¡Descarga matemáticas derivadas y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Aplicacions de les derivades
1998 - Sèrie 2 - Qüestió 4
Trobeu el punt de la gràfica y = x + ln x tal que la recta tangent sigui perpendicular a la recta
2 x + 6 y = 5.
[2 punts]
1998 - Sèrie 2 - Problema 1
Sigui f ( x ) =
x + 5
x
2
a) Trobeu l'equació de la recta tangent a la gràfica de f ( x ) en el punt d'abscissa x = 2.
b) Estudieu el domini de definició de
f ( x ) i les asímptotes.
c) Estudieu els intervals de creixement i decreixement. Feu-ne la representació gràfica.
[4 punts. 1 punt els apartats a i b. 2 punts l'apartat c]
1998 - Sèrie 3 - Qüestió 4
En quin punt de la corba f ( x ) = ln x la recta tangent és paral·lela a la corda AB determinada pels punts
A = (1, 0 ) i B = (e , 1 ).
[2 punts]
1998 - Sèrie 6 - Qüestió 2
Sigui f ( x ) = x
3
2
- 3 x + 5 b. Trobeu els valors de a i b de manera que la gràfica de f ( x ) tingui la
tangent horitzontal per a
x = 1 i, a més, la corba passi pel punt
[2 punts]
Aplicacions de les derivades
1999 - Sèrie 2 - Qüestió 1
La gràfica d'una funció és la que hi ha en el dibuix següent. Quina és la gràfica de la seva funció
derivada? En quins punts és discontínua la derivada?
[2 punts]
1999 - Sèrie 2 - Problema 1
Considereu la funció f ( x ) =
8 x − x
2
a) Trobeu el domini de f ( x ) i les asímptotes.
b) Determineu el signe de la funció en el seu domini (determinar el signe de f ( x ) vol dir establir
per a quins valors de x es compleix
f ( x ) ≥ 0 i per a quins
f ( x ) ≤ 0 ).
c) Trobeu-ne els intervals de creixement i decreixement i els extrems relatius.
d) Feu un esquema de la gràfica de la funció.
[4 punts]
1999 - Sèrie 6 - Problema 1
Considereu la funció y = f ( x ) =
x
2
− x
x + 1
a) Feu un estudi de les seves asímptotes.
b) Calculeu els punts en què aquesta funció té extrem relatiu i digueu per a quins intervals del
domini la funció és creixent.
c) Feu un esbós de la gràfica de la funció a partir de les dades obtingudes en els apartats
anteriors.
[4 punts]
Aplicacions de les derivades
2000 - Sèrie 6 - Qüestió 1
D'una funció y = f ( x ), sabem
- El seu domini de definició és tot ℝ.
- La seva funció derivada és
f ' ( x ) =
{
2 si x < 1
− 1 si x > 1
- f ( x ) és contínua en tot punt i f (− 1 ) = 2.
Determineu el valor de
f ( 1 ) i dibuixeu la gràfica de la funció
f ( x ) .
[2 punts]
2000 - Sèrie 6 - Qüestió 2
Donada la funció f ( x ) =
x + 1
e
x
, determineu l'equació de la recta tangent a la seva gràfica en el punt on
s'anul·la la segona derivada.
[2 punts]
2001 - Sèrie 2 - Problema 2
Considereu la funció f ( x ) =
x
2
− 2 x
2 x
2
a) Determineu les seves asímptotes.
b) Calculeu els intervals on creix i on decreix, i els extrems relatius.
c) D'acord amb els resultats que heu obtingut, dibuixeu aproximadament la seva gràfica.
d) Fixant-vos en la gràfica anterior, expliqueu quina seria la gràfica de la funció g ( x ) = − f ( x ) + 3
(feu-ne un esquema). En quins punts té màxims la funció
g ( x ) ?
[4 punts]
Aplicacions de les derivades
2001 - Sèrie 4 - Qüestió 3
Considereu la funció definida per
f ( x ) =
{
e
a x
si x ≤ 0
2 x + 1 si x > 0
on a és un nombre real.
a) Calculeu
lim
x → 0
f ( x ) i comproveu que
f ( x ) és contínua en
x = 0 .
b) Per a quin valor del paràmetre a la funció f ( x ) és derivable en x = 0?
[2 punts]
2001 - Sèrie 5 - Qüestió 1
Per a cada valor del paràmetre
a ∈ ℝ , considereu la funció
f ( x ) = x +
3 − a
x
(definida per a tots els valors de x diferents de 0).
a) Determineu per a cada valor del paràmetre a , els extrems relatius que té la funció
f ( x ) .
b) Per a quins valors del paràmetre a la funció f ( x ) és sempre creixent?
