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Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
Página 301
REFLEXIONA Y RESUELVE
Tomar un autobús en marcha
En la gráfica siguiente, la línea roja representa el movimiento de un autobús que arranca de la parada y va, poco a poco, ganando velocidad.
① y^ ② corresponden a pasajeros que llegan tarde y corren para tomar el auto-
bús en marcha.
a) Al viajero ② lo acercan en bicicleta. Describe su movimiento y halla la veloci-
dad a la que corre.
b) ¿Cuál es la velocidad aproximada del autobús en el momento que lo alcanza el
pasajero ②?
¿Entra este pasajero suavemente en el autobús?
a) El pasajero 2 llega a la parada 10 s después de que saliera el autobús, y lo alcanza 5 s después, 40 m más allá.
Corrió, por tanto, a = 8 m/s. Es decir: 8 · 3,6 = 28,8 km/h
b) En el instante 14 s está a 35 m de la parada. En el instante 16 s está a 50 m de la parada.
Velocidad media = = 7,5 m/s = 27 km/h
Las velocidades del pasajero 2 y del autobús son, aproximadamente, iguales en el mo- mento en el que el pasajero accede al autobús; por tanto, accederá suavemente.
15 m 2 s
5 s
50 m
10 s 15 s 20 s
1
2
INICIACIÓN AL CÁLCULO
DE DERIVADAS.
12 APLICACIONES
¿Es preferible esperar o correr tras el autobús?
Los viajeros ③ y ④ , en el momento de la salida del autobús, estaban a 100 m de
la parada. El ③ decide esperarlo y entrar en él cuando pase por allí.
El ④ tiene un extraño comportamiento. ¿Extraño?
a) Describe el movimiento del pasajero ④.
b) Explica por qué el comportamiento del pasajero ④ es mucho más sensato que
el del ③ , quien tendrá muy difícil la entrada en el autobús.
a) Intenta alcanzar aproximadamente la velocidad que lleva el autobús para acceder a él suavemente.
b) El pasajero 4 accede suavemente al autobús (con la misma velocidad, aproximada- mente); sin embargo, el 3 no.
Carrera de relevos
La siguiente gráfica refleja el comportamiento de dos atletas, del mismo equipo, durante una carrera de relevos:
a) ¿Por qué en las carreras de relevos 4 Ò 100 m cada relevista empieza a correr antes de que llegue su compañero?
b) ¿Qué pasaría si esperara quieto la llegada del otro?
c) ¿Es razonable que las gráficas de sus movi- mientos sean tangentes? ¿Cómo son sus velocidades en el momento de la entrega del “testigo”?
a) Para que el “testigo” pase sin brusquedades del que llega al que se va.
b) El intercambio sería muy brusco y se perdería tiempo.
c) Sí, así llevarán los dos la misma velocidad, aproximadamente.
2.º relevista
- er^ relevista
5 s
50 m
10 s 15 s 20 s
4
100 m 3
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
2. Halla la derivada de y = en los puntos de abscisas 1, –1 y 5.
f ' (1) = = =
f ' (–1) = = =
f ' (5) = = =
3. Halla la derivada de y = en los puntos de abscisas –2, –1, 1 y 2.
f ' (–2) = = =
f ' (–1) = = =
f ' (1) = = =
f ' (2) = = =
4 + 2h lím h 8 0
h h·(4 + 2h) lím h 8 0
(2 – 2 – h)/2·(2 + h) h lím h 8 0
[1/(2 + h)] – (1/2) h lím h 8 0
f (2 + h) – f (2) h
lím h 8 0
1 + h lím h 8 0
(1 – 1 – h) h(1 + h) lím h 8 0
[1/(1 + h)] – 1 h lím h 8 0
f (1 + h) – f (1) h
lím h 8 0
h – 1 lím h 8 0
h/(h – 1) h lím h 8 0
[1/(–1 + h)] – (–1) h
lím h 8 0
f (–1 + h) – f (–1) h
lím h 8 0
2h – 4
lím h 8 0
h/(–4 – 2h) h
lím h 8 0
[1/(–2 + h)] – (–1/2) h
lím h 8 0
f (–2 + h) – f (–2) h
lím h 8 0
x
h + 3 lím h 8 0
3 – h – 3 h (h + 3) lím h 8 0
[3/(h + 3)] – 1 h
lím h 8 0
[3/(5 + h – 2)] – 1 h lím h 8 0
f (5 + h) – f (5) h
lím h 8 0
h – 3 lím h 8 0
3 + h – 3 h^ lím 8 0 h (h – 3)
