Análisis de funciones multivariables: Derivadas parciales y teorema de Clairaut, Resúmenes de Cálculo diferencial y integral

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DIFERENCIACION EN VARIAS (^) VARIABLES FUNCION (^) de dos variables z (^) - fLxiy)^ (XIYIE^ DCRRZ İ nota^ p horas (^) distracción domiNio z (^) - flx,yl D (^) ={lx,y) existe } å Mas (^) grande X2-y Ejemplo :^ flx^ ,y): Mzy. f (^) InCxy) (^5) s Df =RCX,y) : x -2y (^2) 30, (^) xys 0} Gráfica (^) z-flxyl Graifico do^ f -61f1-) 149,7): z-f^ superficio 14 y)} Ejomplo z^

• flxy) =xetyz (^) z ^ paraboloide Elíptico^ V(0,0,0)^ I Eje Z b Y,^ X L I
• L- + E limites i (^) - -
• f (x,4) z- (^) flxy) (x (^) y) ED^ D^ Abierto .^
  l
• L . i P^ j (^) - - (^) E
• Ca (^) ,^ b^ ) I --- y lim flxy )=L --^ s (x,4) ro(a,b) S. (^) XE 3 O: 7530 tal (^) que si OLllCxoyI - CapblIcj+sIfCxiyI-LKE

Ejemplo flxy)--a 2 y Determinar al fl-?) -1-8-^ b) (^) f10,

sifes continua en el GI,;) (^) EDE ?. NO (^) Es OEDE al Ponto^ (-1, %2) Cantinua (^) En (^) C-1, (^) Ź ) b).^ 10,1)^ I'm^ flxig)^ cxg) oscop

• l^ 'm Cxyy (^) recony 42-37t 2 y^

c) Determino (^) En que puntos (^) Es continua lim (^) fCx,s) - (^) flais Ixy x .?--} Ca ,3) . 5 i Es continua en Co.) c) fES^ continua^ en^ ECx^ ,y):^ xt 2 y^ tos DERIVADAS (^) parciales z = f Cx,4) La derivada (^) parcial de (^) f (^2 5) laib )^ -^ lim flath, b)-flaibs^ h zx respecto de^ X:^ En cal 2: dx 1942 +3) (^) = 18 x+0 =18x y (9,3) =^ him^ flaibt I-flaibl En cal^ 2:^ z^ Cy? x? ty^ ) = Zy? xt0-Zy 2 x. Jx Tambien (^2) s y-ette (^) y Cy 2 x 4 xyJ-Zyxzxl y

fylail mBx-ette Ejemplo f (xiy)

• y cos^ Cx 4 y)^ y +^ fx+ y.1-sEnCxzy) (^2) xy) y
• fy- ostry ) ysenl

DERIVADAS (^) DE ORDEN SUPERIOR z - f (x.y)^ jf (^) -^ z^ af^ - fxx J x?^ Jx^2 x^ Axay

• Bx^ 25 (^2) y ) - fyx à "5 Jarobi a de " z 2 f a Jy ax " ay af (^) - fxy ax z 2 f = gy 10 f jy - fyy J (^) y? TEOREMA (^) DE CLAIRAUT y son (^) continuas (^) en la,b) 22 f (^) -^2 ?f^ si^ bnjo axay (^) laib) ayax^ laib ) lasarivon Ejemplo: Z^5 cos^ Cx^3 I^ sen^ (^ tanx?^ )^ y 2 x^2 y^3 Hallar (^) Zxyxyy Por (^6) l teorema do Clairaut Zxyxyy =^ Zyyyxx Se tiene^ Zy i^ Cos(x3)^ sen (^) ( (^) tanxy) (^1) - bx^2 y? Z (^) y y^ + o - l (^2) x^2 y Zygy = - 12 x (^2) Zygyx--24x Zyyyxx--

Caso Z (^) z - flxiy) ; x-xlu,0) z xy 27 ox 22 ay y -^ y^ (u,u)^ x n v d x^ Y o 24 u ou u :y. 71 au t 22 y.^24 (^2) u Ejemplo :^ z --ECos Cx-y) ; x -4v;^ y-uvC^ ux. ut y 27 su

un x 1 " a x. 7 "* on

• (^) ecosC xyJ./ (^) - Isencx,y) uB^ .Zuu+^ eCoslx^ - y). E-sen(x-y1) ty). v 2 Ejemplo: W^ =xyz2-sen (COsxIy (^) 1); x (^) - Eq; yit-qtr; z-qtr^2 r
• Jy. 29 r

222. 2 r w wz x y^2 (^1 1) wy Xz 2-cos(cos(xyz))-ESEnCx^29 zD) (X'7) AlgAar T . t (^) [ xyz-coslis^ (x 2 yz1).^ E-sEn Cx 24 zJ).^ Cxiy^ 1 J. 2 r T Si (^) te (^) pide aus (^) - Rcemplazar ar Crülst-ziquo) CURVAS (^) DE NIVEL flx ,y1-K^ Kes^ una^ constante 3 z^ D Ejm fLxiy 1 =^ x^ 2 ty? z Curva f^ (X,y 1 - k ;@^ I (^2) } do (^) nivel I x^2 tyz-k I I zy ñg q X a

SUPERFICES (^) DE NIVEL f (^) (x 1 y,z 1 =^ U^ K^ ette z^ A Eji flxy ,z)^ =^ z - x2-y^2 l o

-^ F 1 sup do hivel^ {^ z - x^2 - ye-k A^ By D x^ x DERIVADA IMPLICITA f Caso (^) I : 51 X.91-K ; y (^) =-y Ix 1 x d (^) derivada ^" respecto de^ x 3 f t 2 f dy dx

J (^) x (^) Jy -^05 ax da No olvidar s 5 L (^4) C

Ejemplo X^3 cos^ Cy)^ tEX^ 2 y - x2- ydx! So!: Jf^ flxiy) +^ X^3 cosCy) tEx^2 y^ -^ x^2 --2+K Curoa de nivel Jx yx

(^2) f sy G (^).^3 x (^2) ast)tZxy.EX 2 y- 24 X (^3) sen (^) lylt X 2 6 X 2 y f Caso 2:^ flx.y,z)-k: Z=z 1 x,41 I (^1) X 4 z dderivada respecto de^ x^ /^
x us 25 (^2) x +^25

22 (^2) x

a f^ a^ f J x J^ y 2 zx "- a f ^ (^) azs a f (^7) z az

Ejemplo :^ Hallar^ la^ ecuacion^ do^ la^ recta normal (^) a la^ superficie x 2 y (^) z-243 z^5 - -^ x En El^ punto C211-11) x z^2 y (^) -2 y^3 zs + (^) x - O 7 f=Lf 241 (^2) f y, of 2 z V (^) f = 4 X^2 x^4 z+1, 3 z-6y 2 zs, (^) x24-10y 3 z (^4 ) à C (^2) C2) CI )6-1+1,^ 44-1)-66)5),^ 4- (^) 10(i) (l

• 4 4 C 1) +1,^4 +6^1 4-10^3 IT (^) L-3, 2 ,- -, 2:(2,1- +k (^) C-3,2,-