[2 punts]
2001 - Sèrie 5 - Qüestió 2
Teniu una funció f ( x ) definida per a x ∈ (−2, 2 ), sabeu que el gràfic de f ' ( x ) és de la forma
(on f ' (− 1 ) = 0 , f ' ( 0 ) = − 1 , f ' ( 1 ) = 1 ) i que f ( 0 ) = 2.
Dibuixeu un gràfic aproximat de
f ( x ) indicant en quins punts hi ha extrems relatius.
[2 punts]
Aplicacions de les derivades
2003 - Sèrie 2 - Qüestió 1
Calculeu les equacions de les dues rectes del pla que passen pel punt
P = (1, − 1 )
i que són tangents a la
corba d'equació y = ( x − 1 )
2
[2 punts]
2003 - Sèrie 3 - Qüestió 2
Calculeu el punt de la corba y = 2 + x − x
2
en què la tangent és paral·lela a la recta y = x.
[2 punts]
2003 - Sèrie 5 - Problema 1
a) Determineu el valor del paràmetre a que fa que la funció
f ( x ) =
x + a
x
3
presenti un extrem relatiu en el punt d'abscissa x = 3.
b) Per a aquest valor del paràmetre a , calculeu els intervals de creixement i decreixement, i les
asímptotes de la funció.
c) A partir de les dades que heu obtingut, feu una gràfica aproximada d'aquesta funció.
[4 punts]
2004 - Sèrie 3 - Qüestió 1
Considereu la funció f ( x ) = x
3
− 3 x
2
a) Calculeu l'equació de la recta tangent a la gràfica de
f ( x ) en el punt d'abscissa
x = 3 .
b) Existeix alguna altra recta tangent a la gràfica de f ( x ) que sigui paral·lela a la que heu trobat?
Raoneu la resposta i, en cas afirmatiu, trobeu-ne l'equació.
[2 punts. 1 punt cada apartat]
Aplicacions de les derivades
2004 - Sèrie 3 - Qüestió 3
Considereu la funció f ( x ) = 1 +
a
x
x
2
on a és un paràmetre.
a) Calculeu el valor del paràmetre a sabent que f ( x ) té un extrem relatiu en el punt d'abscissa
x = 3.
b) Aquest extrem relatiu, es tracta d'un màxim o d'un mínim? Raoneu la resposta.
[2 punts. Apartat a) 1,5 punts; apartat b) 0,5 punts.]
2004 - Sèrie 5 - Qüestió 2
La gràfica següent correspon a una funció f : [
]
→ ℝ derivable i amb derivada contínua. Feu un esbós
de la gràfica de f ' : (2, 6 ) → ℝ i justifiqueu-ne el perquè.
[2 punts]
2004 - Sèrie 5 - Problema 5
Considereu la funció polinòmica de tercer grau,
f ( x ) = a x
3
2
a) Trobeu els valors de a , b , c i d per als quals f ( x ) talla l'eix OX en els punts x = 0 i x = 1 i
presenta un mínim relatiu en el punt x = 0.
b) Feu un esbós de la gràfica de la funció que heu trobat, i acabeu de calcular els elements
necessaris per dibuixar-la.
[4 punts. 2 punts cada apartat]
Aplicacions de les derivades
2006 - Sèrie 3 - Qüestió 1
Considereu la funció definida per f ( x ) =
x
2
x + 1
. Calculeu quant val el pendent de la recta tangent a la
seva gràfica pel punt d'abscissa x = 0. Trobeu si hi ha altres punts en els quals el pendent de la tangent
sigui igual al que s'ha obtingut.
[2 punts]
2006 - Sèrie 3 - Problema 5
Donada la funció f ( x ) = e
− x
2
a) Trobeu el seu domini i les possibles interseccions amb els eixos.
b) Trobeu els intervals on creix i decreix i els extrems relatius.
c) Trobeu les possibles asímptotes.
d) Feu la representació gràfica aproximada de la funció.
[4 punts. Cada apartat val 1 punt.]
2006 - Sèrie 4 - Qüestió 1
Sigui f : ℝ→ℝ la funció definida per f ( x ) = e
x
( a x + b ), on a i b són nombres reals.
a) Calculeu els valors de a i b per tal que la funció tingui un extrem relatiu en el punt ( 3, e
3
).
b) Per als valors de a i b obtinguts, digueu quin tipus d'extrem té la funció en el punt esmentat.
