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1.- Definición derivada
1.- Aplica la definición de derivada de una función en un punto y calcúlala para las siguientes
funciones en los puntos que se indican:
a) f(x)=-1+x en x=-
b) f
x
= x
2
− 2 x + 3 en x=
c)
f
x
1 − x
2
en x=
d) f ( x )=ln( 2 x + 1 ) en x=
e) f
x
x + 1
en x=
f) f
x
√
x
2
en x=-
g) f
x
=√ x − 1
en x=
Soluciones:
a) f'(-1)=1; b) f'(2)=2; c) f'(1)=0;
d) f'(0) = 2 ;e) f'(2) = 1/9 ; f) f '
√ 2
; g) no ∃ f '
2.- Reglas de derivación.
2.- Calcula las derivadas de las funciones (potencias):
a) f
x
= x
2
2 x
x
b) f
x
x
2
5 x
5
c) f
x
=√ x
3
3
√
x
2
d) f ( x )= 3 − x √
x +
3 x
2
√ x
3
Soluciones:
a) f'(x)= f '
x
= 2 x −
x
2
; b) f '
x
x
3
x
6
c) f '
x
3 √ x
3 x
3
√ x
2
; d) f '
x
− 3 √ x
√
x
3.- Calcula las derivadas de las funciones (producto y cociente):
a) f
x
x
2
− 2 x
(
√
3 x –
x
)
b) f
x
(
2 x −
x
2 )
x − 1
2
c) f
x
1 − x
3
x − 1
x + 1
d) f
x
x + √
x
2
Soluciones :
a)
f '
x
= 3 √ 3 x
2
− 4 x √ 3 − 1
b) f '
x
= 8 x
2
− 8 x + 2 −
x
x
3
c) f '
x
− 3 x
4
− 2 x
3
2
x + 1
2
d)
f ' ( x )=
x √ x
2
+ 1 − x
2
x
2
Departamento de Matemáticas Página 1
1º bachiller Ciencias Unidad 9 Derivadas
4.- Calcula las derivadas de las funciones ( exponencial):
a)
f ( x )=ln( x + e
− x
b)
f ( x )=( 1 + x )⋅ 2
x + 1
c) f
x
=√ 2
2 x + 1
d) f ( x )=
e
x
− x
e
x
−e
− x
e) f
x
3 xe
− x
√
e
x
Soluciones
a) f ' ( x )=
e
x
xe
x
b) f '
x
x + 1
⋅[ 1 +
1 + x
ln2 ]
c) f '
x
2 x + 1
⋅ ln
√
2 x + 1
d) f '
x
e
2 x
− 2 x
e) f '
x
− 9 x + 6
2 e
x
√ e
x
5.- Calcula las derivadas de las funciones ( trigonométricas):
a)
b) f
x
=sin
2
x
c)
f ( x )=sin x
2
d) f
x
=cos 2 x
2
e) f
x
=cos
x
2
− 3 x
f) f
x
= sinx
2
−cos x
2
g)
f ( x )=tan
2
x
2
h) f
x
=arcsin √
1 − x
2
i) f
x
arctan x
2
2
j) f
x
=lncos e
x
Soluciones :
a) f'(x)= 2cosx
b) f'(x)= sin 2x
c)
f ' ( x )= 2 xcos x
2
d)
f ' ( x )=− 4 xsin2 x
2
e) f '
x
2 x − 3
sin
x
2
− 3 x
f) f '
x
= 2 x
cos x
2
2
g) f '
x
4 xtanx
2
cos
2
x
2
h) f '
x
√ 1 − x
2
i) f ' ( x )=
4 x arctan x
2
1 + x
4
j) f '
x
e
x
tan e
x
6.- Calcula las derivadas de las funciones :
a)
−π
⩽ x <
π
b)
f ( x )=
√
1 + sin x
1 −sin x
−π
⩽ x <
π
c) f
x
=ln
√
1 + sin x
1 −sin x
−π
⩽ x <
π
d) f
x
=arctan
√
1 + sin x
1 −sin x
−π
⩽ x <
π
Soluciones
a) f '
x
2 cos x
1 − sinx
2
b) f '
x
1 −sin x
c) f '
x
cosx
d) f '
x
Departamento de Matemáticas Página 2
2.2 Derivada Logarítmica
11.-Deriva las siguientes funciones:
a)
b) f ( x )=
x
√ x − 2
c) f ( x )=(( x ⋅ e
x
))
√
x
d)
f ( x )=
(
cos
2
x
)
sin x
Soluciones:
a)
f ' ( x )=(sin x )
x
(ln sinx + x cotanx )
b) f ' ( x )=
x
√
x − 2 ⋅
