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UNIVERSIDAD PERUANA CAYETANO HEREDIA
FACULTAD DE CIENCIAS Y FILOSOFÍA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
SECCIÓN FÍSICA - MATEMÁTICAS
PRACTICA DIRIGIDA
SEMANA- 14 PRACTICA DIRIGIDA FUNDAMENTOS DE CALCULO
DERIVADAS. FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGARITMICAS, TRIGONOMETRICAS Y RAZON
DE CAMBIO
1. Derivar usando definición de derivada.
a. 𝑓(𝑥) = 10 𝑒
𝑥
b. 𝑓
= ln ( 2 𝑥 + 5 )
c. 𝑓/𝑥) = ln (𝑥
2
d. 𝑓
e. 𝑓
2. Resolver las siguientes derivadas
a. 𝑓(𝑥) = 10
√𝑥
b. 𝑓(𝑥) = 𝑒
3 −𝑥
2
c. 𝑓(𝑥) =
𝑒
𝑥
+𝑒
−𝑥
2
d. 𝑓(𝑥) = 3
2 𝑥
2
e. 𝑓
𝑒
2 𝑥
𝑥
2
f. 𝑓
𝑥
2
− 1
g. 𝑓
√𝑥
2
− 1
h. 𝑓
1 ⁄𝑧
i. 𝑓(𝑥) = 𝑥
3
− 3 𝑥
j. 𝑓
2 𝑥
3. Derivar utilizando definición las siguientes funciones logaritmicas
a. 𝑓
9
b. 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 (
𝑥
2
− 2
𝑥+ 3
c. 𝑓(𝑥) = log
10
2
d. 𝑓(𝑥) = log
2
5 𝑥
2
𝑐𝑜𝑠𝑥
3
e. ln ( 2 𝑥 + 1 )
f. ln (𝑥
2
- Derivar las siguientes funciones trigonométricas usando definición
a. 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥
b. 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥
c. 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛𝑥
d. 𝑓
e. 𝑓(𝑥) = tan (𝑥
2
f. 𝑓
𝑥− 3
𝑥+ 2
- Una fábrica produce 𝑁 unidades de un producto por día, donde el costo total 𝐶 (en miles de
dólares) está dado por la función 𝐶(𝑁) = 0. 5 𝑁
2
- 20 𝑁 + 50. Si la producción actual es de 𝑁 =
100 unidades y está aumentando a razón de
𝑑𝑁
𝑑𝑡
= 5 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠/𝑑í𝑎.¿A qué razón está cambiando
el costo total de producción
𝑑𝐶
𝑑𝑡
- El volumen de material almacenado en un silo cónico está aumentando. El silo tiene una altura de
20 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 y un radio de 10 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠. Si el material se vierte a razón de 5 𝑚
3
/ min (
𝑑𝑉
𝑑𝑡
), y la relación
entre la altura (ℎ) y el radio (𝑟) del material es ℎ = 2 𝑟. ¿A qué razón está subiendo el nivel del
material 𝑑ℎ/𝑑𝑡 cuando la altura del material es de 8 metros? Volumen del Cono: 𝑉 =
4
3
- Una empresa de robótica diseña un área de trabajo rectangular con lados L (largo) y W (ancho). El
largo está aumentando a razón de 2 pies/s (𝑑𝐿/𝑑𝑡), y el ancho está disminuyendo a razón de1 pie/s
(𝑑𝑊/𝑑𝑡). En el instante actual, 𝐿 = 10 𝑝𝑖𝑒𝑠 y 𝑊 = 8 𝑝𝑖𝑒𝑠. ¿A qué razón está cambiando el área
total de trabajo (𝑑𝐴/𝑑𝑡}?
- Un derrame de contaminante en un lago se propaga en forma circular. El radio (r) del círculo de
contaminación aumenta a razón de 0.5 m/h (𝑑𝑟/𝑑𝑡}. ¿A qué razón está aumentando el área total
de la mancha de contaminación (𝑑𝐴/𝑑𝑡) cuando el radio es de 10 metros? Área del Círculo: 𝐴 =
2
- Razón de Cambio de la Biomasa. La población de una especie de alga (P, en miles de toneladas)
en un ecosistema marino está creciendo según la función 𝑃(𝑡) = 50 + 10 𝑡
2
, donde t es el
tiempo en meses. ¿A qué razón está creciendo la biomasa (𝑑𝑃/𝑑𝑡) cuando han transcurrido 3
meses?
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FACULTAD DE CIENCIAS Y FILOSOFÍA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
SECCIÓN FÍSICA - MATEMÁTICAS
- Tasa de Descomposición de Residuos (Volumen). Una pila de compost tiene forma de pirámide
cuadrada de base s y altura ℎ. El volumen de la pila (𝑉) disminuye a razón 𝑑𝑒 0. 2 𝑚
3
(𝑑𝑉/𝑑𝑡). En todo momento, la altura es la mitad de la longitud del lado de la base (ℎ = 0. 5 𝑠). ¿A
qué razón está cambiando el lado de la base (𝑑𝑠/𝑑𝑡) cuando la altura es de 2 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠? Volumen
de la Pirámide Cuadrada: 𝑉 =
1
3
2
- (Razón de Cambio del Tráfico de Datos (Ancho de Banda). El tráfico de datos (D, en terabytes) en
un servidor aumenta según la función 𝐷(𝑡) = 100 𝑡/𝑡 + 5 , donde 𝑡 es el tiempo en horas. ¿A qué
razón está aumentando el tráfico de datos (𝑑𝐷/𝑑𝑡) después de 5 horas? Use la regla del cociente:
𝑢
𝑣
′
𝑢
′
𝑣 − 𝑢𝑣
′
𝑣
2
- Razón de Cambio del Tiempo de Procesamiento (Algoritmos) El tiempo de procesamiento T (en
milisegundos) de un algoritmo depende del tamaño de la entrada n(en miles de elementos) y está
dado por 𝑇(𝑛) = 3 𝑛
2
- 5 𝑛. Si el tamaño de la entrada aumenta a razón de 100 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠/
𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 (𝑑𝑛/𝑑𝑡 = 0. 1 𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠/𝑠), y el tamaño actual es de 𝑛 = 2 (es decir, 2000 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠) ¿A
qué razón está cambiando el tiempo de procesamiento del algoritmo (𝑑𝑇/𝑑𝑡)?
