Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas: Matemáticas para ingenieros, Diapositivas de Cálculo

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• Matemáticas para ingenieros

Derivada de la función exponencial

y logarítmica.

Semana 9 - sesión 1

Datos/Observaciones

Logro de la sesión

Al finalizar la sesión de aprendizaje, el estudiante conoce, analiza e interpreta

la derivada de la función exponencial y logarítmica para la solución de

ejercicios y problemas de contexto mediante la derivada de una función.

Utilidad

La derivada de una función permite modelar los problemas de las ciencias básicas: Economía, Física, Biología, Química; y de las ciencias aplicadas e ingeniería.

• Se utiliza en la economía para resolver problemas de optimización, determinación de máximos y mínimos, crecimiento poblacional entre otros.
• Se utiliza en la física con respecto a la termodinámica, resistencia de materiales, electrostática entre otros.

Datos/Observaciones

Derivación de la función exponencial

Sea la función 𝑓, con regla de correspondencia 𝑓(𝑥) = 𝑏 𝑥 → 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑏 𝑥

. ln 𝑏 𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐: Sea 𝑓 𝑥 = 5 𝑥 → 𝑓 ′ 𝑥 = La función 𝒇, con regla de correspondencia 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥 , 𝑥 ∈ ℝ con base 𝒆, se llama función exponencial natural. 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑒 𝑥 En general: 𝑆𝑖 𝑦 = 𝑒 𝑓(𝑥) → 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑓 𝑥 . 𝑓′(𝑥) 𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐: Sea 𝑔 𝑥 = 𝑒 3 𝑥+ 2 → 𝑔 ′ 𝑥 =

Datos/Observaciones

Derivación de la función logarítmica

Sea la función 𝑓, con regla de correspondencia: 𝑓 𝑥 = log𝑏 𝑥 donde 𝑏 es un número positivo y diferente de 1. → 𝑓 ′ 𝑥 =

𝑥 ln 𝑏 𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐: Sea 𝑓 𝑥 = log 3 𝑥 → 𝑓 ′ 𝑥 = → 𝑓 ′ 𝑥 =

En general: 𝑆𝑖 𝑦 = ln 𝑓(𝑥) → 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑓′(𝑥) 𝑓(𝑥) 𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐: Sea 𝑔 𝑥 = ln( 𝑥 𝑥− 1

′ 𝑥 = El logaritmo con base 𝒆 se le denomina función logaritmo natural y se define como: 𝑓 𝑥 = ln 𝑥

Datos/Observaciones

Ejercicio 2

Determine

𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝑎) 𝑦 = log 4 𝑥

3

2

𝑏) 𝑦 = ln( 3 + 𝑥 + 𝑥

2

2 − 𝑦 = 5 … 1 ; 𝑥𝑦 + 𝑥 = 8 ; 𝑥 2

• 𝑦 2 = 9 ; 𝑥 2
• 2 𝑥𝑦 + 𝑦 2 − 1 = 0 … ( 4 ) Decimos que tales ecuaciones están en forma implícita. De hecho, a veces se puede cambiar la forma de una ecuación implícita a explícita. Por ejemplo, al despejar 𝑦 en la ecuación 1 se obtiene 𝑦 = 3 𝑥 2 − 5. 𝑦 = + 9 − 𝑥 2 , (^) 𝑦 = − 9 − 𝑥^2 Hasta este momento las ecuaciones en dos variables se expresaron generalmente en la forma explícita como: 𝑦 = 𝑓(𝑥). Por ejemplo: 𝑦 = 3 𝑥 2
• 5 𝑥 − 4 ; 𝑠 = 2 𝑡 + 1 Sin embargo, muchas relaciones no están dadas explícitamente, estando determinadas por una expresión o ecuación como por ejemplo:

FUNCIONES EXPLÍCITAS E IMPLÍCITAS

En la ecuación 2 tenemos 𝒚 =

𝟖−𝒙 𝒙 , y a partir de la ecuación (3) podemos definir las funciones

Solución práctica Se tiene la siguiente relación: 𝑥 2

• 3𝑥𝑦 + 𝑦 3 = 5 Paso 1: Aplicando la derivada implícita 𝑥 2
• 3𝑥𝑦 + 𝑦 3 ′ = 5 ′ 𝑥 2 ′
• 3 𝑥𝑦 ′
• 𝑦 3 ′ = 0 2𝑥 + 3 1 ∙ 𝑦 + 𝑥𝑦′ + 3 𝑦 2 𝑦 ′ = 0 2𝑥 + 3𝑦 + 3𝑥 + 3 𝑦 2 𝑦 ′ = 0 Paso 2: Despejando 𝑦 ′ ∴ 𝑦 ′ =

2 EJEMPLO Halle 𝑑𝑦 𝑑𝑥 en la siguiente relación 𝑥 2

• 3𝑥𝑦 + 𝑦 3 = 5 Solución Paso 1: La relación dada es implícita. Paso 2: Utilizamos la fórmula de la derivada implícita: 𝑑𝑦 𝑑𝑥

donde, 𝐸 𝑥, 𝑦 = 𝑥 2

• 3𝑥𝑦 + 𝑦 3 − 5 derivando, 𝐸𝑥(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 3𝑦 𝐸𝑦(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 + 3 𝑦 2 Paso 3: Remplazando a la fórmula 𝑑𝑦 𝑑𝑥

2

DERIVADAS DE FUNCIONES DE TIPO

ℎ(𝑥) Hallando la derivada de la función 𝑦. Paso 1 : Se tiene la función 𝑦 = 𝑔(𝑥) ℎ(𝑥) Paso 2 : Aplicando logaritmo ln 𝑦 = ℎ(𝑥) ∙ ln 𝑔(𝑥) Paso 3 : Derivando implícitamente y utilizando la regla de la cadena, ln 𝑦 ′ = ℎ(𝑥) ∙ ln 𝑔(𝑥) ′ 𝑦′ 𝑦 = ℎ′ 𝑥 ∙ ln 𝑔 𝑥 + ℎ(𝑥) ∙ ln 𝑔(𝑥) ′ Paso 4 : Reemplazando la función 𝑦, 𝑦′ = 𝑔(𝑥) ℎ(𝑥) ℎ′ 𝑥 ∙ ln 𝑔 𝑥 + ℎ(𝑥) ∙

EJEMPLO Sea 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑥

. Determine 𝑓′(𝑥) Solución Paso 1 : Se tiene la función 𝑦 = 𝑥 𝑥 Paso 2 : Aplicando logaritmo 𝐥𝐧 𝒚 = 𝒙 ∙ 𝐥𝐧 𝒙 Paso 3 : Derivando implícitamente y utilizando la regla de la cadena,

= 𝑥 ′ ∙ ln 𝑥 + 𝑥 ∙ ln 𝑥 ′

𝑦′ = 𝑦 1 ∙ ln 𝑥 + 𝑥 ∙

Paso 4 : Remplazando 𝑦 y simplificando

𝑥

ln 𝑥 + 1

Datos/Observaciones

Ejercicio 3

, determine

𝑑𝑦 𝑑𝑥

a) Dada la función 𝑦 = 3𝑥 − 1

2𝑥

, determine

𝑑𝑦 𝑑𝑥

b) Se tiene la función 𝑦 = ln 𝑥 + 𝑥 + 1

c) Se tiene la función 𝑦 = 𝑒

𝑥 𝑥

, determine

𝑑𝑦 𝑑𝑥

• Aplicamos las reglas de derivación exponencial y logarítmica para calcular la derivada de manera sencilla.
• La derivada logarítmica ayuda a simplificar el cálculo de derivadas que requieren la regla del producto.

Conclusiones