¡Descarga Cálculo de derivadas parciales de funciones multivariables y más Apuntes en PDF de Cálculo para Ingenierios solo en Docsity!
En los siguientes ejercicios, calculas las derivadas parciales de
primer orden con respecto a: X, Y, Z.
- H(x,y,z)= Sen (x+2y+3z)
dH
dx
= Hx ( x , y , z ) =
d
dx
[
Sen ( x + 2 y + 3 z ) ]
d
dx
[ x + 2 y + 3 z ] =¿
¿ cos ( x + 2 y + 3 z ) ¿
¿ cos ( x + 2 y + 3 z )¿
dH
dy
= Hy ( x , y , z )=
d
dy
[ Sen ( x + 2 y + 3 z ) ]
d
dy
[ x + 2 y + 3 z ]=¿
¿ cos ( x + 2 y + 3 z ) ¿
¿ cos ( x + 2 y + 3 z ) [ 0 + 2 + 0 ]=cos ( x + 2 y + 3 z ) ( 2 )= 2 cos( x + 2 y + 3 z )
dH
dz
= Hz ( x , y , z ) =
d
dz
[
Sen ( x + 2 y + 3 z ) ]
d
dz
[ x + 2 y + 3 z ]=¿
¿ cos ( x + 2 y + 3 z ) ¿
¿ cos ( x + 2 y + 3 z ) [ 0 + 0 + 3 ]=cos ( x + 2 y + 3 z ) ( 3 )= 3 cos ( x + 2 y + 3 z )
Formulada ocupada:
d
dx
[
f
g ( x )
]
= f ´
g ( x )
g ´ ( x )
Dónde: f=Sen(x) y g=(x+2y+3z)
- f(x,y,z)= 3
x
2
-5xyz+10y
z
2
df
dx
= fx ( x , y , z )=
d
dx
( 3 x
2
y ) −
d
dx
( 5 xyz ) +
d
dx
( 10 y z
2
6 xy − 5 yz + 0 = 6 xy − 5 yz
df
dy
= fy ( x , y , z )=
d
dy
( 3 x
2
y )− 5 xz
d
dy
( 5 y ) +
d
dy
( 10 y z
2
3 x
2 d
dy
( y )− 5 xz
d
dy
( y ) + 10 z
2 d
dy
( y )=¿
( 3 x
2
) ( 1 ) −( 5 xz ) ( 1 ) ( 10 z
2
) = 3 x
2
− 5 xz + 10 z
2
df
dz
= fz ( x , y , z )=
d
dz
( 3 x
2
y ) − 5 xz
d
dz
( 5 y ) +
d
dz
( 10 y z
2
d
dz
( 3 x
2
y )− 5 xy
d
dy
( z )+ 10 y
d
dy
( z
2
0 −( 5 xy ) ( 1 ) +( 10 y ) ( 2 z )=− 5 xy + 20 yz
Respuesta con respecto a X
Respuesta con respecto a Z
( x
2
2
2
1
2
[
u
1
2
− 1
d
dy
( x
2
2
2
]
( x
2
2
2
1
2
[
u
1
2
− 1 x
2
2
d
dy
( x
2
2
2
]
( x
2
2
2
1
2
[
u
1
2
− 1 x 2
2
d
dy
( x
2
( x
2
2
2
1
2
[
u
1 − 1 x 2
2
d
dy
( x
2
2
2
]
( x
2
2
2
1
2
[
u
1 − 2
2
d
dy
