MAT1 ADE+DADE+TADE+ECO Universitat d’Alacant 2014-15
Departament de Mètodes Quan titatius i Teoria Econòmica. Universitat d’Alacant 1
EJERCICIOS BLOQUE II:
2.1. Utilizando la definición de derivada, calcula la derivada de la función en el punto que se indica.
Comprueba el resultado utilizando las reglas de derivación y luego sustituyendo en el punto.
2
0
a) f(x) 2x x 1 x 2
0
x 1
b) f(x) x 1
x 6
0
c) f(x) x x 1
2.2. Dadas las siguientes funciones, se pide:
1. Representa gráficamente la función, usando que se trata de funciones elementales
conocidas
2. A la vista de su gráfica, razona intuitivamente su continuidad y derivabilidad en todo
3. Razona formalmente la derivabilidad, haciendo un estudio mediante la definición de
derivada en el punto que se indica
4. Calcula las derivadas laterales y razona con ellas la existencia de derivada en el punto
que se indica
2
0
2
x x 0
a) f(x) x 0
x x 0
2
0
x x 0
b) f(x) x 0
2x x 0
3
0
2
x x 0
c) f(x) x 0
x x 0
2
0
2
x 2 x 1
d) f(x) x 1
x 4 x 1
2.3. Aplicando las reglas de derivación, calcula las derivadas de las siguientes funciones:
2
x
x 1
a) f(x)
e
3
b) f(x) sen(x 2x)
2
3
c) f(x) x 3x 1
sen(x)
d) f(x) ln
x
cos(x)
e) f(x)
ln(x)
2
x
x 1
f) f(x)
e
x 1
x 2
g) f(x) e
2
x
ln(x 1)
h) f(x)
tg(e )
2.4. Para cada una de las funciones se pide:
1) calcula la derivada en el punto
0
x
indicado
2) calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto
3) calcula la ecuación de una recta perpendicular a la anterior que pase por dicho punto
3
0
a) f(x) x 2x x 1
3
0
x 2x
b) f(x) x 1
x 2
2
(x 1)
0
c) f(x) e x 0
3
0
d) f(x) x 2x x 2
2
0
e) f(x) ln(x ) x 1
3 2
0
f) f(x) 2x 3x 6x 36 x 0
2.5. Responde razonadamente a las siguientes cuestiones:
a) Se sabe que la recta tangente a la gráfica de la función f(x) en el punto
(1, 2)
tiene la ecuación
3x 2y 7
. ¿Cuánto vale la derivada de f(x) en 0
x 1
,
f'(1)
?
b) ¿Cuánto vale aproximadamente
f(1'001)
?; ¿y
f(0'998)
?, siendo f(x) la misma función del
apartado anterior.
c) ¿Es dicha función creciente o decreciente en un entorno de 0
x 1
?