[3/(h – 3)] + 1 h
lím h 8 0
[3/(–1 + h – 2)] – (–1) h lím h 8 0
f (–1 + h) – f (–1) h
lím h 8 0
h – 1 lím h 8 0
3 + 3h – 3 (h – 1) h lím h 8 0
[3/(h – 1)] + 3 h
lím h 8 0
[3/(1 + h – 2)] – (–3) h lím h 8 0
f (1 + h) – f (1) h
lím h 8 0
x – 2
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
4. Halla la derivada de y = x^2 – 2 x en los puntos de abscisas –2, –1, 0, 1, 2, 3 y 4.
f ' (–2) = = =
f ' (–1) = = =
f ' (0) = = = = –
f ' (1) = = =
f ' (2) = = =
f ' (3) = = =
f ' (4) = = =
Página 306
1. Halla la derivada de la función f ( x ) = 5 x – x^2 y comprueba que, a partir de ella, se pueden obtener los valores concretos hallados en el ejercicio resuelto 1 y en el ejercicio propuesto 1 de la página anterior.
f ' ( x ) = = 5 ( x^ + h) – ( x^ + h) =
(^2) – (5 x – x (^2) ) h
lím h 8 0
f ( x + h) – f ( x ) h
lím h 8 0
h (h + 6) h
lím h 8 0
h^2 + 6h h
lím h 8 0
16 + h^2 + 8h – 8 – 2h – 8 h
lím h 8 0
(4 + h) 2 – 2 (4 + h) – 8 h
lím h 8 0
f (4 + h) – f (4) h
lím h 8 0
h (h + 4) h lím h 8 0
h^2 + 4h h
lím h 8 0
9 + h 2 + 6h – 6 – 2h – 3 h
lím h 8 0
(3 + h) 2 – 2 (3 + h) – 3 h
lím h 8 0
f (3 + h) – f (3) h
lím h 8 0
h (h + 2) h
lím h 8 0
h^2 + 2h h
lím h 8 0
4 + h 2 + 4h – 4 – 2h h
lím h 8 0
(2 + h) 2 – 2 (2 + h) – 0 h
lím h 8 0
f (2 + h) – f (2) h
lím h 8 0
h^2 h
lím h 8 0
1 + h 2 + 2h – 2 – 2h + 1 h
lím h 8 0
(1 + h) 2 – 2 (1 + h) – (–1) h
lím h 8 0
f (1 + h) – f (1) h
lím h 8 0
h (h – 2) h lím h 8 0
h^2 – 2h – 0 h
lím h 8 0
f (0 + h) – f (0) h
lím h 8 0
h (h – 4) h
lím h 8 0
h^2 – 4h h
lím h 8 0
1 + h 2 – 2h + 2 – 2h – 3 h
lím h 8 0
(–1 + h)^2 – 2 (–1 + h) – 3 h lím h 8 0
f (–1 + h) – f (–1) h lím h 8 0
h (h – 6) h
lím h 8 0
h^2 – 6h h
lím h 8 0
4 + h 2 – 4h + 4 – 2h – 8 h
lím h 8 0
(–2 + h)^2 – 2 (–2 + h) – 8 h
lím h 8 0
f (–2 + h) – f (–2) h
lím h 8 0
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
UNIDAD 12
Página 308
Halla la función derivada de las siguientes funciones:
1. f ( x ) = 3 x^2 – 6 x + 5
f ' ( x ) = 6 x – 6
2. f ( x ) = +
f ' ( x ) = +
3. f ( x ) = +
f ' ( x ) = +
4. f ( x ) =
