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Asignatura: matematicas, Profesor: juan ruiz, Carrera: Biología, Universidad: UAH
Tipo: Apuntes
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Tasas de cambio: VelocidadDerivada Regla de la cadena Derivaci´on impl´cita Contenido transversal: Representaci´Tasas de cambio relacionadason de funciones
Juan Ruiz Alvarez´^1 (^1) Departamento de Matem´aticas. Universidad de Alcal´a de Henares.
Matem´aticas (Grado en Biolog´ıa)
Tasas de cambio: VelocidadDerivada Regla de la cadena Derivaci´on impl´cita Contenido transversal: Representaci´Tasas de cambio relacionadason de funciones
(^1) Introducci´on (^2) Derivada (^3) Tasas de cambio: Velocidad La derivada como velocidad instantanea 4 Regla de la cadena 5 Derivaci´on impl´cita 6 Tasas de cambio relacionadas 7 Contenido transversal: Representaci´on de funciones
Tasas de cambio: Velocidad^ Derivada Regla de la cadena Derivaci´on impl´cita Contenido transversal: Representaci´Tasas de cambio relacionadason de funciones
El c´alculo diferencial est´a basado en la noci´on de tasa o ´ındice de cambio. Este concepto aparece impl´ıcitamente en palabras como tasa de crecimiento (o velocidad de crecimiento), crecimiento relativo, velocidad, aceleraci´on, densidad o pendiente de una curva. Ejemplo: N´umero de individuos de una poblaci´on que cambia con el tiempo: tasa de crecimiento o velocidad de crecimiento
Tasas de cambio: Velocidad^ Derivada Regla de la cadena Tasas de cambio relacionadasDerivaci´on impl´cita Contenido transversal: Representaci´on de funciones
(^1) Introducci´on (^2) Derivada (^3) Tasas de cambio: Velocidad La derivada como velocidad instantanea 4 Regla de la cadena 5 Derivaci´on impl´cita 6 Tasas de cambio relacionadas 7 Contenido transversal: Representaci´on de funciones
Tasas de cambio: Velocidad^ Derivada Regla de la cadena Tasas de cambio relacionadasDerivaci´on impl´cita Contenido transversal: Representaci´on de funciones
Para que el l´ımite exista, es necesario que los dos l´ımites laterales existan. El cociente ∆f ∆x
f (x + h) − f (x) h se denomina cociente de diferencias o cociente incremental.
Tasas de cambio: Velocidad^ Derivada Regla de la cadena Tasas de cambio relacionadasDerivaci´on impl´cita Contenido transversal: Representaci´on de funciones
Definici´on: Si la derivada de una funci´on f existe en x = c, entonces la recta tangente en x = c es la recta que pasa por el punto (c, f (c)), con pendiente: f ′(c) = l´ım h→ 0
f (c + h) − f (c) h
Conociendo la derivada de f en un punto c (que es la pendiente de la recta tangente en ese punto) y las coordenadas del punto (c, f (c)), es posible escribir la ecuaci´on punto-pendiente de la recta: y − f (c) = f ′(c) · (x − c)
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La derivada como velocidad instantanea
Velocidad Media El cociente incremental: ∆f ∆t
f (t + h) − f (t) h Puede interpretarse como la velocidad media de variaci´on de una funci´on en el intervalo (t, t + h) o como la tasa de variaci´on de la funci´on en el mismo intervalo.
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La derivada como velocidad instantanea
Velocidad instantanea El l´ımite del cociente incremental cuando h → 0:
l´ım ∆t→ 0
∆f ∆t
= l´ım h→ 0
f (t + h) − f (t) h Puede interpretarse como la velocidad instantanea de variaci´on de una funci´on en el intervalo (t, t + h).
Tasas de cambio: VelocidadDerivada Regla de la cadena Tasas de cambio relacionadas^ Derivaci´on impl´cita Contenido transversal: Representaci´on de funciones
Regla de la cadena Si g es derivable en x y f es derivable en y = g (x), entonces la funci´on compuesta (f ◦ g )(x) = f [g (x)] es derivable en x, y su derivada se expresa como:
(f ◦ g )′(x) = f ′[g (x)]g ′^ (x)
Tasas de cambio: VelocidadDerivada Regla de la cadena Tasas de cambio relacionadas^ Derivaci´on impl´cita Contenido transversal: Representaci´on de funciones
(^1) Introducci´on (^2) Derivada (^3) Tasas de cambio: Velocidad La derivada como velocidad instantanea 4 Regla de la cadena 5 Derivaci´on impl´cita 6 Tasas de cambio relacionadas 7 Contenido transversal: Representaci´on de funciones
Tasas de cambio: VelocidadDerivada Regla de la cadena Tasas de cambio relacionadas^ Derivaci´on impl´cita Contenido transversal: Representaci´on de funciones
Ejemplo: dw dx si w = y 2.
Tasas de cambio: VelocidadDerivada Regla de la cadena Tasas de cambio relacionadasDerivaci´on impl´cita Contenido transversal: Representaci´on de funciones
(^1) Introducci´on (^2) Derivada (^3) Tasas de cambio: Velocidad La derivada como velocidad instantanea 4 Regla de la cadena 5 Derivaci´on impl´cita 6 Tasas de cambio relacionadas 7 Contenido transversal: Representaci´on de funciones
Tasas de cambio: VelocidadDerivada Regla de la cadena Derivaci´on impl´cita Contenido transversal: Representaci´Tasas de cambio relacionadason de funciones
(^1) Introducci´on (^2) Derivada (^3) Tasas de cambio: Velocidad La derivada como velocidad instantanea 4 Regla de la cadena 5 Derivaci´on impl´cita 6 Tasas de cambio relacionadas 7 Contenido transversal: Representaci´on de funciones
Tasas de cambio: VelocidadDerivada Regla de la cadena Derivaci´on impl´cita Contenido transversal: Representaci´Tasas de cambio relacionadason de funciones
Representaci´on de funciones El contenido de esta secci´on se destina a trabajo en casa del alumno. Toda la informaci´on necesaria se encuentra en moodle (ejemplos, software relacionado y problemas propuestos). Las dudas ´unicamente se resolver´an a trav´es del foro. En el examen caer´a una pregunta relacionada.