(
−ln( x − 2 )
x
2
x
2
− 2 x
)
c) f ' ( x )=(( x ⋅ e
x
))
√ x
(
x + lnx
√
x
1 + x
√
x
)
d) f ' ( x )= 2 ( tgx )
2 sin x
(
ln( tan x )
cosx
cosx
)
12.-Deriva las siguientes funciones:
a) f ( x )=( tan x )
ln x
b)
f ( x )=
(
sinx
x
)
sin 2x
c)
f ( x )=( x )
tg x
d) f ( x )=( 3x )
x
2
e) f ( x )=( ln x )
sen 2x
f) f ( x )= x
e
x
Soluciones:
a)
f ´ ( x )=
[
ln ( tan x )
x
lnx
senx cosx
]
( tan x )
lnx
b) f ' ( x )=
[
ln
(
senx
x
)
2 cos 2 x
2 xcos
2
x − sen 2 x
x
]
(
senx
x
)
sen 2 x
c)
f ' ( x )= x
tanx
[
lnx
cos
2
x
tanx
x
]
d)
f ´ ( x )=
[
ln ( 3 x )
2 x
( x
2
x
]
( 3 x )
x
2
e) f ´ ( x )=
[
2 cos2x
ln ( lnx)+
sen 2x
xlnx
]
(lnx )
sen 2x
f) f ´ ( x )= x
e
x
e
x
(
ln x +
x
)
Departamento de Matemáticas Página 4
3.-Estudio de la derivabilidad.
13.- Determina si la función f ( x )=
(
x
)
x
es derivable en x=-
Solución : No lo es porque no es continua en ese punto.
14.- Dada la función f : ℜ → ℜ definida por
f ( x )=
{
− x
2
, si x < 0
x
2
, si 0 ≤ x ≤ 3
6x , si 3 < x
,determina los puntos
en los que la función f es derivable.
Soluciones: Es derivable en todos los puntos menos en x=3 por no ser continua.
14.-Estudia, según los valores del parámetro a, la continuidad y derivabilidad de la función
definida por:
f ( x )=
{
x
2
a − x
2
si x > 2
Solución
Si a ≠−8, la función es continua y derivable en ℜ−{ 2 }.
Si a =−8, la función es continua y derivable en R.
15.- Calcula el valor del parámetro a para que la función sea derivable en x=1/
f ( x )=
{
a x
2
− a
x
si x > 1 / 2
Solución :
Si a ≠
la función es continua en x= ½ pero no es derivable.
16.- Indica en qué puntos f(x)=
∣2x
2
Solución : En x= ½ y x=-
17.- Razona si son derivables en el cero las siguientes funciones de variable real:
a) f ( x )=
{
x + 1 si x < 0
2 si x = 0
x + 3 si x > 0
; Solución: No es derivable por no ser continua
b)
g ( x )= √
x
3
2
; Solución: No es derivable
Departamento de Matemáticas Página 5
23.- Se sabe que la función f : [0,5] → ℜ definida por
es derivable en su dominio Calcula las constantes a y b.
Solución:
a=-7/2y b=
24.- Determina los valores de a y b sabiendo que la función definida por
f ( x )=
{
e
− x
si x ≤ 0
ax + b si x > 0
admite reta tangente en el punto (0,1).
Solución: a=-1 y b=
25 .- Calcula los valores de a y b para que la función
f ( x )=
{
3 x + 2 si x < 0
x
2
ax
2
sea continua para todo valor de x. Estudia la derivabilidad para esos valores.
Solución: a= 1 y b=-
26.- Señala cuáles de estas funciones son derivables y explica por qué, indicando en qué
puntos no los son.
4.-Ecuación de la recta tangente y de la recta normal.