- Razón de Cambio en el Almacenamiento de un Disco. Un disco duro almacena datos a razón de
100 𝐺𝐵/𝑚𝑖𝑛 (𝑑𝑉𝑑𝑡). El almacenamiento se modela como un cilindro donde el volumen (𝑉)
depende del radio (𝑟) y la altura (ℎ) del bloque de datos. Si el radio es constante (𝑟 = 5 𝑐𝑚) y solo
cambia la altura (ℎ). ¿A qué razón está aumentando la altura del bloque de datos (𝑑ℎ/𝑑𝑡) en ese
instante? (Asuma unidades consistentes). Volumen del Cilindro: 𝑉 = 𝜋𝑟
2
- Razón de Cambio de la Distancia en un Dron (Movimiento Relativo). Un dron de entrega se eleva
verticalmente a razón de 2 m/s (𝑑𝑦/𝑑𝑡), mientras se mueve horizontalmente (hacia la entrega) a
razón de 1 m/s (𝑑𝑥/𝑑𝑡). La estación de control está a 100 metros del punto de despegue. ¿A qué
razón está cambiando la distancia D entre el dron y la estación de control (𝑑𝐷/𝑑𝑡) cuando el dron
ha subido 10 metros y se ha desplazado 5 metros horizontalmente? Teorema de Pitágoras: 𝐷
2
2
2
- Razón de Cambio del Flujo Sanguíneo (Ley de Poiseuille) La Ley de Poiseuille describe la
resistencia al flujo de la sangre en un vaso sanguíneo, donde el flujo (F) es proporcional a la cuarta
potencia del radio (r) del vaso. Suponga que el flujo está dado por 𝐹 = 𝐶 𝑟
4
donde C es una
constante. Debido a la acumulación de placa, el radio de una arteria está disminuyendo a razón
de 0. 01 𝑚𝑚/𝑎ñ𝑜 (𝑑𝑟/𝑑𝑡) ¿A qué razón está cambiando el flujo sanguíneo (𝐷𝐹/𝑑𝑡) cuando el radio
de la arteria es de 1 𝑚𝑚? (Deje su respuesta en términos de 𝐶).
- Razón de Cambio en la Dosis de un Medicamento (Modelo de Eliminación) Un medicamento se
administra a un paciente. La concentración (𝐶) del medicamento en el torrente sanguíneo (en
𝑚𝑔/𝐿) está modelada por 𝐶(𝑡) = 10 𝑡/𝑡
2
- 1 , donde t es el tiempo en horas después de la
inyección. ¿Cuál es la razón de cambio de la concentración del medicamento (𝑑𝐶/𝑑𝑡) a las 2 horas
de haber sido inyectado? ¿Está aumentando o disminuyendo la concentración en ese momento?
- Razón de Cambio de la Presión Pulmonar (Volumen de Aire) Se está inflando un pulmón artificial
que tiene forma esférica. El radio (𝑟) del pulmón aumenta a razón de 0. 1 𝑐𝑚/𝑠 (𝑑𝑟/𝑑𝑡) ¿A qué razón
está cambiando el volumen de aire (𝑉) en el pulmón artificial (𝑑𝑉/𝑑𝑡) cuando el radio es de 5 𝑐𝑚?
Volumen de una Esfera: 𝑉 =
4
3
3
- Razón de Cambio en el Área de una Herida (Cicatrización) Una herida de forma circular se está
cerrando (cicatrizando). El radio (𝑟) de la herida disminuye a una razón constante de 0. 05 𝑚𝑚/𝑑í𝑎
(𝑑𝑟/𝑑𝑡). ¿A qué razón está cambiando el área de la herida (𝑑𝐴/𝑑𝑡) cuando el diámetro de la herida
es de 20 𝑚𝑚? (Recuerde que el diámetro es el doble del radio). Área del Círculo: 𝐴 = 𝜋 𝑟
2
- Razón de Cambio de la Distancia en un Equipo de Rehabilitación (Cinemática) Una plataforma de
rehabilitación simula un movimiento en el plano. La posición horizontal (𝑥) y vertical (𝑦) de un
punto de apoyo en la plataforma están relacionadas por la ecuación 𝑥
2
2
= 25 (donde las
unidades están en decímetros). Si la posición 𝑥 está aumentando a razón de 1 𝑑𝑚/𝑠 (𝑑𝑥/𝑑𝑡), y el
punto se encuentra en (3, 4). ¿A qué razón está cambiando la posición vertical 𝑦 (𝑑𝑦/𝑑𝑡) en ese
instante?