f ( x ) = x –3/2^8 f '( x ) = – x –5/2^ = =
5. f ( x ) = sen x cos x
f ' ( x ) = cos^2 x – sen^2 x
6. f ( x ) = tg x
f ' ( x ) = 1 + tg^2 x =
7. f ( x ) = x e x
f ' ( x ) = e x^ + x e x^ = e x^ (1 + x )
8. f ( x ) = x · 2 x
f ' ( x ) = 2 x^ + x · 2 x^ · ln 2 = 2 x^ (1 + x ln 2)
9. f ( x ) = ( x^2 + 1) · log 2 x
f ' ( x ) = 2 x log 2 x + ( x^2 + 1) · · = 2 x log 2 x +
10. f ( x ) =
f ' ( x ) = = =
–4 x ( x^2 – 1)^2
2 x^3 – 2 x – 2 x^3 – 2 x ( x^2 – 1)^2
2 x ( x^2 – 1) – ( x^2 + 1) 2 x ( x^2 – 1)^2
x^2 + 1 x^2 – 1
( x^2 + 1) x ln 2
ln 2
x
cos^2 x
2 x^2 √ x
2 √ x^5
x √ x
3
√ 5 x
√ 2 x
3
√ 2 x √ 5 x
3
√ x^2
2 √ x
3
√ x √ x
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
UNIDAD 12
11. f ( x ) =
f ' ( x ) = = = 2 x + 3 –
12. f ( x ) =
f ' ( x ) = =
Página 309
Halla la función derivada de las siguientes funciones:
13. f ( x ) = sen ( x^2 – 5 x + 7)
f ' ( x ) = (2 x – 5) cos ( x^2 – 5 x + 7)
14. f ( x ) = = (5 x + 3)2/
f ' ( x ) = (5 x + 3) –1/3^ · 5 =
15. f ( x ) = sen (3 x + 1) · cos (3 x + 1)
f ' ( x ) = 3 [ cos^2 (3 x + 1) – sen^2 (3 x + 1)]
16. f ( x ) =
f ( x ) = 8 f ' ( x ) =
17. f ( x ) = cos (3 x – π )
f ' ( x ) = –3 sen (3 x – @)
18. f ( x ) =
f ' ( x ) =
19. f ( x ) = x e^2 x^ + 1
f ' ( x ) = e^2 x^ + 1^ + x e^2 x^ + 1^ · 2 = e^2 x^ + 1^ (1 + 2 x )
√1 + 2 x
√ 1 + 2 x
2 (1 – ln 10 log x ) x^2 ln 10
2 log x x
log x^2 x
3
√ 5 x + 3
3
√ (5 x + 3)^2
1 – ln 10 log x x^2 ln 10
[1/( ln 10)] – log x x^2
log x x
x^2
2 x^3 + 3 x^2 – 3 x^2
(3 x^2 + 6 x – 5) x – ( x^3 + 3 x^2 – 5 x + 3) x^2
x^3 + 3 x^2 – 5 x + 3 x
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
Página 313
1. Representa estas funciones:
a) y = 2 x^3 – 3 x^2 – 12 x + 8 b) y = –3 x^4 + 4 x^3 + 36 x^2 – 90 c) y = x^4 + 4 x^3
a) f ' ( x ) = 6 x^2 – 6 x – 12 = 0 8 x 1 = –1, x 2 = 2 Máximo en (–1, 15). Mínimo en (2, –12).
b) f ' ( x ) = –12 x^3 + 12 x^2 + 72 x = –12 x ( x^2 – x – 6) = 0 x = 0
x = = =
Máximo en (–2, –26) y en (3, 99). Mínimo en (0, –90).
c) f ' ( x ) = 4 x^3 + 12 x^2 = 4 x^2 ( x + 3) = 0
Mínimo en (–3, –27).
Punto de inflexión en (0, 0).
