¡Descarga Calculo de derivadas parciales y gradientes de funciones multivariables - Prof. Zarzuela y más Monografías, Ensayos en PDF de Química solo en Docsity!
PROBLEMES DE CÀLCUL DIFERENCIAL Matemàtiques I
DE DIVERSES VARIABLES Grau Enginyeria Industrial
- Calculeu les derivades parcials primeres de les següents funcions: a) f (x, y) = 3x^4 − 2 xy^2 + y^3 − x^2 + 1 g) f (x, y) = (^) x+xy
b) f (x, y) =
4 − x^2 h) f (x, y) = cos(xy) + x cos(y) c) f (x, y) = 34 i) f (x, y) = (x + y) sin(x − y) d) f (x, y) = x ln y^2 j) f (x, y, z) = 3x^3 y − 2 xyz + 3z^2 x − z e) f (x, y) = x ln^2 y k) f (x, y, z) = ln
x^2 + y^2 + z^2 f) f (x, y) = exy^ l) f (x, y, z) = (xy)z
- Calculeu el gradient de les següents funcions en el punt que s’indica:
a) z = tan
x y
a (π, 1) c) z = x ln^2 y a (1, 2)
b) z = x e
x y (^) − 2 y a (0, 1) d) w = x^3 cos z − x^2 y a (1, 0 , π)
- Trobeu les derivades parcials de segon ordre de les funcions: a) z = x^2 − 2 xy + 3y^2 d) z = (^) xxy−y
b) z = xey^ + yex^ e) z = ln
x^2 + y^2 c) z = x^3 sin y f) w = xey^ + yez^ + zex
- La llei dels gasos ideals ens diu que P V = kT, essent P la pressió, V el volum, T la temperatura i k una constant de proporcionalitat. Trobeu a) ∂P ∂T i b) ∂V ∂P.
- La temperatura a cada punt d’una placa metàl·lica plana ve donada per la funció f(x, y) = ex^ cos y + e^2 y^ cos x. Si ens situem en el punt (0, 0), en quina de les direccions, OX o OY, augmenta més ràpidament la temperatura?
- Donada la funció f (x, y) = exy^ , justifiqueu quines de les següents afirmacions són certes:
(a) Des del punt P = (− 1 , 3), si avancem en la direcció paral.lela a l’eix de les abscisses en el sentit positiu, inicialment detectem creixement. (b) Des del punt P = (− 1 , 3), si avancem en la direcció paral.lela a l’eix de les ordenades en el sentit positiu, inicialment detectem creixement. (c) Quan avancem des del punt P = (− 1 , 3) en la direcció donada per l’eix OX en sentit positiu la taxa de variació de la funció és la mateixa que si avancem en la direcció donada per l’eix OY.
(d) Per a tot punt (x, y) ∈ R^2 es compleix x∂f ∂x = y ∂f ∂y.
- En un tub cilíndric, que conté un cert fluid, s’introdueix un altre fluid per l’extrem. Els dos fluids es barregen gradualment. Si x representa la distància, mesurada des de l’extrem del tub, llavors la concentració C(x, t) del nou fluid, en la posició x i a l’instant t, es pot modelar per: C(x, t) = t−^1 /^2 e−x
(^2) π/t
(a) Determineu les derivades parcials ∂C ∂t , ∂ (^2) C ∂x^2 (b) Comproveu que el model C(x, t) satisfà la llei de Flick de la difusió: ∂C ∂t =^ k
2 ∂^2 C ∂x^2 per a la constant^ k
4 π.
- Comproveu que la funció f (x, y) = ln(x^2 + y^2 ) satisfà l’equació de Laplace: ∂
(^2) f ∂x^2 +^
∂^2 f ∂y^2 = 0
- Trobeu el pla tangent a la gràfica de les següents funcions:
(a) f (x, y) = ex^ ln y + cos(xy) en el punt P = (0, 1) (b) f (x, y) = ln tan(x y ) en el punt P = (π 4 , 1)
(c) f (x, y) = esin(y/x)^ en el punt P = (1, 0) (d) f (x, y) = (^) xx+y en els punts P 1 = (3, −2), P 2 = (4, 0), P 3 = (− 1 , 1)
- Trobeu el pla tangent a la gràfica de la funció f (x, y) = x^3 + y^2 − 6 xy en el punt Q = (1, 2 , −7).
