kxk kyk + kyk^2 = (kxk + kyk)^2

De ambas se in ere que:

kx + yk^2  (kxk + kyk)^2

Pero dado que la norma de vectores nunca es negativa podemos determinar que: kx + yk  kxk + kyk En el caso n = 1 la norma coincide con el valor absoluto ya estudiado en R. Por otra parte, en los casos n = 2 y n = 3 obtenemos desde la geometra eucldea una interpretacion de estas nociones: kxk marca la distancia de x a 0. As se puede de nir una distancia en el sentido topologico:

d(x; y) = kx yk

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A partir de ahora podremos trabajar con Rn^ como espacio topologico, espacio metrizable. Que es invariante por traslaciones,^3 y respeta las homotecias de razon positiva^4. Observemos que la bola abierta y cerrada, respectivamente, de centro x y radio > 0 son:

B (x) := fy 2 Rn^ : kx yk < g B (x) := fy 2 Rn^ : kx yk  g

Y la esfera:^5 S (x) := fy 2 Rn^ : kx yk = g Observemos que, por la desigualdad de Cauchy-Schwartz, se cumple la relacion:

1 

hx; yi kxk kyk

 1 8 x; y 2 R f 0 g

En ese caso, teniendo en cuenta que la funcion arcocoseno arc cos : [0; ]! [ 1 ; 1] es biyectiva:

DIBUJO DE LA FUNCI ON ARCOCOSENO

Existira un unico  2 [0; ] tal que se cumpla:

 = arc cos

hx; yi kxk kyk

Que nos da lugar a la conocida expresion:

hx; yi = kxk kyk cos 

Para el producto escalar.

Angulo:^  se denominara angulo entre x e y al unico  2 [0; ] tal que:

hx; yi = kxk kyk cos 

Hemos de se~nalar que esta nuevo concepto se corresponde con nuestra intuicion geometrica de angulo en n = 2; 3. La notacion que empleare- mos sera  = ang(x; y).

Ortogonalidad: si hx; yi = 0 como ang(x; y) =  2 diremos que x e y son ortogonales, hecho que denotaremos por x?y. (^3) Cumple que d(x + z; y + z) = d(x; y). (^4) Es decir d( x; y) = d(x; y) para  0. (^5) Comprobar que si n 2 f 2 ; 3 g, bajo esta de nicion, nos encontramos con los crculos y esferas usuales.

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Norma uno: esta norma induce la llamada metrica suma o metrica del taxicab y se de ne como sigue:

kxk 1 :=

X^ n

i=

jxij

Norma in nito: esta norma induce la llamada metrica del maximo y se de ne como sigue: kxk 1 := max 1 in fjxijg

Estas normas generan la misma topologa que nuestra norma eucldea, sin embargo no provienen de un producto escalar, y por tanto no podremos de nir angulos en las mismas. As observamos que pese a que una norma y un producto angular pueden estar ntimamente ligados no tiene porque es- tarlo.

Cuestiones y ejercicios:

1. Si x; y 2 Rn^ entonces: kxk kyk  kx yk
2. Demostrar la llamada identidad del paralelogramo:

kx + yk^2 + kx yk^2 = 2

 kxk^2 + kyk^2



Y justi car (recurriendo a n = 2) su nombre.

3. kxk  maxfkx + yk ; kx ykg.
4. Comprobar que la desigualdad de Cauchy-Schwartz es igualdad si, y solo si, x = y.
5. Probar que k
   k 1 Y k
   k 1 son normas en Rn. Estudiar las distancias que generan y la forma de sus bolas.
6. (Teorema de Pitagoras) Si x?y se tiene que:

kx + yk^2 = kxk^2 + kyk^2

7. (Teorema del coseno) Probar que:

kx yk^2 = kxk^2 + kyk^2 2 kxk kyk cos   = ang(x; y)

8. Calcular ang(i; j ) y ang(1; i) siendo 1 = (1; : : : ; 1).
9. Probar que si x 2 Rn: kxk 1  kxk  kxk  n kxk 1

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10. Sea x 6 = 0 en Rn^ probar que: H(x; 0) := fy 2 Rn^ : hx; yi = 0g Es un subespacio vectorial de dimension n 1. Probar que es cerrado y no acotado.
11. Probar que A  Rn^ es acotado si y solo si su diametro es nito.
12. Probar que toda bola y todo hiperplano en Rn^ son conjuntos convexos.

1.2. Sucesiones y compacidad

Una sucesion se de ne como una aplicacion a : N! Rm^ donde por cuestion comodidad cuando m = 1 notabamos a(i) = ai para el i-esimo termino de la sucesion a, y a su vez faig^1 i=1 para la sucesion.

