Soluciones de Exercicis i Problemas de Cálculus, Ejercicios de Cálculo

¡Descarga Soluciones de Exercicis i Problemas de Cálculus y más Ejercicios en PDF de Cálculo solo en Docsity!

C`ALCUL

Solucions als exercicis i problemes

EEBE

A. Carmona, M. Claverol, A.M. Encinas, M.J. Jim´^ ´ enez,

A. Mart´` ın, A. Mas, M. Mitjana, M. Ruiz

C`alcul

1 Conjunts num`erics

El conjunt dels nombres reals

Exercici 1.1. x ∈ (− 1 , 0) ∪ (1, +∞).

Exercici 1.2. x ∈ (− 3 , −1] ∪ [1, +∞).

Exercici 1.3. x ∈ [−

7].

Exercici 1.4. Per a cadascun dels conjunts apareixen els resultats del m`axim, el m´ınim, l’´ınfim i el suprem, en aquest ordre.

A 1 : 1, @, 0 , 1 , A 2 : @, 1 , 1 , @, A 3 : @, @, @, @, A 4 : 2, − 1 , − 1 , 2 ,

A 5 : @, − 2 , − 2 , 7 , A 6 : 2, @, −π/ 2 , 2 , A 7 : @, @, − 1 , 1.

Exercici 1.5. Per a cadascun dels apartats apareixen els resultats del m`axim, el m´ınim, el suprem i l’´ınfim, en aquest ordre.

(a) 1 , @, 1 , 0

(b) @, @, 2 , @

(c) 1 / 2 , − 1 , 1 / 2 , − 1

(d) @, @, 5 , − 3

(e) @, 1 , @, 1

(f)

El conjunt dels nombres complexos

Exercici 1.6.

(a) No, Im(¯z) = −y

(b) S´ı.

(c) S´ı, per z 6 = 0, |¯z| = |z| =

x^2 + y^2

(d) S´ı

Exercici 1.12.

(a) z 1 z 2 = e

π 2 i

(b) z 1 z 2 = 4e

π 6 i

(a)

(b)

π 6

Exercici 1.13.

(a) 5 + 12 i

(b)

(c) −46 + 9 i

(d) −2 + 2

3 i

(e) 16.

(f)

i.

(g)

i.

Exercici 1.14. trampa

(a)

i =

e−^

π 4 i

(b) −1 = e π i

(c)

i = e

π 3 i

(d)

i = e

π 3 i

Exercici 1.15.

n = 2 z 0 = 1; z 1 = − 1.

n = 3 z 0 = 1; z 1 = e

π 3 i; z 2 = e

2 π 3 i.

n = 4 z 0 = 1; z 1 = e

π 2 i^ = i; z 2 = eπ i^ = −1; z 3 = e

3 π 2 i^ = −i.