- Sigui f (x, y) una funció diferenciable tal que f (− 1 , 4) = 1, fx(− 1 , 4) = − 2 i fy(− 1 , 4) = 3. Aproximeu el valor de la funció en el punt (− 1. 002 , 4 .02).
- La potència elèctrica P ve donada per P = E^2 /R, essent E el voltatge i R la resistència. Aproximeu l’error percentual màxim al calcular la potència, si s’apliquen 200 volts a una resistència de 4000 ohms i els possibles errors percentuals en les mesures de E i de R són del 2 per 100 i del 3 per 100 , respectivament.
- Una magnitud M depèn d’altres tres, x, y i z segons l’expressió M =
yz 1 + x^2
. En prendre les mesures de x, y i z es poden cometre errors de fins a 0. 01 unitats. Estimeu, per aproximació lineal, l’error màxim en el càlcul de M que es pot fer si les mesures preses han estat x = 1, y = 2 i z = 3.
- Calculeu la derivada direccional de les següents funcions en el punt i en la direcció indicats:
(a) f(x, y) = x + 2xy − 3 y^2 P = (− 1 , 2) v = (3, 4)
(c) Hi ha alguna direcció en que la funció f en el punt P tingui derivada nul·la? Quina? (d) Es pot donar un vector perpendicular a la corba de nivell 4 de la funció f? I un de tangent? (e) Hi ha alguna direcció en que la derivada de f en el punt P valgui −
13? Quina?
- Trobeu els valors dels paràmetres a i b per tal que la derivada direccional màxima de f (x, y) = eax^ cos(by) + 2eby^ cos(ax) en el punt (0, 0), sigui en la direcció de la bisectriu del primer quadrant i valgui
- Calculeu el valor de la derivada de la funció f (x, y, z) = 2x^3 y − 3 y^2 z en el punt P (1, 2 , −1) i en la direcció que uneix aquest punt amb el Q(3, 1 , 4). Quin és el màxim valor que poden prendre les derivades de f en el punt P?
- Hi ha una sonda en òrbita al voltant de Mercuri. Prenent com a origen de coordenades el centre de masses del planeta, la temperatura del casc de la nau, quan aquesta es troba en la posició (x, y, z), ve donada per
T (x, y, z) = ex(x^2 + y^2 + z^2 ).
Actualment la sonda es troba al punt P = (0, 1 , −1).
(a) En quina direcció podem moure la nau per tal de no detectar variacions de la tem- peratura? (b) En quina direcció hem de fer avançar la sonda per disminuir el més ràpidament possible la temperatura? Amb quina rapidesa decreix la temperatura si avancem en aquesta direcció? (c) El metall del casc s’esquerdarà si la nau es refreda amb una taxa de 3
Hi ha alguna direcció per la qual la nau corri perill per aquest motiu si s’avança en aquesta direcció?
Classifiqueu els punts crítics de les següents funcions:
a) z = x^3 + 3xy^2 − 15 x − 12 y d) z = x^2 + y^2 + ey^ − yey b) z = 2x^3 + xy^2 − 6 x^2 − y^2 + 8 e) z = ex−y^ (x^2 − 2 y^2 ) c) z = x^4 + y^4 − x^2 − y^2 − 1 f) z = x y
- Un pacient es tractat per mitjà d’injeccions de dos medicaments experimentals diferents. Si la resposta del pacient s’estima per
R(x, y) = 9xy − x^3 − y^3 + 5,
on x i y són les quantitats de medicament administrats, amb quines dosis s’obtindrà una resposta màxima?
- Determineu, utilitzant el mètode dels multiplicadors de Lagrange, els extrems condi- cionats de les següents funcions sotmeses a les lligadures que s’indiquen: a) f 1 (x, y) = xy restringida a la recta 2 x + 3y − 12 = 0 b) f 2 (x, y) = 49 − x^2 − y^2 restringida a la recta x + 3y = 10
c) f 3 (x, y) = xy restringida a la corba
x^2 8
y^2 2
d) f 4 (x, y) = 3x + 4y restringida a la corba x^2 + y^2 = 1
e) f 5 (x, y, z) = xyz restringida a la intersecció dels plans
x + y + z = 4 x − y + z = 0
- En els exercicis següents, dibuixeu la regió R i calculeu la integral:
(a)
0
0 (1 + 2x^ + 2y)^ dy dx (b)
0
y 2 (x + y) dx dy
(c)
0
∫ √y y x
(^2) y (^2) dx dy
(d)
0
x− 1 e
x+y (^) dy dx
- Calculeu la integral
R xy dA^ on^ R^ és el rectangle de vèrtex^ (0,^ 0),^ (0,^ 5),(3,^ 5)^ i^ (3,^ 0).
