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Actividad N° 1
Calcule, en caso de existir, los siguientes límites:
a) lim lim
BÄ! BÄ
=/8Ð#BÑ=/8Ð$BÑ
B bB (c#B
#Bc( *c#B
(c#B
$
(
b
b)
ˆ ‰
l l
b
Ô Õ
Ô Õ
Actividad N° 2
Sea 0 una función definida como sigue:
si
si
si
0 ÐBÑ œ
B "
B "
Ú
Ý
Ý
Ý
Ý
Ý
Û
Ý
Ý
Ý
Ý
Ý
Ü
+B c+B
B c%Bb$
+b,
"b B
È
Determine, si es posible, + y , − ‘tales que 0 sea continua en B œ ".
Actividad N° 3
a) Sea 1ÐBÑ œ ’ Š 0 0 #B ‹“ tal que 0 Ð%Ñ œ " 0 Ð"Ñ œ #; ; 0 Ð"Ñ œ $ ; 0 Ð%Ñ œ $.
$
w w
Determime 1 Ð#Ñ.
w
b) Determine la derivada de 2ÐBÑ œ &=/8ÐB Ñ-9= Ð #B Ñ b
$
È
%68Ð&BÑ b$
b(
/
/ /
/
#B B
Actividad N° 4
Sea 0 ÐBÑ œ Ð#B b "Ñ ÐB b -Ñ
(
Determine, si es posible, el valor de la constante real - tal que:
Ð#B b "Ñ0 ÐBÑ œ "%0 ÐBÑ
ww w
Actividad N°
a) Determine la derivada de 0 ÐBÑ œ -9= Ð$B b #Ñ b
/ b #
B b#
#B
%
È
b) Sea 1 una función diferenciable en‘. Considere 2ÐBÑ œ B † 1Ð1Ð#BÑÑ.
Determine 2 Ð$Ñ si 1Ð'Ñ œ # ß 1 Ð'Ñ œ % ß 1Ð#Ñ œ & ß 1 Ð#Ñ œ '.
w w w
Actividad Nº
La base de un rectángulo aumenta a % mientras que su altura decrece a $. ¿Con
-7 -
=/1 =/
qué rapidez cambia su área cuando la base mide #! -7 y la altura "# -7? ¿Aumenta o
disminuye el área en ese momento? Justifique.
Actividad N° 7
a) Calcule 1 Ð!Ñ, sabiendo que 0 y 1 son funciones diferenciables en , tales que:
w ‘
1ÐBÑ œ =/8 0 0 Ð#BÑŠ ‹ , 0 Ð!Ñ œ! , 0 Ð!Ñ œ ".
w
b) Sea 2 una función definida por 2ÐBÑ œ #/ c b /.
È B '^ b " & *
%
ÐB b (Ñ
$B b &
/
Determine 2 ÐBÑ.
w
Actividad N° 8
El volumen de un globo esférico aumenta a una razón constante de "!metros cúbicos por
hora. En el instante en que el radio mide &metros, determine la rapidez con que aumenta
el área.
( Volumen: Z œ < E œ % <; )
%
$
$ #
Actividad N° 9
El volumen Z comprendido entre #esferas concéntricas se está ensanchando. El radio de
la esfera exterior crece a razón constante de # , mientras que el radio de la esfera
7
2
interna decrece con rapidez constante de. ¿A qué razón está variando cuando el
"
7
2
Z
radio exterior es $7 , y el radio interior, de "7?
Por tanto, 0 es continua en " si y sólo si + œ c ") y , œ $'.