e e^0 i^ = 1 π i (^) = − 1

e

2 π 3 i

e

4 π 3 i

e^0 i^ = 1

e

π 2 i^ = i

e e^0 i^ = 1 π i (^) = − 1

e

3 π 2 i^ = −i

Exercici 1.16. trampa

(a) z 0 = 4

2 π 2

2 i, z 1 = 4

2 −π 2

2 i

(b) z 0 = 3π 6

i, z 1 = 3^5 π 6

i, z 2 = 3^3 π 2

= − 3 i

(c) z 0 =

2 π 6

i, z 1 =

22 π 3

i, z 2 =

27 π 6

i, z 3 =

25 π 3

i

Exercici 1.17. (^28) − 2 π 3

3 i

Exercici 1.18. z 1 · z 2 · z 3 · z 4 = 4π 3

Exercici 1.19. trampa

(a) z 0 = e

2 π 3 i; z 1 = e

− 2 π 3 i

(b) z 0 = e

π 3 i^ =

i; z 1 = eπ i^ = −1; z 2 = e

5 π 3 i^ =

i

(c) z 0 = 2e

π 2 i^ = 2 i; z 1 = 2e

3 π 2 i^ = − 2 i

(d) z 0 = 2e 0 i = 2; z 1 = 2e

π 2 i^ = 2 i; z 2 = 2eπ i^ = −2; z 3 = 2e

3 π 2 i^ = − 2 i

(e) z 0 = 2e

π 5 i; z 1 = 2e

3 π 5 i; z 2 = 2eπ i^ = −2; z 3 = 2e

7 π 5 i; z 4 = 2e

9 π 5 i

(f) z 0 = e

π 2 i; z 1 = 2e

−π 2 i

Exercici 1.20. a = 5

Exercici 1.21. trampa

z 1 =

i; z 2 = 1 +

3 i

z 1 = −

i; z 2 = 1 −

3 i

z 1 = −i; z 2 = − 2

Exercici 1.22. z =

i; z =

i

Exercici 1.23. z 1 = 3e

π 4 i; z 2 = 3e−^

π 4 i

2 Funcions de variable real. L´ımits i continu¨ıtat de

funcions

Funcions reals de variable real

Exercici 2.1. At`es que Domf = [0, +∞), qualsevol parell de punts x 1 , x 2 del domini s´on positius, per tant la implicaci´o x^21 = x^22 =⇒ x 1 = x 2 ´es certa i la funci´o ´es injectiva.

Exercici 2.2.

(a) Domf = R \ {− 1 }

(b) Domf = (−∞, −1] ∪ [− 1 , +∞)

(c) Domf = (−∞, 0]

(d) Domf = (0, +∞)

(e) Domf = [1, +∞)

(f) Domf = (−∞, 2)

Exercici 2.3.

(a) (f ◦ g)(x) =

x − 1 + 3 √ x − 1 + 1

, (g ◦ f )(x) =

2 x + 3

x + 1

(b) (f ◦ g)(x) = sinh(e 2 /x − 2), (g ◦ f )(x) = e

1 sinh(x^2 −2)

Exercici 2.4.

(a) f − 1 (x) =

x + 7

4

(b) f − 1 (x) =

x + 5

x − 2

(c) f −^1 (x) = ex^ − 1

Exercici 2.5. Domf =

[

, Imf = [0, +∞)

At`es que

2 x 1 + 1 =

2 x 2 + 1 =⇒ x 1 = x 2 , la funci´o ´es injectiva.

f − 1 (x) =

x^2 − 1

2

Exercici 2.6. Domf = [0, 1)

At`es que ln

x 1

1 −

x 1

= ln

x 2

1 −

x 2

x 1

1 −

x 1

x 2

1 −

x 2

=⇒ x 1 = x 2 , la funci´o

´es injectiva.

Exercici 2.7. Domf = R Efectivament f (−x) = f (x), ´es a dir, la funci´o t´e simetria parell i, per tant, no ´es invertible.

Exercici 2.8. Encara que restingim el domini a [0, +∞), la funci´o no ´es injectiva

ja que podem trobar punts diferents amb la mateixa imatge (per exemple, f (0) = f (2) = 2). I per tant, tampoc ´es invertible.

Exercici 2.9. Es f`´ acil comprovar que per a qualsevol parella de punts es compleix: f (x 1 ) = f (x 2 ) =⇒ x 1 = x 2 , ´es a dir, la funci´o ´es injectiva.

f − 1 (x) = ln

x +

x^2 + 1

. Dom (f −^1 ) = R.

Exercici 2.10.

(a) x = 0 (^) (b) x = e^ −^1 e + 1

(c)

(1 − e^2 )^2

4 e^2

cosh(2) − 1

2

L´ımit de funcions

Exercici 2.11. ∀ > 0 , ∃δ > 0 | 0 < |x − a| < δ

? =⇒ | 3 x + 2 − (3a + 2)| <  Nom´es cal considerar δ = /3 per veure que la implicaci´o ´es certa ja que: | 3 x+2−(3a+2)| = 3 |x − a| <  ⇐⇒ |x − a| < /3 = δ.