27.- Escribe la ecuación de la recta tangente y la normal a las siguientes funciones en los
puntos indicados:
a) f
x
=√ x en x=
b) f
x
=√ x + 2
en x= 2
c) f
x
√
x
en x=
d) f(x)= ln(2-x) en x=
Soluciones:
a) Tangente y= x/4+1 Normal y-2=-4(x-4).
b) Tangente y= x/4+3/2 Normal y=-4x+10.
c) Tangente x+4y-3=0 Normal y -1/2= 4(x-1).
d) Tangente y=-x+1 Normal y=x-1.
28.- Averigua el punto de la gráfica f ( x )= x
2
−2x , donde la pendiente de la recta tangente
es 4. Solución :(3,3).
29.- a) Determina los valores de x para los que la recta tangente a la gráfica de
f ( x )= x
3
− 6 x
2
es paralela a la recta y=3.
b) Determina los puntos de esa gráfica cuya tangente es perpendicular a la recta cuya
ecuación es x+15y+3=
Solución : a) x=0 y x=4 b) (-1, -7) y (5, -25)
30.- Dada la función f(x)= ax
2
- bx + c determina a,b,c sabiendo que la gráfica de f(x) pasa por
los puntos ( 1,0) y (3,0) y que las rectas tangentes a la curva f(x) en x=1 tienen pendiente -1.
Solución: a=1/2, b=-2 , c=3/
31.- Dadas las funciones f(x)= x
2
− 2 x + 3 y g(x)= ax
2
- b , halla a y b para que las funciones
f(x) y g(x) sean tangentes en el punto de abscisa x=2. Solución: a=1/2 y b=
32.-Calcula para que valores de a , las rectas tangentes a la gráfica de la función
f ( x )= ax
2
- 2 x + 3 en x=1 y x=-1 son perpendiculares entre si. Solución: a =±
√ 5
43.- Averigua el número de rectas tangentes a la gráfica de función
f ( x )= x
3
−4x
que
contienen el punto (0,1). Solución: y=1-4x
44.-Determina el punto
a ∈]0,π[
la tangente de la curva f(x) = ln(sinx) es perpendicular a la
bisectriz del prime cuadrante. Solución: a =
3 π
45.- Dada la parábola de ecuación y = x
2
− 2 x + 5, halla la ecuación de la recta tangente que es
paralela a la recta que une los puntos de dicha parábola de abscisas x=1 y x=3.
Solución: y=2x+
46.- Halla los puntos de la parábola y =− 2
x − 2
2
, cuya recta tangente pasa por el origen de
coordenadas. A continuación averigua las ecuaciones de dichas tangentes.
Solución: P(2,0) → y =0 , P(-2,0) →y=16x.
47.- Dada la función
f
x
= x
3
averigua si la recta tangente a la gráfica de dicha función en ele
punto de abscisa 3, pasa por el punto (1.5).A continuación encuentra todas las rectas del plano
que pasan por el punto (1,5) y son tangentes a la gráfica en algún punto.
Solución: Tangente en x=3 → y=27x-54; Tangente que pasa por (1,5) →y =3x+
48.- Dada la función f(x)= ax+b+sin x , calcula a y b para que (0,0 ) sea un punto de esa
curva donde la recta tangente es el eje OX. Solución: a=-1 y b=0.
5.- Monotonía y curvatura.