f ( x ) = 0 8 x^3 ( x + 4) = 0
Puntos de corte con los ejes: (0, 0) y (–4, 0)
Página 315
1. Representa las siguientes funciones racionales, siguiendo los pasos de la pági- na anterior:
a) y = b) y = c) y =
d) y = e) y = f ) y = x^
x^2
x^2 + 2 x^2 – 2 x
x^2 + 1
x^2 x^2 + 1
x^2 + 3 x x + 1
x^2 + 3 x + 11 x + 1
20
40
–4 –2 2 4 x = 0 – x = –
x = 0 x = –
100
200
–4 –2 2 4
x = 3 x = –
10
20
–4 –2 2 4
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
a) f ' ( x ) = =
= = 0 8 x 1 = 2, x 2 = –
Máximo en (–4, –5). Mínimo en (2, 7). Asíntota vertical: x = – Asíntota oblicua: y = x + 2
b) f ' ( x ) = =
Puntos de corte con los ejes: (0, 0) y (–3, 0) Asíntota vertical: x = – Asíntota oblicua: y = x + 2
c) f ' ( x ) = = =
= 8 x = 0
Mínimo en (0, 0). Asíntota horizontal: y = 1
d) f ' ( x ) = 8 x = 0
Máximo en (0, 1). Asíntota horizontal: y = 0
1
2
–4 –2 2 4
–2 x ( x^2 + 1) 2
1
2
–4 –2 2 4
2 x ( x^2 + 1) 2
2 x^3 + 2 x – 2 x^3 ( x^2 + 1) 2
2 x ( x^2 + 1) – x^2 · 2 x ( x^2 + 1) 2
10
20
–8 –4 4 8
x^2 + 2 x + 3 ( x + 1) 2
2 x^2 + 2 x + 3 x + 3 – x^2 – 3 x ( x + 1) 2
(2 x + 3) ( x + 1) – ( x^2 + 3 x ) ( x + 1) 2
10
20
–8 –4 4 8
x^2 + 2 x – 8 ( x + 1) 2
2 x^2 + 2 x + 3 x + 3 – x^2 – 3 x – 11 ( x + 1) 2
(2 x + 3) ( x + 1) – ( x^2 + 3 x + 11) ( x + 1) 2
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
UNIDAD 12
Página 320
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
Tasa de variación media
1 Calcula la tasa de variación media de esta función en los intervalos:
a) [–2, 0] b) [0, 2] c) [2, 5]
a) T.V.M. [–2, 0] = = = 1
b) T.V.M. [0, 2] = = = –
c) T.V.M. [2, 5] = = =
2 Halla la tasa de variación media de estas funciones en el intervalo [1, 3] e in- dica si dichas funciones crecen o decrecen en ese intervalo: a) f ( x ) = 1/ x b) f ( x ) = (2 – x )^3 c) f ( x ) = x^2 – x + 1 d) f ( x ) = 2 x ☛ Si la T.V.M. es positiva, la función crece.
T.V.M. [1, 3] = =
a) T.V.M. [1, 3] = = – 8 Decrece
b) T.V.M. [1, 3] = = –1 8 Decrece
c) T.V.M. [1, 3] = = 3 8 Crece
d) T.V.M. [1, 3] = = 3 8 Crece
f (3) – f (1) 2
f (3) – f (1) 3 – 1
f (5) – f (2) 5 – 2
f (2) – f (0) 2 – 0
f (0) – f (–2) 0 + 2
–2 0 2 5
PARA PRACTICAR
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
UNIDAD 12
3 Dada la función f ( x ) = x^2 – 1, halla la tasa de variación media en el inter- valo [2, 2 + h].
T.V.M. [2, 2 + h] = = = h + 4
4 Comprueba que la T.V.M. de la función f ( x ) = – x^2 + 5 x – 3 en el intervalo [1, 1 + h] es igual a –h + 3. Calcula la T.V.M. de esa función en los interva- los [1, 2], [1; 1,5], utilizando la expresión anterior.
T.V.M. [1, 1 + h] = = =
= 3 – h = –h + 3 T.V.M. [1, 2] = 2 T.V.M. [1; 1,5] = 2,
5 Compara la T.V.M. de las funciones f ( x ) = x^3 y g ( x ) = 3 x^ en los intervalos [2, 3] y [3, 4], y di cuál de las dos crece más en cada intervalo. Para f ( x ): T.V.M. [2, 3] = 19 T.V.M. [3, 4] = 37
Para g ( x ): T.V.M. [2, 3] = 18 T.V.M. [3, 4] = 54
En [2, 3] crece más f ( x ). En [3, 4] crece más g ( x ).
Definición de derivada en un punto
6 Aplicando la definición de derivada, calcula f ' (–2) y f ' (3), siendo:
f ( x ) =
f ' (–2) = = = =
f ' (3) = = = =
= =^2
lím h 8 0
6 + 2h – 3 – 3 5h lím h 8 0
2 (3 + h) – 3 3 —————— – — 5 5 h
f (3 + h) – f (3) h lím h 8 0
lím h 8 0
–4 + 2h – 3 + 7 5h lím h 8 0
2 (–2 + h) – 3 7 ——————– + — 5 5 h
f (–2 + h) – f (–2) h lím h 8 0
2 x – 3 5
- (1 + h 2 + 2h) + 5 + 5h – 3 – 1 h
f (1 + h) – f (1) h
4 + h 2 + 4h – 1 – 3 h
f (2 + h) – f (2) h
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
10 Halla la pendiente de la tangente a la curva y = 4 x – x^2 en el punto de abs- cisa x = 2, aplicando la definición de derivada.