( x
2
2
2
]
( x
2
2
2
1
2
[
u
1 − 2
2
d
dy
( x
2
2
x
2
2
2
1
2
[
x
2
2
2
1
2
d
dy
x
2
2
2
]
x
2
2
2
1
2
x
2
2
2
1
2
d
dy
x
2
2
2
2 ( x
2
2
2
d
dy
x
2
x
2
2
2
( 0 + 2 y + 0 ) =
x
2
2
2
( 2 y )=¿
2 y
x
2
2
2
y
x
2
2
2
df
dz
= fz ( x , y , z )=
d
dz
d
dz
( x
2
2
2
1
2
d
dz
( x
2
2
2
1
2
( x
2
2
2
1
2
( x
2
2
2
1
2
[
u
1
2
− 1
d
dz
( x
2
2
2
]
( x
2
2
2
1
2
[
u
1
2
− 1 x
2
2
d
dz
( x
2
2
2
]
( x
2
2
2
1
2
[
u
1
2
− 1 x 2
2
d
dz
( x
2
( x
2
2
2
1
2
[
u
1 − 1 x 2
2
d
dz
( x
2
2
2
]
( x
2
2
2
1
2
[
u
1 − 2
2
d
dz
( x
2
2
2
]
( x
2
2
2
1
2
[
u
1 − 2
2
d
dz
( x
2
2
x
2
2
2
1
2
[
x
2
2
2
1
2
d
dz
x
2
2
2
]
x
2
2
2
1
2
x
2
2
2
1
2
d
dz
x
2
2
2
2 ( x
2
2
2
d
dz
x
2
2 ( x
2
2
2
( 0 + 0 + 2 z )=
2 ( x
2
2
2
( 2 z )=¿
2 z
x
2
2
2
z
x
2
2
2
Establecere a ( x
¿ 2 + y
2
2
como “ u ”
- G(x,y,z)=
√
1 − x
2
− y
2
− z
2
dg
dx
= fx ( x , y , z ) =
d
dx
( 1 − x
2
− y
2
− z
2
1
2
d
dx
1 − x
2
− y
2
− z
2
1
2
− 1
d
dx
[
1 − x
2
− y
2
− z
2
1
2
∙ − 1
]
=
d
dx
1 − x
2
− y
2
− z
2
−
( 1 − x
2
− y
2
− z
2
− 1
2
− 1
d
dx
( 1 − x
2
− y
2
− z
2
( 1 − x
2
− y
2
− z
2
− 1
2
− 1 ∙
2
2
d
dx
( 1 − x
2
− y
2
− z
2
( 1 − x
2
− y
2
− z
2
− 1
2
− 1 ∙ 2
2 d
dx
( 1 − x
2
− y
2
− z
2
( 1 − x
2
− y
2
− z
2
− 1 − 1 ∙ 2
2 d
dx
( 1 − x
2
− y
2
− z
2
( 1 − x
2
− y
2
− z
2
− 3
2
d
dx
( 1 − x
2
− y
2
− z
2
1 − x
2
− y
2
− z
2
3
2
d
dx
( 1 − x
2
− y
2
− z
2
1 − x
2
− y
2
− z
2
3
2
[
d
dx
d
dx
2 ( 1 − x
2
− y
2
− z
2
3
2
( 0 − 2 x − 0 − 0 ) ¿−
2 ( 1 − x
2
− y
2
− z
2
3
2
(− 2 x )=¿
Formulada ocupada:
d
dx
[
f
g ( x )
]
= f ´
g ( x )
g ´ ( x )
2 z
2 ( 1 − x
2
− y
2
− z
2
3
2
z
( 1 − x
2
− y
2
− z
2
3
2
En los siguientes ejercicios, calculas las derivadas parciales y
evaluar
f
x
, f
y
y f
z
en el punto dado.
