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SESIÓN 3
Tema: Integración por Partes
1. Usando el método de integración por partes calcula las siguientes integrales:
a)
x xe dx
Solución:
En primer lugar, según el método de ILATE, identificamos a x como Algebraica y
x
e como
Exponencial. ILATE
Sea u x , su diferencial es du^ dx. Además, sea
x
^ dv^ e , integrando sería.
x v e
Ahora aplicando la definición udv uv duv
, se obtiene
x
xe dx
x x xe e dx
x x xe e c
x e x c
b) x ln( ) x dt
Solución:
En primer lugar, según el método de ILATE, identificamos a x como Algebraica y ln x como
Logarítmica. ILATE
Sea u ln x , su diferencial es
du dx. x
Además, sea dv x , integrando sería
2
. 2
x v
Ahora aplicando la definición udv uv duv
, se obtiene
x ln xdx
2 2 1 ln 2 2
x x x x
^
2 ln
x x x c
2 2 ln
x x x c
c)
2 x sen x dx ( )
Solución:
En primer lugar, según el método de ILATE, identificamos a
2
x como Algebraica y sen x ( )como
Trigonométrica. ILATE
Sea
2
u x , su diferencial es du 2 xdx. Además, sea dv senx , integrando sería v cos( ). x
Ahora aplicando la definición udv uv duv
, se obtiene
2
x sen x dx ( )
2 x ( cos( )) x cos( )(2 ) x x c
2 x cos( ) x 2 x cos( ) x c
2
x cos( ) x 2( A ) ….. (I)
Se considera A (cos( ))( ) x x dx
Sea u x , su diferencial es du dx. Además, sea dv cos( ) x dx , integrando sería v sen x ( ).
Ahora aplicando la definición udv uv duv
, se obtiene
x cos( ) x dx
xsen x ( ) sen x dx ( ) c
xsen x ( ) ( cos( ) x c
xsen x ( ) cos( ) x c ….. (II)
(II) en (I):
2 x cos( ) x 2( sen x ( ) cos( )) x c
2 x cos( ) x 2 sen x ( ) 2cos( ) x
2 cos(2 x ) 2 xsenx
d) ln( ) x dx
Solución:
La integral se puede escribir 1.ln( ) x dx
En primer lugar, según el método de ILATE, identificamos
a
0
1 x como Algebraica y ln x como Logarítmica. ILATE
Sea u ln x , su diferencial es
du dx. x
Además, sea
0
dv x dx , integrando sería v x.
Ahora aplicando la definición udv uv duv
, se obtiene
x ln xdx
x ln x x x
x ln( ) x 1 c
x ln( ) x x c
x
e sen x dx
( ) cos( )
x x e sen x e x
x
e sen x A ….. (I)
Se considera cos( )
x A e x
Sea u cos( ) x , su diferencial es du sen x dx ( ). Además, sea
x
dv e dx , integrando sería
x v e
Ahora aplicando la definición udv uv duv
, se obtiene
cos( )
x e x
cos( ) ( )
x x e x e sen x dx
cos( ) ( )
x x e x e sen x dx
…..(II)
(II) en (I):
x
e sen x dx
( ) ( cos( ) ( ) )
x x x e sen x e x e sen x dx
x
e sen x dx
( ) cos( ) ( )
x x x e sen x e x e sen x dx
Considerando ( )
x
e sen x dx y
y ( ) cos( )
x x e sen x e x y
2 ( ( ) cos( ))
x y e sen x x
( ) cos( ) ( ) 2 2
x sen x^ x y e
h)
e bxdx
ax cos( )
Solución:
En primer lugar, según el método de ILATE, identificamos a
ax
e como Exponencial ycos( bx )
como Trigonométrica. ILATE
Sea u cos( bx ), su diferencial es du bsen bx dx ( ). Además, sea
ax
dv e , integrando sería
ax e v a
Ahora aplicando la definición udv uv duv
, se obtiene
cos( )
ax
e bx dx
cos( ) ( ( ))
ax ax e bx e bsen bx a a
cos( ) ( )
ax e bx b (^) ax e sen bx a a
(^)
cos( ) ( )
ax e bx b A a a
^ ….. (I)
Se considera ( )
ax A e sen bx
Sea u sen bx ( ), su diferencial es du cos( ) x dx. Además, sea
ax
dv e dx , integrando sería
ax e v a
Ahora aplicando la definición udv uv duv
, se obtiene
ax e sen bx
( ) cos( )
ax ax e sen bx e bx bdx
a a
cos( )
ax e sen bx b (^) ax e bx dx a a
…..(II)
(II) en (I):
cos( )
ax
e bx dx
cos( ) ( )
ax e bx b A a a
cos( )
ax
e bx dx
cos( ) ( ) cos( )
ax ax e bx b e sen bx b (^) ax e bx dx a a a a
cos( )
ax
e bx dx
2
2 2
cos( ) ( ) cos( )
ax ax e bx be sen bx b (^) ax e bx dx a (^) a a
Considerando cos( )
ax
e bx dx y
y
2
2 2
cos( ) ( ) ( )
ax ax e bx be sen bx b y a (^) a a
2
2
cos( )
ax b e bsen bx y y bx a a^ a
2
2
1 cos( )
ax b e bsen bx y bx a a^ a
^ ^
^
2 2
2
cos( )
ax a b e bsen bx y bx a a^ a
^
^
2 2
cos( )
ax ae bsen bx y bx a b a
2 2
cos( ) ( )
ax e y a bx bsen bx a b
2 2
ax a^^ cos(^ bx^ )^ bsen bx (^ ) y e a b
Reemplazando en y:
2 2
cos( ) ( ) cos( )
ax ax a^ bx^ bsen bx e bx dx e a b
2 (2 5 2)
x x x e A
Se considera (4 5)
x A e x
Sea u 4 x 5 , su diferencial es du 4 dx. Además, sea
x
dv e dx , integrando sería.