Exercici 2.12.

(a) 1 / 2 (b) 0

Exercici 2.13. lim x→ 2 −^

f (x) = lim x→ 2 +^

f (x) = lim x→ 2

f (x) = 0

Exercici 2.14.

(a) − 1 (b) 1 (c) 0 (d) 0

(c) lim x→

2

−

x(x^2 + 1)

x −

x −

) (^) = +∞ lim x→

2

x(x^2 + 1)

x −

x −

lim x→−

3 2

−

x(x^2 + 1)

x −

x −

) (^) = +∞ lim x→−

3 2

x(x^2 + 1)

x −

x −

Exercici 2.18.

(a) 0

(b) lim x→ 2 −

8 x

x − 2

= −∞, lim x→ 2 +

8 x

x − 2

(c) lim x→ 0 −^

e 1 /x = 0, lim x→ 0 +^

e 1 /x = +∞

Exercici 2.19.

(a) 1

(b) −∞

(c) +∞

(d) 1

(e) 0

(f) +∞

Exercici 2.20.

(a) 0 (b) 0 (c) 1

Exercici 2.21.

(a) 1

(b) 0

(c) 0

(d) e − 2

Exercici 2.22. a = ln 2

Exercici 2.23. c =

ln 2

4

Exercici 2.24.

(a) 1

(b) 1

(c) 1

(d) 1 / ln 2

(e) lim x→ 0 −^

arcsin(cos x − 1)/[ln(1 + 2x)] 3 = +∞,

lim x→ 0 +^

arcsin(cos x − 1)/[ln(1 + 2x)] 3 = −∞

(f) 1 / 2 a

Exercici 2.25. lim x→e

ln(ln x))

x − e

e

Exercici 2.26. lim x→e

1 + cos x

(x − π)^2

Exercici 2.27.

(a) 1

(b) 1 / 6

(c) @ ja que

lim x→ 0 −

1 + 3^1 /x^

= 1 6 = lim x→ 0 +

1 + 3^1 /x^

(d) 2 / 5

(e) e

(f) 1

(g) @ perqu`e la funci´o cos(1/x) en un entorn de x = 0 oscil·la entre -1 i 1.

(h) c − 1

(i) c

Exercici 2.28. Dom(f ) = (0, 1) ∪ (1, +∞). Hi ha una as´ımptota vertical en x = 1. No hi ha cap as´ımptota horitzontal. L’expressi´o de la funci´o traslladada quatre unitats a la dreta

´es f (x − 4) =

x − 6

ln(x − 4)

Exercici 2.29. At`es que lim x→−∞

sin(x)

x

= 0, la funci´o t´e una as´ımptota horitzontal en y = 0

quan x → −∞. No hi ha as´ımptota horitzontal quan x → +∞ perqu`e lim x→+∞

(x − 2)e − 1 /x =

+∞.

Funcions cont´ınues

Exercici 2.30. a = 1, b =

, c = − 1

Exercici 2.31. f (1) = 1

Exercici 2.32. k =

Exercici 2.38.

Exercici 2.39. Llevat potser del punt de canvi de definici´o (x = 2), la funci´o es pot expressar

com

f (x) = −(x − 2)(1 − u(x − 2)) + (x − 2)u(x − 2) = −(x − 2) + (2(x − 2))u(x − 2)

Exercici 2.40. La funci´o f (x) ´es cont´ınua en x = 1. Llevat potser del punt de canvi de

definici´o (x = 1), la funci´o es pot expressar com

f (x) = e

√−^1 1 −x (^) (1 − u(x − 1)) + sinh(x − 1)u(x − 1)

= e

√−^1 1 −x (^) + (sinh(x − 1) − e √−^1 1 −x (^) )u(x − 1)

Exercici 2.41.

(a) La funci´o f (t) t´e una discontinu¨ıtat de salt en t = 3 i ´es cont´ınua en t = 5.

