Escuela Profesional de Economía Internacional Sección 2
Facultad de Ciencias Económicas Asignatura: Matemática para Economía I
Universidad Nacional Mayor de San Marcos Profesor: Ing. Econ. César Palomino Hernandez
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
1. DEFINICIÓN: Sea 𝑓 una función definida en un intervalo abierto 𝐼 que contiene a, 𝑥 =𝑎.
Se dice que 𝑓 es derivable (diferenciable) en el punto 𝑥=𝑎, si existe el siguiente límite:
lim
𝑥→𝑎𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎
En este caso el valor del límite se le denomina derivada de 𝑓 en el punto (𝑎;𝑓(𝑎)) y se le denota
por 𝑓′(𝑎).
Asi tenemos:
𝑓′(𝑎)=lim
𝑥→𝑎𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎 …(∗)
Ejemplo: Hallar 𝑓′(4), siendo 𝑓(𝑥)=√𝑥
Solución: Por definición tenemos: 𝑓′(4)=lim
𝑥→4𝑓(𝑥)−𝑓(4)
𝑥−4
→𝑓′(4)=lim
𝑥→4√𝑥−√4
𝑥−4 =lim
𝑥→4√𝑥−2
𝑥−4 ∗(√𝑥+2)
(√𝑥+2)=lim
𝑥→4 (𝑥−4)
(𝑥−4)(√𝑥+2)=lim
𝑥→4 1
√𝑥+2
=1
√4+2=1
4
Observación:
En (∗) hacemos un cambio de variable: ℎ=𝑥−𝑎. Entonces: 𝑥=𝑎+ℎ. Reemplazamos en (∗).
𝑓′(𝑎)= lim
𝑎+ℎ→𝑎𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
ℎ
Hacemos 𝑥=𝑎.
𝑓′(𝑥)=lim
ℎ→0𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ…(∗∗)
Donde 𝑓′(𝑥) se lee: “Derivada de la función en cualquier punto (𝑥;𝑓(𝑥))”.
Ejemplo 2: Dada la función:
𝑓(𝑥)={𝑥3/2sin1
𝑥;𝑥 ≠0
0;𝑥 =0 }
Demostrar que 𝑓 es diferenciable en 𝑥0=0. Es decir, demostrar que existe 𝑓′(0).
Solución: Usamos la definición (∗∗):