[2 punts. 1 punt cada apartat]
2007 - Sèrie 1 - Qüestió 1
En quin punt la recta tangent a la funció f ( x ) = x ⋅e
x
és paral·lela a l'eix d'abscisses? Escriviu l'equació
de la recta tangent en aquest punt.
[2 punts]
Aplicacions de les derivades
2007 - Sèrie 2 - Qüestió 2
La funció derivada f ' ( x ) de certa funció contínua f : ℝ→ℝ és una funció a trossos formada per les
semirectes del dibuix.
a) Digueu si
f ( x ) és derivable en tots els punts de
i per què.
b) Estudieu el creixement i el decreixement de f ( x ).
c) Trobeu si f ( x ) té algun extrem relatiu i, si és així, per a quin valor de x i de quin tipus.
d) Sabent que
f ( 0 ) = 1 , calculeu el valor de
f ( 1 ) .
Justifiqueu totes les respostes.
[2 punts. 0,5 punts cada apartat]
2007 - Sèrie 2 - Qüestió 3
Calculeu els valors del paràmetre a , a ≠ 0 , que fan que les tangents a la corba d'equació
y = a x
4
3
− a x + 1512 en els punts d'inflexió siguin perpendiculars.
[2 punts]
Aplicacions de les derivades
2008 - Sèrie 4 - Qüestió 1
Considereu la funció
f ( x ) = a x
2
a , b ∈ ℝ
). Trobeu els valors de a i b que fan que la recta
y = 2 x + 1 sigui tangent a la gràfica de f quan x = 1.
[2 punts]
2008 - Sèrie 5 - Qüestió 1
Trobeu els valors dels paràmetres a i b per tal que la funció següent sigui contínua i derivable en x = 2.
f ( x ) =
a x
2
x
3
[2 punts]
2008 - Sèrie 4 - Problema 5
Donades les funcions f ( x ) =
e
x
− e
− x
i g ( x ) =
e
x
− x
a) Comproveu que: [ g ( x )]
2
− [ f ( x )]
2
b) Comproveu també que f ' ( x ) = g ( x ) i g ' ( x ) = f ( x ).
c) Comproveu que f ( x + y ) = f ( x )⋅ g ( y ) + f ( y )⋅ g ( x ).
d) Calculeu lim
x →∞
f ( x )
g ( x )
dividint per e
x
el numerador i el denominador; amb un procediment similar
(però no igual), trobeu lim
x →−∞
f ( x )
g ( x )
[4 punts. 1 punt cada apartat]
2008 - Sèrie 5 - Qüestió 3
Digueu per a quin valor de x la recta tangent a la corba y = ln( x
2
- 1 ) és paral·lela a la recta y = x.
Escriviu l'equació d'aquesta tangent.
[2 punts]
Aplicacions de les derivades
2009 - Sèrie 1 - Qüestió 3
Sigui
f ( x ) = 2 x
3
− x
2
. Donades les rectes
r
1
: y = x + 2 i
r
2
: y = 7 x − 2 :
a) Expliqueu, raonadament, si alguna de les dues rectes pot ser tangent a la corba y = f ( x ) en
algun punt.
b) En cas que alguna d'elles ho sigui, trobeu el punt de tangència.
[2 punts. 1 punt cada apartat]
2009 - Sèrie 1 - Problema 5
Considereu la funció real de variable real f ( x ) =
2 x
3
x
2
a) Trobeu-ne el domini.
b) Calculeu l'equació de les seves asímptotes, si en té.
c) Estudieu-ne els intervals de creixement i de decreixement, així com les abscisses dels seus
extrems relatius, si en té, i classifiqueu-los.
[4 punts. 0,5 punts per l'apartat a; 1,5 punts per l'apartat b; 2 punts per l'apartat c]
2010 - Sèrie 2 - Qüestió 1
Trobeu les asímptotes de la funció f ( x ) =
3 x
3
− 5 x − 2
x
2
− 4 x − 5
[2 punts]
2010 - Sèrie 4 - Qüestió 3
Sigui P ( x ) = a x
2
- b x + c un polinomi qualsevol de segon grau.
a) Trobeu la relació existent entre els paràmetres a , b i c sabent que es compleix que
P ( 1 ) = 0
i
P ( 2 ) = 0.
b) Quan es compleix la condició anterior, indiqueu quins valors pot tenir P ' ( 3 / 2 ).