- Calculeu la integral
R sin^ x^ sin^ y dA^ on^ R^ és el triangle de vèrtex^ (−π,^ 0),^ (π,^ 0), i (π, π 2 ).
- Calculeu la integral
R
y 1+x^2 dA^ on^ R^ és el triangle limitat per les rectes^ y^ =^ x, y^ = 2x i x = 2.
- Feu servir una integral doble per trobar el volum del sòlid limitat per les gràfiques d’e- quacions:
(a) z = x, z = 0, y = 0, y = 4, x = 5 (primer octant) (b) x = 0, z = 0, z = 2, y = x, y = −x + 2.
∂C
∂t
= t−^3 /^2 e−x (^2) π/t 2 πx^2 −^ t 2 t
∂^2 C
∂x^2
= 2πt−^3 /^2 e−x (^2) π/t
2 πx^2 − t t
∂^2 f ∂x^2
i
∂^2 f ∂y^2
ténen mateix valor i signes contraris.
- a) z = y d) A P 1 z = − 2 x − 3 y + 3 b) z = 2x −
π 2
y A P 2 y + 4z − 4 = 0 c) z = 1 + y P 3 no és del domini de la funció
- 9 x + 2y + z = 6
- f (− 1. 002 , 4 .02) ≃ 1. 064
- error maxim` = 0. 055
- a) D−→v f (P ) = − 541 c) D−→v f (P ) = 2
b) D−→v f (P ) = −
- D−→v f(P ) = 1 −→v =
5 ,^
4 5
- D−→v f(P ) = −^9
√ 3 2
−→v =
1 2 ,^
√ 3 2
- D−→v f(P ) =
√ 2 2
−→v =
2 2 ,^
√ 2 2
- D−→v w(P ) = 6813 −→v =
13 ,^
4 13 ,^
12 13
- D−→w u(O) =
√ 3 3
−→v =
3 3 ,^
√ 3 3 ,^
√ 3 3
- a) La de
(1, 1) c) Qualsevol de perpendicular a
b) 108
2 d) No hi ha creixement ni decreixement
- a) −
2 d) La de
b) 2 e) Qualsevol de perpendicular a
c) La de
- a) Decreixent d) Sí,
(2, 3) és perpendicular i b) No
(3, −2) és tangent c) Sí, qualsevol de perpendicular a
(2, 3) e) Sí, la de
- Dues solucions
a = 1, b = (^12)
i
a = − 1 , b = −^12
- a) D− P Q−→ f (P ) = −^5
√ 30 3 b)^ Valor màxim^22
- a) Qualsevol de la forma
(α, β, α + β) b) La de
(− 1 , − 1 , 1). Rapidesa = − 2
c) No hi ha cap direcció perillosa
- a) Màxim local a (− 2 , −1) que val 28 Mínim local a (2, 1) que val − 28 Punts de sella a (1, 2) i a (− 1 , −2)
b) Màxim local a (0, 0) que val 8 Mínim local a (2, 0) que val 0 2 punts de sella a
i
c) Màxim local a (0, 0) que val − 1 4 mínims locals a
2 2 ,^
√ 2 2
2 2 ,^ −^
√ 2 2
√ 2 2 ,^
√ 2 2
i
√ 2 2 ,^ −
√ 2 2
de valor − (^32)
4 punts de sella a
2 2 ,^0
√ 2 2 ,^0
√ 2 2
i
√ 2 2
d) Minim local a (0, 0) que val 1 Punt de sella a (0, ln 2)
e) Màxim local a (− 4 , −2) que val 8 e−^2 Punt de sella a (0, 0)
f) No hi ha punts crítics
- x = 3, y = 3
- a) A (3, 2) f 1 té un màxim
b) A (1, 3) f 2 té un màxim c) A (2, 1) i (− 2 , −1) f 3 té dos màxims i a (− 2 , 1) i (2, −1) dos mínims
d) A
f 4 té un màxim i a
un mínim
e) A (1, 2 , 1) f 5 té un màxim