49.- Estudia la monotonía y curvatura de las siguientes funciones:
a)
f ( x )= 2 x
3
− 3 x
2
− 12 x + 6
b) f
x
1 − x
1 + x
2
c) f
x
x
2
− x − 8
x + 3
d) f(x)=
x
2
x
2
e) f
x
x − 1
2
x
3
f) f
x
3
√ x + 1
g) f
x
x
2
√
x
2
h) f
x
x
2
x
i) f
x
1 −ln x
x
j) f
x
= x ⋅ lnx
2
k)
f ( x )= e
x
⋅( 1 + 2 x )
l) f
x
x
2
e
x
m)
f ( x )= x
3
e
x
n) f(x)=cosx-sinx
o) f ( x )=
e
x − 2
( x + 1 )
2
Soluciones:
a) Máx rel x=1 y Mín rel x=2; Punto de inflexión x=1/2. D=R
b)Máx rel x=1- √ 2 y Mín rel x=1+ x =e
2
; Punto de inflexión x=-1. D=R
c) Máx rel x=-5 y Mín rel x=-1; Punto de inflexión x=-3 D=R-{-3}
d) Máx rel x=- √ 3 y Mín rel x= + √ 3 ; Punto de inflexión x=0. D=R-{-1,+1}
e) Máx rel x=3 y Mín rel x=1; Punto de inflexión x=3- √ 3 y x=3+- √ 3 D=R-{0}
f) Siempre es creciente. Punto de inflexión x=1/2. D=R
g) Mín rel x= −√ 2 .Siempre es cóncava. D=
]
[
U
]
[
h) Máx rel x=-1 y Mín rel x=1 ; Punto de inflexión x=1 y x=-1. D=R-{0}
i)Mín rel x =e
2
Punto de inflexión x =e
5
2
D=R-{0}
j) Máx rel x=-1/e y Mín rel x=1/e; Punto de inflexión x=0. D=R
k) Mín rel x=3/2.Puntos de inflexión x=-5/
l)Máx rel x=1 y Mín rel x=0; Puntos de inflexión x =
3 ±√ 5
. D=R
m) Mín rel x=3; Punto de inflexión x =− 3 ±√ 3
D=R
n)Máx rel x =
7 π
3 π
- 2 k ⋅π ; Punto de inflexión x =
π
o) Mín rel x=1; Punto de inflexión x=1 y x=-1. D=R-{1}
57.-Sea la función
f ( x )= x
3
2
halla a para que f tenga un extremo relativo en x=2 , para
ese valor estudia la monotonía y puntos de inflexión. ¿Es posible encontrar algún valor de a
real que f(x) sea creciente en todo su dominio?
Soluciones: a=-3; crece de ]- ∞ , 0[U]2, + ∞ [ , decrece de ]0,2[. En x=1 hay un punto de
inflexión.
58.-Dada la función f(x)= ax
2
+bx , halla a y b para que tenga un máximo en (3,8). Para esos
valores halla la recta tangente a f(x) en el punto de abscisa x=0.
Soluciones:
a=-8/9 y b) 16/3; La recta tangente es y=16x/
59.- Sea la función real de variable real f(x)=
2 x + m
x
Halla m para que la tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abscisa x=-3 sea para lela a x-
3y+1=0. Calcula dicha recta tangente.
Solución : m=3 , rt y=x/3+
60.- Sea la función real de variable real definida por f(x)=
2 x
3
2
. Determina a y b
sabiendo que la recta tangente a la gráfica de f(x) en su punto de inflexión es y=2x+3.
Solución: a=26 y b= 19.
61.-Sea f(x)=
x
3
2
- bx + 1 ,determina a y b sabiendo que sabiendo que f(x) pasa por el
punto (2,2) y que tiene un punto de inflexión en x=0.
Solución: a=0 y b=-7/
62.-Halla a y b para que la siguiente función tenga un extremo relativo en el intervalo (-2,3),
f ( x )= x
3
2
Solución: a=3 y b=-
63.- De la función f:(0, + ∞ ) → R donde f ( x )=
ax
2
x
se sabe que la recta tangente a su
gráfica en el punto de abscisa x=1 viene dada por y=-2.
a)Calcula a y b.
b) Averigua los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Solución: a= b=-1 .Crece en ]0,1[ y decrece en ]1, + ∞ [
64.-Calcula k para que f(x)= x e
− kx
tenga un extremo relativo en x=1. ¿Es máximo o mínimo?
Solución: k=
65.- Determina los valores de k para que se cumpla que f(x)= ln
x
2
para que sea creciente
en x=1. Solución: k>
66.-Para cada valor de a ∈ R consideramos f
x
= x +
3 − a
x
∀ x ≠ 0
a)Determina los extremos relativos de la función para cada valor de a.
b)¿Para qué valores de a f(x) es siempre creciente?
Solución: a) a ⩽ 3 , existen mínimos relativos en x= √ 3 − a
67.-Sea f(x)= x
3
2
- bx + 7 .Determina a y b para que en x=1 la función tenga un punto de
inflexión cuya recta tangente en ese punto forma un ángulo de 45º con el eje de OX en sentido
positivo. Solución: a=-3 y b=4.
68.-Se considera f
x
= x
4
3
2
a) Calcula c sabiendo que la recta tangente a f(x) en el punto de abscisa x=0 es horizontal.
b)Para el valor de c hallado en el apartado anterior , calcula a y b sabiendo que f(x) tiene un
extremo relativo en x=-2 y que corta el eje OX en x=1.