x v e
Ahora aplicando la definición udv uv duv
, se obtiene
x e x
x x x e e dx
x x
x e e c^ …..(II)
(II) en (I):
2 (2 5 2)
x x x e A
2 (2 5 2) ((4 5) 4 )
x x x x x e x e e c
2 (2 1)
x x x e c
k)
2 (2 x 1) ln( ) x dx
Solución:
En primer lugar, según el método de ILATE, identificamos a
2
(2 x 1) como Algebraica y ln x
como Logarítmica.
Sea u ln x , su diferencial es
du dx. x
Además, sea
2
dv 2 x 1 , integrando sería v 4 x 1.
Ahora aplicando la definición udv uv duv
, se obtiene
2 (2 x 1) ln( ) x dx
3 3 2 2 1 ln 3 3
x x x x x x
^
3 2 2 2 ln 1 3 3
x x x x
3 3 2 2 ln 3 3(3)
x x x x x
3 3 2 2 ln 3 9
x x x x x
(3 x 1) cos( ) x dx
Solución:
En primer lugar, según el método de ILATE, identificamos a 3 x^ ^1 como Algebraica y cos x
como Trigonométrica.
Sea u 3 x 1 , su diferencial es du 3 dx. Además, sea dv cos xdx , integrando sería v senx.
Luego, aplicando la definición udv uv duv
, se obtiene
(3 x 1) cos( ) x dx
(3 x 1)( senx ) (^) 3 senx
(3 x 1)( senx ) 3( cos ) x c
(3 x 1)( senx ) 3(cos ) x c
2. La intensidad de amortiguación de los resortes de una moto lineal es estimado por:
' () 15 sin()
- 015
A t e t
t
¿Cómo determinaría la ecuación que describe la amortiguación de
los resortes?
Solución:
Recuerde que la ecuación de amortiguación de un resorte es la derivada de la función A(t).
Entonces,
15 sin( )
dA t
e t
dt
Y por tanto, A t ( )debe ser antiderivada de
dA
dt
, así
A t ( ) =
dA
dt
15 sin( )
t e t
Resolviendo en A t ( ),
Según el método de ILATE, identificamos a
0.015 t
e
como Exponencial y sen t ( )como
Trigonométrica.
Sea u sen t ( ), su diferencial es du cos( ) t dt. Además, sea
3 /200 t dv e dt
, integrando sería
3 / 200 . 3
t e v
Ahora aplicando la definición udv uv duv
, se obtiene
15 sin( )
t
e t
3 /200 3 / (200) ( ) 200 (cos( )) 3 3
t t e sen t e t
3 /200 3 / (200) ( ) 200 (cos( )) 3 3
t t e sen t e t
3 / (200) ( ) (^200) 3 / cos( ) 3 3
t e sen t (^) t e t
….. (I)
Se considera
3 / cos( )
t A e t
(^)
Sea u cos( ) t , su diferencial es du sen t dt ( ). Además, sea
3 /200 t dv e dt
, integrando sería
3 / 200
t e v
3. Una empresa tiene un costo marginal por unidad de su producto dado por
2
5000ln(x 20) C'(x) (x 20)
, en donde x es el nivel de producción. Si los costos fijos ascienden a
$ 2000, determine la función de costo.
Solución:
a) El costo C x ( )se determina integrando C '( ) x con respecto a x. Así
2
5000ln( 20) ( ) '( ) ( 20)
x C x C x dx dx x
2
ln( 20) 5000 ( 20)
x
x
Para integrar ambos miembros, se emplea la integración por partes usando la técnica de
ILATE:
-Identificamos a ln( x 20)como Logarítmica y x 20 como Algebraica.
