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Derivada de FUNCIONES LOGARÍTMICAS
F. logaritmo Neperiano f^ ^ x=ln^ u^ ;^ f^ '^ ^ x=^ u'^ ·^
u
u '
u
------ f^ ^ x=ln^ x^ ;^ f^ '^ x^ =^
x
F. logaritmo base a f x= loga u=
lnu
ln a
; f ' x =
u '
u· lna
----- f x= loga x=
ln x
ln a
; f ' x =
x · ln a
EJEMPLOS
a) f(x)= ln (2x+1) f^ '^ (^ x)=^
2x+ 1
b) f(x) =ln ( sen x + cos x) f '(x)=
cos x−sen x sen x+cos x
c) f(x)= log 3 (3x^5 –2x+3) y'=
15 x^4 − 2 (3x^5 −2x+ 3 )· ln 3
d) f(x) =log (1+arctg x); y'=
( 1 +x^2 )· ( 1 +arctg x) · ln 10
EJERCICIOS
1. y= ln ( x^3 – 4x^2 + 3)
2. y= ln ( tg x)
3. y= ln (3x – 2 sen x)
4. y= log 3 (ex)
5. y= log 5 (2·arc sen x)
6. y= log 2 (x^2 – 3x) – 3· ln (1 – 2x^2 )
7. y= ln (x^2 + 1) – ln ( x^2 – 1)
8. y= log
x^4
9. y=log^ (^ sen√^ x)
- y= ln^ (^ x+^ √^ x 2
NOTA: En ocasiones conviene aplicar las propiedades de logaritmos que ya hemos estudiado.
ln
a
b
= ln a−ln b
EJEMPLOS
a) f(x)= ln^
3x+ 2 x^2 −2x = ln (3x+ 2 )−ln ( x 2
− x) f '(x)=
3x+ 2
2x− 2 ( x^2 − x)
−3x^2 −4x+ 4 (3x+ 2 )( x^2 − x)
b) f(x)= ln ( sen^3 x)= 3·ln (sen x) f '(x)= 3
cos x sen x = 3 · cotg x
c) f(x) = ln^ (^
3 √ x^4 · √ x)=
· ln x+
· ln x=
· ln x f '(x) =
6x
EJERCICIOS
11. f(x)= ln^ (
3x + 1
2x − 3 )
12.f(x)=
ln
5 √ x 9
13. f(x) = log^ [(2x+^1 )^ ·^ tg^ x^ ]
14. f(x) = log^2 (
ex
ex+ 1 )
15. f(x)= ln
1 −cos x 1 +cos x
16. f(x)= 2·ln (x·arcsen x)
17. f(x)= log 3
4
√(3x²+^1 )
3
18. f(x) = ln (3·sen^4 x)
Soluciones
1. y'=
3 x^2 − 8 x x^3 − 4 x^2 + 3
2. y'=
tg 2 x+ 1 tg x =tg x+cotg x
3. y'=
3 − 2 cos x 3x− 2 sen x
4. y'=
ln 3
5. y'=
ln 5 · arc sen x· (^) √ 1 − x^2
6. y'=
2x− 3 ln 2 · ( x^2 −3x)
12x 1 − 2 x^2
7. y=
2x x^2 + 1
2x x^2 − 1
−4x x^4 − 1
8. y=
x · ln 10
9. y'=
cotg √ x
ln 10 · 2 √ x
10.y'= 1
√ x
11. y'=
(3x+ 1 )(2x − 3 )
12.y'= −^9
5x
13.y'=
ln 10 (^
2x+ 1
1 +tg^2 x
tg x )
14.y'=
ln 2
ex+ 1
15.y'=
sen x
16.y'=
x
√^1 −^ x (^2) · arcsen x
17.y'=
ln 3
−9x 6 x^2 + 2
18.y'=4·cotg x
Derivada de FUNCIONES EXPONENCIALES
F. exponencial base e f^ (x^ )=e^
u
; f ' ( x)= u ' · e
u
------ f^ (x^ )=e^
x
; f ' (x )= e
x
F. exponencial base a f (x )=a
u
; f ' ( x)= u ' · a
u
· ln a ----- f (x )=a
x
; f ' (x )= a
x
· ln a
Nota : las funciones tipo y=
a
u , conviene derivarlas haciendo y=^ a^
−u
EJEMPLOS
a) f(x)= e 2x+1^ f '(x)= 2·e 2x+
b) f(x)= 3
2 + x 2 − x
f '(x)=
4 · ln 3
( 2 −x )
2 ·^3
2 + x 2 − x
c) f(x) = e3x
(^2) +cos x
f '(x)= (6x−sen x )· e3x
(^2) +cos x
d) f(x)= (
√5x+^3
f '(x)= ln(
2 · √5x+ 3 (
√5x+^3
EJERCICIOS
1. y= 10 √^ x+^1
2. y=
e
1 3 − x^2
3. y=
e
x
+e
−x
4. y= 3 sen
(^2) x
5. y= 2
3x+ 1 5x − 2
6. y=
e
2x 3 −x^2
7. y= e
3 x^4
8. a
cos√ x
9. y= 1
5 x+√^ x (^2) + 1
Soluciones
1. y'=
ln 10
2 √ x+ 1
10 √x+^1
2. y'=
2x
( 3 −x
2
2 e
1 3 −x^2
3. y'=
e
x
−e
−x
4. y'= 2 ln 3 · sen x · cos x · 3 sen
(^2) x
5. y'=
− 11 · ln
(5x− 2 )
2 ·^2
3x+ 1 5x− 2
6. y'= −
6 +2x
2
( x
2
2 ·^ e
2x x^2 − 3
7. y'= −^12
x^5 · e 3 x^4
8. y'= −^ sen√^ x
2 √ x
· acos^ √^ x^ · ln a
9. y'= −
1 + x
√ x^2 +^1 )
· 5 −(^ x+√x (^2) + 1 )
