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UAH. MATEMÁTICAS EMPRESARIALES I (ADE y CYF)
Derivadas HOJA 4.
1. Dada la función
2 /( ), si 1
3 , si 1 ( )
2
ax x
ax x f x
a) ¿Para qué valores del parámetro a es continua? b) ¿Para qué valores de a es derivable?
2. Dada la función
si 0
5 2 sen si 0 ( ) 2 x ax b x
x x f x
a) ¿Para qué valores de los parámetros a y b es continua la función f ( x )?
b) Determina a y b para que f ( x )sea derivable en x = 0.
3. Calcula, simplificando el resultado, la derivada de la función: x
x f x 1 cos
1 cos ( ) ln
4. Deriva y simplifica: a)
2 3 y ( x 5 x ) b) 3 2 2 y ( 5 x 2 x )
5. Para las funciones del problema anterior, indica los puntos en los que la derivada vale 0.
6. Deriva: a) ( ) ln( 3 4 )
2 f x x x b) ( ) ( 1 )ln( 1 )
2 f x x x c) 3
2 ln( 1 ) ( ) x
x f x
7. Deriva: a)
3 21 2
x y b)
^2 3
x y e c)
2 2 1
x y x e d) 2
x
e y
x
8. Si ( ) 1
2 f x x y
2 g ( x ) senx halla la derivada de las funciones F ( x ) f ( g ( x )) y
G ( x ) g ( f ( x )), aplicando la regla de la cadena.
9. Halla la ecuación de la recta tangente a f ( x ) x 3 x
2 en el punto x = 1. Representa
gráficamente la curva y la tangente.
10. Halla la ecuación de la recta tangente a x
f x
( ) en el punto de abscisa x = 4.
11. Halla los puntos de la curva y x 2 x
3 en los que su tangente tiene pendiente 1. Halla la
ecuación de esas tangentes.
12. Comprueba que, en el punto x = 1, la función y x puede aproximarse por la recta
y x . Utiliza ese resultado para hallar la raíz cuadrada de 1,1.
13. Calcula la diferencial de la función tag x en el punto
4
para x = dx = 0,01.
14. Halla la derivada n-ésima de f ( x ) ln x.
15. Deriva: a)
3 2 2
x y b)
2 2 3
xx y
c)
3
x y e d)
x y e
5 2 e)
2 1 ( 2 1 )
x y x e
16. Deriva: a)
x
e y
x
b) x e
x y c) 2 1
x
e y
x
d) x
xe y
x
e)
x y e f)
x y e
17. Halla la diferencial de las siguientes funciones:
a) ( ) 1
2 f x x b) f ( x ) x 3 x
2 c) x
f x
( ) d) f ( x ) x 2 x
3
¿Cuánto vale esa diferencial cuando, en x = 1, dx 0 , 1?
18. El coste de producción, en euros, de x unidades de un determinado producto viene dado por la
función f ( x ) 30 x 40 x 500.
a) Si la empresa produce 100 unidades, ¿cuál es el incremento de coste de la unidad 101?
b) Compara dicho incremento con el coste marginal en x = 100.
19. Los costes de fabricación de un ordenador vienen dados por la función
( ) 40 30000
2 C x x x , siendo x el número de ordenadores fabricados.
Si cada ordenador se vende por 490 €, halla:
a) La función de beneficios.
b) Las funciones de coste, ingresos y beneficios marginales. ¿Qué valor toman cuando x = 100,
200 y 300? Interpreta esos resultados.
c) ¿Cuándo aumentan y disminuyen los beneficios? ¿Cuántos ordenadores se deben fabricar y
vender para que los beneficios sean máximos?
20. Para las funciones definidas implícitamente, halla la derivada, y´ , en los puntos que se indica:
a) 2 6 0
2 x xy , en (3, –1) b) 2 2
2 2 3 x xy y , en (1, 1)
Ejercicios de tipo test propuestos en exámenes anteriores (Licenciatura)
1. La función
2 1 , para 0
, para 0 ( ) x x
e x f x
x
, en el punto x = 0 es:
a) Derivable pero no continua. b) Continua pero no derivable. c) Continua y derivable.
2. La función
2 si 2
si 2 ( )
2
x x
x ax b x f x es derivable en x = 2 si:
a) b = –2 a b) Sólo si a = 2 y b = 4 c) Ninguna de las anteriores.
3. Dada la función ( ) 2 3 1
3 2 f x x x x :
a) La recta r 1 (^) : y x 2 , es tangente a la curva y f ( x )en algún punto.
b) La recta r 2 (^) : y 7 x 2 , es tangente a la curva y f ( x )en el punto (1, 5).
c) Ninguna de las anteriores.
4. Dada 2 3 ( 3 )
x
x f x , los valores de f ´(1) y f ´´(1) son, respectivamente:
a) 1 y 14 b) 1 y 4 c) 1 y 21/
5. La ecuación de la recta tangente a la curva 3
x
y en el punto de abscisa x = 1 es:
a) y x 2
b) 8
y x c) y = 2 x