Sea u ln( x 20), su diferencial es
du x
Además, sea
dv x
, integrando sería
v x
Ahora aplicando la definición udv uv duv
, se obtiene
2
ln( 20) 5000 ( 20)
x
x
5000 ln( 20) 20 20 20
x x x x
^ ^
5000 ln( 20) 20 20
x x x
^
1 1 ( 20) 5000 ln( 20) 20 1
x x c x
^
^
ln( 20) 1 5000 ( 20) 20
x x c x
ln( 20) 1 5000 20
x c x
^
El valor de C se determina por el hecho de que C (0) 0. Así,
0 R (0)
ln(0 20) 1 0 5000 0 20
C
0 250ln(20) 250 C
C 250ln(20) 250
Por tanto
ln( 20) 1 ( ) 5000 250ln(20) 250 20
x C x x
^
b) El costo total está definido por el costo variable más el costo fijo
ln( 20) 1 ( ) 5000 250ln(20) 250 2000 20
ln( 20) 1 5000 250ln(20) 2250 20
x CT x x
x
x
^
^
4. El ingreso marginal de una empresa por su producto es
x/ I'(x) 10(20 x)e
: determine la
función de ingreso.
Solución:
a) El ingreso I x ( )se determina integrando I '( ) x con respecto a x. Así
/ ( ) '( ) 10(20 )
x I x I x dx x e dx
Para integrar ambos miembros, se emplea la integración por partes usando el método de
ILATE, identificamos a^20
x
e
como Exponencial y (20 x )como Algebraica. (ILATE)
Sea u 20 x , su diferencial es du 1. Además, sea
x / dv e dx
, integrando sería
/
x v e
Ahora aplicando la definición udv uv duv
, se obtiene
x/20 x/20 x/ (20 x)e (20 x)20e 20e ( 1) C
(^)
x/20 x/ (20 x)20e 20e (1) C
x/20 x/ (20 x)20e 20( 20)e C
x/ e (20x 400 400) C
x/ e (20x 400 400) C
x/ 10(20)e C
x/ 200e C
El valor de C se determina por el hecho de que I (0) 0. Así,
0 I (0)
0/ 20 0 200 e C
0 200 C
C 200
Por tanto
/ ( ) 200 200
x I x e
5. Un fabricante de juegos de video determina que su nuevo juego se vende en el mercado a una
tasa de
0,2x I'(x) 4000xe
juegos por semana, en donde x es el número por semanas desde el
Solución:
a) Los casos atendidos C t ( )se determina integrando C '( ) x con respecto a x. Así
0, ( ) '( ) 5
t C x C x dx te
Para integrar ambos miembros, se emplea la integración por partes usando el método de
ILATE, identificamos a
0.1 t
e
como Exponencial y t como Algebraica.
Sea u t , su diferencial es du dt. Además, sea
0.1 t dv e dx
, integrando sería
t v e
Ahora aplicando la definición udv uv duv
, se obtiene
-0,1t -0.1t -0.1t 5te = 5(t(-10e ) - -10e ) + C
0.1t 0.1t 5( 10te 10 e ) C
0.1t 0.1t 5( 10te 10( 10e )) C
0.1t 0.1t 5( 10te 100e )
0.1t 50e (t 10) C
El valor de C se determina por el hecho de que C (0) 0. Así,
0 I (0)
0.1(0) 0 50 e (0 10) C
0 50(10) C
C 500
Por tanto
( ) 50 ( 10) 500
t C x e t
b) El número de casos atendidos en el hospital durante los 5 primeros días
0.1(5) C x ( ) 50 e (5 10) 500
C x ( ) 454.8979948 500
C x ( ) 45.1 45
7. Función de Demanda: Una importante emisora de radio, lanza al aire un nuevo programa de
las once hasta la una de la mañana, éste espacio musical, tendrá como principal característica
la música de los 80s, y para ello adquiere varios lotes de discos compactos originales y se
estima que el precio p , en soles de cada lote de CD original, cambia a una tasa de:
2
ln
dp
x x
dx
Donde x , es la cantidad demandada por la emisora. Suponga que se demandan 40 lotes, cuando
el precio es de 100000 soles. El fabricante, como parte de la cultura de fidelización del cliente
(en este caso de la radio), llevará a cabo un estudio para:
a) Determinar el modelo matemático, es decir la función de la demanda p x ( ).
b) ¿A qué precio se demandará 20 lotes, sabiendo que son CDs importados y autografiados?
Solución:
La cantidad demandada P x ( )se determina integrando P '( ) x con respecto a x. Así
2 P x ( ) P '( ) x dx x ln x
Para integrar ambos miembros, se emplea la integración por partes usando el método de
ILATE, identificamos a
2
x como Algebraica y ln x como Logarítmica.
Sea u ln( ) x , su diferencial es
du dt. x
Además, sea
2
dv x dx , integrando sería
3
x v
Ahora aplicando la definición udv uv duv
, se obtiene
3 3 2 1 ln ln 3 3
x x x x x dx C x
^
3 2
ln 3 3
x x x dx C
3 3
ln 3 9
x x x C
3 1 ln 3 3
x x C
El valor de C se determina por el hecho de que P (40) 100000. Así,
100000 P (40)
3 40 1 100000 ln 40 3 3
C
100000 71584.98391 C
C 28415.
a) Por tanto, el modelo matemático para la función demanda p(x) es:
3 1 ( ) ln 28415. 3 3
x C x x
b) El precio de 20 lotes de CDs es:
3 20 1 (20) ln 20 28415. 3 3
C
C (20) 7099.7 28415.
C x ( ) 35514.72 35515