f ' (2) = = = (–h) = 0
11 Comprueba, utilizando la definición de derivada en cada caso:
a) f ( x ) = 5 x 8 f ' ( x ) = 5 b) f ( x ) = 7 x^2 8 f ' ( x ) = 14 x c) f ( x ) = x^2 + x 8 f ' ( x ) = 2 x + 1
d) f ( x ) = 8 f ' ( x ) =
a) f ' ( x ) = = = =
b) f ' ( x ) = = =
= = 14 x
c) f ' ( x ) = = =
= = 2 x + 1
d) f ' ( x ) = = =
x^2
x ( x + h) lím h 8 0
–3h h x ( x + h) lím h 8 0
–3h ————— x ( x + h) h
lím h 8 0
3 x – 3 x – 3h —————— x ( x + h) h
lím h 8 0
3 x – 3 ( x + h) ——————— x ( x + h) h
lím h 8 0
x + h x h
lím h 8 0
f ( x + h) – f ( x ) h lím h 8 0
h (h + 2 x + 1) h lím h 8 0
h^2 + 2 x h + h h
lím h 8 0
x^2 + h 2 + 2 x h + x + h – x^2 – x h
lím h 8 0
( x + h)^2 + ( x + h) – ( x^2 + x ) h
lím h 8 0
f ( x + h) – f ( x ) h lím h 8 0
h (7h + 14 x ) h lím h 8 0
7h 2 + 14 x h h
lím h 8 0
7 ( x^2 + h 2 + 2 x h) – 7 x^2 h
lím h 8 0
7 ( x + h)^2 – 7 x^2 h
lím h 8 0
f ( x + h) – f ( x ) h lím h 8 0
5h h lím h 8 0
5 x + 5h – 5 x h
lím h 8 0
5 ( x + h) – 5 x h
lím h 8 0
f ( x + h) – f ( x ) h
lím h 8 0
x^2
x
lím h 8 0
4(2 + h) – (2 + h) 2 – 4 h lím h 8 0
f (2 + h) – f (2) h lím h 8 0
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
12 Halla f ' en los puntos de abscisas –3, 0 y 4. ☛ Halla las pendientes de las rectas tangentes trazadas en esos puntos.
f ' (–3) = –3, f ' (0) = , f ' (4) = –
13 Indica, en la gráfica del ejercicio anterior, los puntos en los que la derivada es cero. En x = 1, ¿la derivada es positiva o negativa? ¿Y en x = 3? f ' ( x ) = 0 en (–2, 2) y en (2, 7). En x = 1 la derivada es positiva. En x = 3 es negativa.
14 ¿Existe algún punto en esta función en el que la derivada sea negativa? Ordena de menor a mayor los valores de f ' (–2), f ' (2) y f ' (0).
No, pues es creciente. f ' (–2) < f ' (0) < f ' (2)
Reglas de derivación
Halla la función derivada de estas funciones y calcula su valor en los pun- tos que se indican:
15 f ( x ) = 2 x^3 + 3 x^2 – 6; x = 1 f ' ( x ) = 6 x^2 + 6 x ; f ' (1) = 12
16 f ( x ) = cos (2 x + π ); x = 0 f ' ( x ) = –2 sen (2 x + π); f ' (0) = 0
17 f ( x ) = + ; x = –
f ' ( x ) = ; f ' (^) (– (^) ) =
18 f ( x ) = ; x = 0
f ' ( x ) = –7 ; f ' (0) = – (7 x + 1) 2
7 x + 1
x √ 2
–2 2
2
4
–2 2
2
4
6
4
f
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
UNIDAD 12
Halla la función derivada de estas funciones:
26 a) f ( x ) = b) f ( x ) = ( x^2 – 3) 3
a) f ' ( x ) = b) f ' ( x ) = 6 x ( x^2 – 3)^2
27 a) f ( x ) = b) f ( x ) =
a) f ' ( x ) = 1 (si x? 0) b) f ' ( x ) =
28 a) f ( x ) = b) f ( x ) =