- f(x,y,z)=
x
3
y z
2
, (1,1,1)
df
dx
= fx ( x , y , z )=
d
dx
x
3
y z
2
= y z
2 d
dx
x
3
=( y z
2
) ( 3 x
2
) = 3 x
2
y z
2
df
dy
= fy ( x , y , z )=
d
dy
x
3
y z
2
= x
3
z
2
d
dy
y =( x
3
z
2
) ( 1 )= x
3
z
2
Evaluado en
(1,1,1)
2
2
2
Evaluado en
(1,1,1)
3
2
df
dz
= fz ( x , y , z )=
d
dz
x
3
y z
2
= x
3
y
d
dz
z
2
=( x
3
y ) ( 2 z )= 2 x
3
yz
- f(x,y,z)=
x
2
y
3
, (-2,1,2)
df
dx
= fx ( x , y , z )=
d
dx
x
2
y
3
d
dx
2 xyz −
d
dx
3 yz = y
3
d
dx
x
2
d
dx
x −
d
dx
3 yz =( y
3
) ( 2 x ) +( 2 yz ) ( 1 )− 0 = 2 x y
3
f
x
= 2 y ( x y
2
Evaluado en
(1,1,1)
3
Evaluado en (-
2,1,2)
2
3
df
dx
= fx ( x , y , z )=
d
dx
x
yz
yz
x
dx
x =
yz
yz
df
dy
= fy
x , y , z
d
dy
x
yz
= x
d
dy
yz
= x
d
dy
y
− 1
z
x
z
d
dy
y
− 1
x
z
(− y
− 1 − 1
x
z
(− y
− 2
− x y
− 2
z
− x
y
− 2
z
Evaluado en (1,-
1,-1)
Evaluado en (1,-
1,-1)
− 2
Evaluado en (1,-
1,-1)
− 2
df
dz
= fz ( x , y , z )=
d
dz
x
yz
= x
d
dy
yz
= x
d
dy
z
− 1
y
x
y
d
dy
z
− 1
x
y
(− z
− 1 − 1
x
y
(− z
− 2
− x z
− 2
y
− x
yz
− 2
- f(x,y,z)=
xy
x + y + z
,
(3,1,-1)
df
dx
= fx ( x , y , z )=
d
dx
xy
x + y + z
= y
d
dx
x
x + y + z
y
( x + y + z )
d
dx
[ x ]− x
d
dx
[ x + y + z ]
( x + y + z )
2
= y
( x + y + z )− x
( x + y + z )
2
= y
y + z
( x + y + z )
2
Formula:
d
dx
[
f ( x )
g ( x )
]
g ( x )
d
dx
[ f ( x ) ]− f ( x )
d
dx
[ g ( x ) ]
g ( x )
2
Donde f(x)=x y g(x)=x+y+z
Evaluado en
(3,1,-1)
2
2
df
dz
= fz ( x , y , z )=
d
dz
xy
x + y + z
= xy
d
dz
x + y + z
= xy
d
dz
( x + y + z )
− 1
¿ xy (−
x + y + z
− 2
)
d
dz
[ x + y + z ] = xy (−
x + y + z
− 2
)= xy
(
( x + y + z )
2
)
− xy
( x + y + z )
2
- f(x,y,z)=
z sin x + y
, (
π
,-4)
df
dx
= fx ( x , y , z )=
d
dx
z sin x + y = z
d
dx
sin x + y = z ¿
df
dy
= fy ( x , y , z )=
d
dy
z sin x + y = z
d
dy
sin x + y = z ¿
Evaluado en
(3,1,-1)
2
Evaluado en (
π
,-4)
(− 4 ) cos 0 +
π
=(− 4 ) cos 0 = 0
Evaluado en (
π
,-4)
(− 4 ) cos 0 +
π
=(− 4 ) cos 0 = 0
df
dz
= fz ( x , y , z )=
d
dz
z sin x + y =sin x + y
d
dz
z =sin x + y ( 1 )=sin x + y
- f(x,y,z)= √
3 x
2
2
− 2 z
2
, (1,-2,1)
df
dx
= fx ( x , y , z )=
d
dx
√
3 x
2
2
− 2 z
2
d
dx
3 x
2
2
− 2 z
2
√
( 3 x
2
2
− 2 z
2
6 x + 0 − 0
√
( 3 x
2
2
− 2 z
2
3 x
√
( 3 x
2
2
− 2 z
2
Evaluado en (
π
,-4)
sin 0 +¿
π
Evaluado en ( 1,-2,1)