Actividad N° 3
Solución:
a) 1ÐBÑ œ ’ Š 0 0 #B ‹“
$
1 ÐBÑ œ $ 0 0 #B † 0 0 #B † 0 #B † #
w w w
1 Ð#Ñ œ $ 0 0 % † 0 0 % † 0 % † #
w w w
’ Š ˆ ‰‹“^ Š ˆ ‰‹^ ˆ ‰
œ $ † (^) ’0 Ð"Ñ “ † 0 (^) Š ‹" † $ † #
w
œ $ † # † $ † $ † # œ #"'
b) 2ÐBÑ œ &=/8ÐB Ñ-9= Ð #B Ñ b
$
È
%68Ð&BÑ b$
b(
/
/ /
/
#B B
2 ÐBÑ œ & -9=ÐB Ñ † #B † -9= Ð #B Ñ b =/8ÐB Ñ † $-9= Ð #B Ñ † Ð c =/8Ð #B Ñ † † #
w # $ # # Š ‹
È È È
"
#† #B
È
b
Ð%† †&b!ÑÐ# b( ÑcÐ%68Ð&BÑ b$ ÑÐ# †#b( †#BÑ
Ð#/ b(/ Ñ
"
&B
#B B #B B
/ / / / /
/
#B B #
Actividad N° 4
0 ÐBÑ œ Ð#B b "Ñ ÐB b -Ñ
(
0 ÐBÑ œ (Ð#B b "Ñ † #ÐB b -Ñ b Ð#B b "Ñ œ Ð#B b "Ñ Ð"'B b "%- b "Ñ
w ' ( '
0 ÐBÑ œ 'Ð#B b "Ñ † #Ð"'B b "%- b "Ñ b Ð#B b "Ñ † "' œ Ð#B b "Ñ Ð##%B b "')- b #)Ñ
ww & ' &
Reemplazando en Ð#B b "Ñ0 ÐBÑ œ "%0 ÐBÑse obtiene:
ww w
Ð#B b "ÑÐ#B b "Ñ Ð##%B b "')- b #)Ñ œ "%Ð#B b "Ñ Ð"'B b "%- b "Ñ
& '
Í Ð#B b "Ñ Ð##%B b "')- b #)Ñ œ "%Ð#B b "Ñ Ð"'B b "%- b "Ñ
' '
Í ##%B b "')- b #) œ "%Ð"'B b "%- b "Ñ
Í - œ
"
Actividad N°
a) Determine la derivada de 0 ÐBÑ œ -9= Ð$B b #Ñ b
/ b #
B b#
#B
%
È
b) Sea 1 una función diferenciable en‘. Considere 2ÐBÑ œ B † 1Ð1Ð#BÑÑ.
Determine 2 Ð$Ñ si 1Ð'Ñ œ # ß 1 Ð'Ñ œ % ß 1Ð#Ñ œ & ß 1 Ð#Ñ œ '.
w w w
Solución
a)
0 ÐBÑ œ #-9=Ð$B b #Ñ † Ð c =/8Ð$B b #ÑÑ † $ b
w
/ †#ÐB b#ÑcÐ/ b #ц%B
ÐB b#Ñ
#B % #B $
% #
È
b) 2 ÐBÑ œ 1Ð1Ð#BÑÑ b B † 1 Ð1Ð#BÑÑ † 1 Ð#BÑ † #
w w w
2 Ð$Ñ œ 1Ð1Ð'ÑÑ b $ † 1 Ð1Ð'ÑÑ † 1 Ð'Ñ † #
w w w
2 Ð$Ñ œ 1Ð#Ñ b $ † 1 Ð#Ñ † % † #
w w
2 Ð$Ñ œ & b $ † ' † % † #
w
2 Ð$Ñ œ "%*
w
Actividad Nº
La base de un rectángulo aumenta a % mientras que su altura decrece a $. ¿Con
-7 -
=/1 =/
qué rapidez cambia su área cuando la base mide #! -7 y la altura "# -7? ¿Aumenta o
disminuye el área en ese momento? Justifique.
Solución
Sean ,ß 2ß Ela base, altura y área del rectángulo respectivamente.
E œ , † 2 Î
.
.>
.E .,.
.> .> .>
œ † 2 b , †
Reemplazando , œ #!ß 2 œ "#ß œ % , œ c $ se obtiene
.,.
.> .>
Z œ < Î
%.
$ .>
$
.Z % .<
.> $ .>
œ 1 † $<†
.Z .<
.> .>
œ % < † 1
"! œ % 1 † & †
.<
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.> "!
œ 1
E œ % < Î 1
#.
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œ % 1 † #< †
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œ ) < † 1
.<
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.E "
.> "!
œ ) 1 † & † 1
.E
.>
œ %
Por tanto, el área aumenta a %metros cuadrados por hora en el instante en que el
radio es &metros.
Actividad N° 9
Resolución:
Sea Z el volumen comprendido entre # esferas concéntricas y < , los radios de la < " #
esfera exterior e interior respectivamente.
Z œ < c <
% %
$ $
" #
$ $
Z œ Ð< c < Ñ Î
%.
$ .>
" #
$ $
.Z %
.> $ .> .>
.< .< œ 1 Š$<† c $<† ‹
" #
" #
.Z
.> .> .>
.< .< œ % 1 Š< † c < ‹†
" #
" #
Reemplazando < œ $ß < œ "ß " #
.< .<
.> .> #
" # " œ #ß œ c en (* ) se obtiene:
.Z "
.> #
œ % 1 Š † # c " † c ‹œ (% 1
Ð Ñ
Por tanto, el volumen Z aumenta a una rapidez de (% 1 el radio
7
2
$
en el instante en que
exterior es $7, y el radio interior es "7.