Solución: a) c=0, b) a=0 y b=-
69.-Halla los valores de los coeficientes b,c y d para que la gráfica de la función
f
x
= x
3
2
- cx + d corte el eje OY en el punto (0,-1) , pase por el punto (2,3) y en este
punto tenga tangente paralela al eje OX.
Solución: a) b=-5 c=8 y d=-
70.- Se considera la función f
x
= a x
3
2
- cx + d se sabe que tiene un máximo en x=-1 y
que su gráfica corta al eje OX en el punto de abscisa x=-2 y tiene un punto de inflexión en el
punto de abscisa x=0. Calcula a, b c y d sabiendo que además la recta tangente a la gráfica en
f(x) en el punto de abscisa x=2 tiene pendiente 9.
Solución: a) a=1 , b=0 ; c=-3 y d=2.
71.-Se sabe que f:]-1, + ∞ [ → R definida por f ( x )=
{
x
2
−4x+ 3 si − 1 < x < 0
x
2
x + 1
si x ≥ 0
es continua
en su dominio.Halla a .¿Es derivable en x=0?
Solución: a) a=3.
b) Dominio: D=R-{1}
Asíntotas: AH:No existe.
AV:x=1; AO:y=x-
Monotonía:
Crece : ]- ∞ , 0[ U .]2 + ∞ [
Decrece:]0 ,2[-{1}[
Máx rel :(0,2) ;Min rel:(2,2)
No hay absolutos.
Curvatura:
Convexa:]1 + ∞ [;
Cóncava:]- ∞ , 1[
Puntos de corte : (0,2)
c) Dominio: D=R-[-2,2]
Asíntotas: AH:y=
AV:x=-2; x=
Monotonía:
Decrece: En todo su dominio.
Curvatura:
Cóncava:]2,+ ∞ [;
Convexa:]- ∞ , -2[
Puntos de corte : No existe
d) Dominio: D=R
Asíntotas: AH:No existe.
AV:x=
Monotonía:
Crece : ]- ∞ , 0[ U .]e,+ ∞ [
Decrece:]0 ,1[ U]1,e [
Min x=e.
Curvatura:
Cóncava:]1 + ∞ [;
Convexa:]0, 1[
Puntos de corte : (0,0)
e) Dominio: D=R-{0,-4}
Asíntotas: AH:y=
AV: por la derecha x=0 y en x=-
Monotonía:
Crece :
]-
, -4[ U .]-4, 0[ U]4/3,+
[
Decrece:]0 ,4/3[
Min
(
e
3 / 4
)
Curvatura:
Cóncava:]- ∞ , -4[ U. U]0,+ ∞ [
Convexa:]-4, 0[
Puntos de corte : (0,0)
h)Dominio: D=R-{0}
Asíntotas: AH:y=
AV:X=
Monotonía:
Crece ]1,+ ∞ [
Decrece :]- ∞ , 0[U ]0,1[
Min relativo (1,e)
No hay absolutos
Curvatura:
Cóncava :]0,+ ∞ [
Convexa: ]- ∞ , 0[
Puntos de corte : No hay
i) Dominio:
D=]- ∞ , 0]U [1,2 [U ]2,+ ∞ [
Asíntotas:
AV:x=
Monotonía:
Crece ]- ∞ , 0[
Decrece : ]1,2[U ]2,+ ∞ [
Curvatura:
Cóncava : ]- ∞ , 0[ U]2,+ ∞ [
Convexa: ]1,2[
Puntos de corte : (0,0), (1,0)
i
j) Dominio:
D=R-{1}
Asíntotas:
AV:x=-
AH:y=
Monotonía:
Crece ]- ∞ , -1[ U ]0,+ ∞ [
Decrece : ]-1,0[
Min relativo y absoluto en
Curvatura:
Cóncava : ]- ∞ , 0[ -{-1}
Convexa: ]0,+ ∞ [
Puntos de corte : (0,0)
k) Dominio:
D=R-{1}
Asíntotas:
AV:x=1 por la derecha
AH:y=e
Monotonía:
Decrece en su dominio.
Min relativo y absoluto en
Curvatura:
Cóncava :]1,+ ∞ [
Convexa:]- ∞ , 1[ ]
Puntos de corte : (0,1)