Sin embargo, cuando m > 1 esta notacion podra llevarnos a confusiones con las componentes de a(i) 2 Rn, entonces introducimos la notacion a(i) = a(i)^ para el i-esimo termino de la sucesion en Rn^ y por analoga fa(i)g^1 i= para la sucesion. De esta forma si queremos expresar la sucesion de la j- esima componente notaremos a( ji )para todo i 2 N. Analogamente a como se hizo en el estudio del analisis de una variable introducimos el concepto de convergencia de sucesiones:

Convergencia de sucesiones en Rn: se dice que la sucesion fx(i)g^1 i=1  Rn^ es convergente a x si:

8  > 0 ; 9 m 0 2 N : kx(m)^ xk <  8 m  m 0

Demonos cuenta que la anterior de nicion equivale a decir que dicha sucesion converge a x si:

lm m! kx(m)^ xk = 0

Que a su vez equivale a decir:

lm m!

x(m)^ = x

Proposicion: fx(m)g^1 m=1 converge a x en Rn^ si, y solo si, fx (m) i g

1 m=1 con- verge a xi en R.

Demostracion: en primer lugar sabemos que:

jx( i m) xij  kx(m)^ xk < 

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Compacidad: en un espacio metrico (E; d) se dice que  6 = K  E es compacto si para todo recubrimiento U por abiertos de K, existe una subfamilia fUigi2f 1 ;:::;ng  U nita tal que:

K 

[

i2f 1 ;:::;ng

Ui

Sin embargo, al trabajar en Rn^ podemos asegurar que un conjunto K  Rn^ es compacto^9 si de toda sucesion de elementos de K se pueden extraer una subsucesion convergente a un elemento de K. Esto no sucede siempre, por ejemplo en I = (0; 1) donde basta tomar la sucesion de termino general am := (^) m^1 con m 2 N f 0 ; 1 g para demostrar que I no es compacto.

1.2.1. Teorema de caracterizacion de compactos en Rn

Se cumple que  6 = K  Rn^ es compacto si, y solo si, K es cerrado y acotado.

Demostracion: en primer lugar probemos la implicacion directa. Supong- amos que x 2 cl(A), podemos encontrar una sucesion fx(m)g^1 m=1 tal que lmm!1 x(m)^ = x. Por de nicion, al ser A compacto tiene una subsucesion convergente a un punto de A, este punto debe ser x luego x 2 A. As hemos probado la igualdad cl(A) = A y por una de las caracterizaciones de los con- juntos cerrados tenemos que A es cerrado.

Por otra parte si A no fuese acotado encontraramos por recurrencia una sucesion fx(m)g^1 m=1 tal que:

kx(m)^ x(m+1)k  m

Dicha sucesion no es de Cauchy, luego no es convergente.

Para el recproco nosotros probaremos el caso n = 2, sin embargo se puede generalizar utilizando el metodo de induccion. Sea f(x(m); y(m))g^1 m= una sucesion en A acotado. Al cumplirse:

jx(m)j  k(x(m); y(m))k (^9) En otras referencias se predicara de K que es sucesionalmente compacto. De hecho esta nomenclatura es la utilizada en topologa para denominar a un conjunto no vaco, K, de manera que de toda sucesion de elementos de K se puede extraer una subsucesion convergente a un punto de K. En la asignatura de topologa se vera la equivalencia de esta de nicion con la anterior. Sin embargo, en nuestro espacio eucldeo tenemos una caracterizacion que facilita mucho el reconocimiento de tales subconjuntos.

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Se tiene que fx(m)g^1 m=1 es una sucesion acotada en R de la que podemos extraer una subsucesion convergente de ndices N 1  N, es decir una sub- sucesion fx(m)gm 2 N 1 convergente y por tanto tal que:

lm m!1;m 2 N 1 x(m)^ = x

De igual forma para fy(m)g^1 m=1 es una sucesion acotada en R de la que pode- mos extraer una subsucesion convergente de ndices N 2  N 1 , es decir una subsucesion fy(m)gm 2 N 1 convergente y por tanto tal que:

lm m!1;m 2 N 2

y(m)^ = y

Finalmente, debido a esto, el lmite de la subsucesion f(x(m); y(m))gm 2 N 2 cuan- do m! 1 es (x; y). Habiendo encontrado una subsucesion convergente. Ahora bien, ademas (x; y) 2 A al ser dicho conjunto un cerrado. Por tanto cumple la condicion de compacidad.

Corolario: si A  Rn^ es in nito y acotado, se da que ac(A) 6 = .

Demostracion: se deja a cargo del lector.