Funciones exponenciales y logarítmicas en matemáticas universitarias, Apuntes de Matemáticas

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Matemáticas

universitarias. Semana 5

28 de septiembre del 2020.

Funciones exponenciales y logarítmicas

Ejemplos: 𝑓 𝑥 = 7 𝑥 𝑔 𝑥 =

𝑥 ℎ(𝑥) = 0. 5 4 𝑥 Una función exponencial es una función de la forma 𝒇(𝒙) = 𝒂 𝒙 donde 𝒂 es un número real positivo 𝒂 > 𝟎 y distinto de uno 𝒂 ≠ 𝟏

• Si
  • =
    • 3𝑥+
      • entonces 5𝑥 = 3𝑥 + 4 o 𝑥 =

Ejemplo: Resuelve la ecuación exponencial 𝟐 𝒙−𝟑 = 𝟖 𝒙+𝟏 para 𝑥 Solución 𝟐 𝒙−𝟑 = 𝟖 𝒙+𝟏 8 puede escribirse como una potencia de 2, es decir, 8 = 2 3 . 2 𝑥− 3 = 2 3 𝑥+ 1 𝟐 𝒙−𝟑 = 𝟐 𝟑𝒙+𝟑 𝑥 − 3 = 3 𝑥 + 3 𝒙 = −𝟑

Ejemplo: Resuelve la ecuación exponencial 3 𝑥 2 = 27 2𝑥− 3 para 𝑥 Solución: 𝟑 𝒙 𝟐 = 𝟐𝟕 𝟐𝒙−𝟑 3 𝑥 2 = 3 3 2𝑥− 3 3 𝑥 2 = 3 3 (2𝑥− 3 ) 𝟑 𝒙 𝟐 = 𝟑 𝟔𝒙−𝟗

2 = 6𝑥 − 9 𝑥 2 − 6𝑥 + 9 = 0 𝑥 − 3 𝑥 − 3 = 0 𝒙 = 𝟑

Cuando se escoge que la base en 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 sea 𝑎 = 𝑒, la función

𝒙 se denomina función exponencial natural. Como 𝑎 = 𝑒 > 1 y 𝑎 = 1 𝑒 < 1 , las gráficas de 𝒚 = 𝒆 𝒙 y 𝒚 = 𝒆 −𝒙 o 𝒚 =

𝒙 se muestran a continuación

Solución: El capital inicial, 𝑝 = $100, 000 La tasa de interés, 𝑟 = 5% El interés se capitaliza cada trimestre, el número de periodos de capitalización por año, 𝑛 = 4 El dinero se invierte durante 5 años, por lo tanto, 𝑡 = 5 Sustituyendo en 𝐴 = 𝑝 1 + 𝑟 𝑛 𝑛𝑡 𝐴 = 100 000 1 +

1. 05 4 4 ( 5 ) = 100 000 1 + 0. 0125 20 ≈ 100 000 1. 282 ≈ 128 200 Después de 5 años, los $100 000 originales habrán crecido a casi $128 200

Ejemplo: Entre las 21:00 y las 22:00 horas, los autos llegan a un restaurante de comida rápida con una tasa de 12 autos por hora (0.2 autos por minuto). La siguiente fórmula de la teoría de probabilidades se utiliza para determinar la probabilidad de que un auto llegue en los primeros 𝑡 minutos después de las 21:00 horas. 𝐹 𝑡 = 1 − 𝑒 − 0 .2𝑡 a) Determine la probabilidad de que un auto llegue en los siguientes 5 minutos después de las 21:00 horas (es decir, antes de la 21:05 horas). b) Determine la probabilidad de que un auto llegue en los siguientes 30 minutos después de las 21:00 horas (antes de las 21:30 horas).

Función logarítmica La función logarítmica con la base 𝑎 > 0 y 𝑎 ≠ 0 , se define por 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒙 si y sólo si 𝑥 = 𝑎 𝑦 El dominio de la función logarítmica es el conjunto de los números reales positivos 0 , ∞. La función exponencial 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 , 𝑎 > 0 , 𝑎 ≠ 1 , tiene una función inversa que está definida de manera implícita por la ecuación. Esta función inversa es la función logarítmica.

Ejemplo: Resolver: log 4 𝑥 + 3 + log 4 2 − 𝑥 = 1 Solución: log 4 𝑥 + 3 + log 4 2 − 𝑥 = 1 log 4 𝑥 + 3 2 − 𝑥 = 1 𝑥 + 3 2 − 𝑥 = 4 1 = 4 −𝑥 2 − 𝑥 + 6 = 4 Ecuaciones logarítmicas. En estas ecuaciones las incógnitas se encuentran afectadas por logaritmos, su solución se obtiene al aplicar las propiedades y la definición de logaritmo. 𝑥 2

• 𝑥 − 2 = 0 𝑥 + 2 𝑥 − 1 = 0 𝑥 = − 2 𝑜 𝑥 = 1 El conjunto de soluciones es − 2 , 1

Progresión aritmética y geométrica

Una progresión (o sucesión) es un conjunto ordenado de números reales llamados términos. 𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑, 𝒂𝟒 … Una sucesión es finita cuando tiene primer y último término. Una sucesión es infinita si tiene primer término pero no tiene último término. Ejemplos: 1, 4, 9, 16, 25, … es una sucesión infinita. Su primer término es 𝑎 1 = 1 y no tiene último término. 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35 es una sucesión finita. Su primer término es 𝑎 1 = 5 y el último término es 𝑎 7 = 35.