a) f ' ( x ) = b) f ' ( x ) =
29 a) f ( x ) = b) f ( x ) = 7 x^ + 1^ · e – x
a) f ' ( x ) = –3 (1 – x^2 )–1/2; f ' ( x ) = (1 – x^2 )–3/2^ · (–2 x ) =
b) f ' ( x ) = 7 x^ + 1^ · ln 7 · e – x^ + 7 x^ + 1^ · e – x^ · (–1) = 7 x^ + 1^ · e – x^ ( ln 7 – 1)
30 a) f ( x ) = + b) f ( x ) = ln 3 x + e √
— x
a) f ' ( x ) = + b) f ' ( x ) = + e √
— x = +
31 a) f ( x ) =
2 b) f ( x ) = e^2 x^ · tg x
a) f ' ( x ) = 2 (^) ( ) · = · =
b) f ' ( x ) = 2 e^2 x^ tg x + e^2 x^ (1 + tg^2 x ) = e^2 x^ (2 tg x + 1 + tg^2 x ) = e^2 x^ (1 + tg x )^2
32 a) f ( x ) = b) f ( x ) = cos^2 x + e sen x
a) f ' ( x ) = = = =
b) f ' ( x ) = 2 cos x (– sen x ) + e sen x^ · cos x = cos x (–2 sen x + e sen x )
x^3 – 3 x^2 ( x – 1)^3
3 x^3 – 3 x^2 – 2 x^3 ( x – 1)^3
3 x^2 ( x – 1) – 2 x^3 ( x – 1)^3
3 x^2 ( x – 1)^2 – x^3 · 2 ( x – 1) ( x – 1)^4
x^3 ( x – 1) 2
2 x (1 – x^2 ) (1 + x^2 )^3
1 – x^2 (1 + x^2 )^2
2 x (1 + x^2 )
1 + x^2 – x · 2 x (1 + x^2 )^2
x 1 + x^2
)
x ( 1 + x 2
e √
— x
2 √ x
x
2 √ x
3 x
3 x^2
x 3
3 x
–3 x
√(1 – x^2 )^3
√ 1 – x^2
cos x
2 √ sen x
3
√( x + 6)
√ sen x
3
√ ( x + 6)^2
x
√ x^2 + 1
x √ x 2 + 1
(^3) – x 2 x^2
e x^ + e – x 2
e x^ + e – x 2
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
UNIDAD 12
33 a) f ( x ) = b) f ( x ) =
3 · e 1 –^ x
a) f ( x ) = (^) ( )
1/ 8 f ' ( x ) = (^) ( )
–1/ · =
= (^) ( )
1/ · = · · =
b) f ' ( x ) = 3 (^) ( )
2 · e 1 –^ x^ + (^) ( )
3 · e 1 –^ x^ · (–1) = x^2 e 1 –^ x^ – x^3 e 1 –^ x^ =
= e 1 –^ x^ (3 – x ) =
34 a) f ( x ) = sen b) f ( x ) = log
a) f ' ( x ) = 0
b) f ( x ) = log x^2 – log (3 – x ) = 2 log x – log (3 – x )
f ' ( x ) = +
35 a) f ( x ) = tg^3 x^2 b) f ( x ) =
a) f ' ( x ) = 3 tg^2 x^2 (1 + tg^2 x^2 ) · 2 x = 6 x tg^2 x^2 (1 + tg^2 x^2 )
b) f ' ( x ) =
36 a) f ( x ) = arc sen b) f ( x ) = arc tg ( x^2 + 1)
a) f ' ( x ) = · = =
b) f ' ( x ) = · 2 x =
37 a) f ( x ) = arc cos b) f ( x ) = arc tg
a) f ' ( x ) = · = =
b) f ' ( x ) = · = =
√ x (4 + x )
4 √ x (1 + ( x /4))
4 √ x
1 + (^) (√ x /2)^2
x √ x^2 – 1
1/ x^2
√1 – 1/ x^2
x^2
√1 – (1/ x )^2
√ x
x
2 x 1 + ( x^2 + 1) 2
1 + ( x^2 + 1) 2
2 x
√9 – x^4
2 x /
√1 – x^4 /
2 x 3
√1 – ( x^2 /3)^2
x^2 3
2 x √ ln x
√ ln x
(3 – x ) ln 10
x ln 10
x^2 3 – x
3 π 2
x^2 (3 – x ) e 1 –^ x 8
x^2 8
x 2
x 2
x^4 – 12 x^2
2 √ x^3 ( x^2 – 4)
x^4 – 12 x^2
√( x^2 – 4)^3
√ x^3
3 x^4 – 12 x^2 – 2 x^4 ( x^2 – 4)^2
x^2 – 4 x^3
3 x^2 ( x^2 – 4) – x^3 · 2 x ( x^2 – 4)^2
x^3 x^2 – 4
x^3 x^2 – 4
)
x √ ( 2
x^3 x^2 – 4
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