[2 punts. 1 punt cada apartat]
Aplicacions de les derivades
2011 - Sèrie 2 - Qüestió 3
Donada la funció
f ( x ) = x
3
2
a) Determineu la relació que han de complir els paràmetres a , b i c perquè f ( x ) tingui un extrem
relatiu en el punt d'abscissa x = − 1.
b) Calculeu el valor del paràmetre a perquè hi hagi un punt d'inflexió de la funció f ( x ) en el punt
d'abscissa x = 0.
c) Determineu la relació entre els paràmetres a , b i c sabent que la gràfica de
f ( x ) talla l'eix
OX
en
el punt d'abscissa x = − 2.
d) Calculeu el valor dels paràmetres a , b i c perquè es compleixin les tres propietats anteriors
alhora.
[2 punts. 0,5 punt cada apartat]
2011 - Sèrie 4 - Qüestió 3
La gràfica corresponent a la derivada d'una funció
f ( x ) és la següent:
a) Expliqueu raonadament quins valors de x corresponen a màxims o a mínims relatius de f ( x ).
b) Determineu els intervals de creixement i decreixement de la funció
f ( x ) .
[2 punts. 1,5 punts per l'apartat a; 0,5 punts per l'apartat b]
2012 - Sèrie 3 - Qüestió 2
Donades la recta
y = 3 x + b i la paràbola
y = x
2
a) Calculeu l'abscissa del punt on la recta tangent a la paràbola és paral·lela a la recta donada.
b) Calculeu el valor del paràmetre b perquè la recta sigui tangent a la paràbola.
[2 punts. 1 punt cada apartat]
Aplicacions de les derivades
2012 - Sèrie 4 - Qüestió 2
Sigui f ( x ) =
a x
2
x + b
, en què a ≠ 0.
a) Determineu si té alguna asímptota vertical, en funció del paràmetre b.
b) Indiqueu el valor dels paràmetres a i b perquè la funció f ( x ) tingui la recta y = 2 x − 4 com a
asímptota obliqua a +∞
[2 punts. 1 punt cada apartat]
2012 - Sèrie 4 - Qüestió 6
Donades la recta y = a x + 1 i la paràbola y = 3 x − x
2
a) Calculeu els valors del paràmetre a perquè siguin tangents.
b) Calculeu els punts de tangència.
[2 punts. 1,5 punts per l'apartat a; 0,5 punts per l'apartat b]
2013 - Sèrie 3 - Qüestió 6
Sigui f ( x ) = x
3
2
- b x + c. Sabem que la gràfica d'aquesta funció és tangent a la recta r : y = x + 3
en el punt d'abscissa x = − 1 , i que en el punt d'abscissa x = 1 la recta tangent és paral·lela a la recta r.
Calculeu el valor dels paràmetres a , b i c.
[2 punts]
2013 - Sèrie 4 - Qüestió 6
La funció
f ( x ) és derivable i passa per l'origen de coordenades.
La gràfica de la funció derivada és la que veieu aquí dibuixada,
essent f ' ( x ) creixent als intervals (−∞ , − 3 ] i [ 2 , +∞).
a) Trobeu l'equació de la recta tangent a la gràfica de la
funció
f ( x ) en el punt d'abscissa
x = 0 .
b) Indiqueu les abscisses dels extrems relatius de la funció
f ( x ) i classifiqueu aquests extrems.
[2 punts. 1 punt cada apartat]
Aplicacions de les derivades
2016 - Sèrie 3 - Qüestió 3
Sigui la funció
f ( x ) = x e
x – 1
a) Calculeu l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció f en el punt d'abscissa x = 1.
b) Determineu en quins intervals la funció f és creixent i en quins intervals és decreixent.
[2 punts. 1 punt cada apartat]
2016 - Sèrie 5 - Qüestió 3
Responeu a les qüestions següents:
a) Calculeu els màxims relatius, els mínims relatius i els punts d'inflexió de la funció
f ( x ) = 2 x
3
- 9 x
2
b) Expliqueu raonadament que si f ( x ) és una funció amb la derivada primera contínua en
l'interval [ a , b ] i satisfà que f ' ( a ) > 0 i f ' ( b ) < 0 , aleshores hi ha, com a mínim, un punt de
l'interval ( a , b ) en què la recta tangent a la gràfica de f ( x ) en aquest punt és horitzontal.
[2 punts. 1 punt cada apartat]
2017 - Sèrie 1 - Qüestió 3
Sigui la funció f ( x ) =
x
2
− k
, en què k és un paràmetre real diferent de 0. Per als diferents valors del
paràmetre k :
a) Calculeu el domini i les asímptotes de la funció.
b) Calculeu els punts amb un màxim o un mínim relatiu.
[2 punts. 1 punt cada apartat]
Aplicacions de les derivades