(b) Llevat potser en t = 3 i t = 5 (punts de canvi de definici´o), la funci´o es pot expressar com

f (t) = 2t^2 (u(t) − u(t − 3)) + (t + 4)(u(t − 3) − u(t − 5)) + 9u(t − 5)

= 2t^2 u(t) + (t + 4 − 2 t^2 )u(t − 3) + (5 − t)u(t − 5)

Exercici 2.42.

(a) La funci´o f (x) t´e una discontinu¨ıtat de salt en x = −3 i ´es cont´ınua en x = 3.

(b) Llevat potser en x = ±3 (punts de canvi de definici´o), la funci´o es pot expressar com

f (x) = e

1 x− (^3) (1 − u(x + 3)) + (x + 3) cos(x − 3)

u(x + 3) − u(x − 3)

6(x − 3)

sin(x − 3)

u(x − 3) =

= e

1 x− (^3) +

(x + 3) cos(x − 3) − e

1 x− 3

u(x + 3)+

6(x − 3)

sin(x − 3)

− (x + 3) cos(x − 3)

u(x − 3)

Teorema de Bolzano

Exercici 2.43.

(a) [− 2 , −1], [0, 1], [1, 2]

(b) [− 1 , 0], [0, 1]

(c) [1, 2]

(d) [− 1 , − 1 /2], [− 1 / 2 , 1 /2], [1/ 2 , 1]

(e) [0, 1]

(f) [0, 1]

(g) [− 2 , −1], [0, 1]

(h) [1, 2]

Exercici 2.44.

(a) a = 3/ 2 − 1 /e

(b) La funci´o f (x) ´es cont´ınua a l’interval [0, 1] i pel Teorema de Bolzano es demostra l’exist`encia d’un zero en aquest interval.

Exercici 2.45. La funci´o f (x) ´es cont´ınua a l’interval [π/ 4 , 3 π/4] i pel Teorema de Bolzano es demostra l’exist`encia d’un zero en aquest interval.

Exercici 2.46. Es demostra aplicant el Teorema de Bolzano a la funci´o g(x) = f (x) − x.

Exercici 2.47. Es demostra aplicant el Teorema dels valors intermedis a la funci´o f (x) a l’interval [0, 1].

Exercici 2.48. Es demostra aplicant el Teorema de Bolzano a la funci´o g(x) = ln x−x 2 +4x.

Exercici 2.49. T ´es cont´ınua i T (x) = T (x + 360) per tot x ∈ R. Seguint la indicaci´o f (x) = T (x) − T (x + 180). Considerem f (0) i estudiem les tres possibilitats:

ˆ si f (0) = 0, aleshores T (0) = T (180) i hem acabat.

ˆ si f (0) > 0, aleshores T (0) > T (180). Tamb´e tenim f (180) = T (180) − T (360) = T (180) − T (0) < 0. Pel Teorema de Bolzano aplicat a f a l’interval [0, 180] podem assegurar que existeix c ∈ (0, 180) tal que f (c) = 0, i per tant T (c) = T (c + 180).

ˆ si f (0) < 0, aleshores T (0) < T (180). Tamb´e tenim f (180) = T (180) − T (360) = T (180)−T (0) > 0. Pel Teorema de Bolzano podem assegurar que existeix c ∈ (0, 180) tal que f (c) = 0, i per tant T (c) = T (c + 180).

Exercici 2.50.

(a) f ´es cont´ınua en l’interval [− 1 , 0] i el teorema de Weierstrass ens garanteix l’existencia de maxim i m´ınim absoluts.

(b) Tenim que {x ∈ R : |x| ≥ 1 } = (−∞, −1] ∪ [1, +∞), interval en qu`e la funci´o f (x) =

x ´es cont´ınua. Pero, ates que no ´es un interval tancat, no podem aplicar el teorema de Weierstrass.

(c) La funci´o f (x) = sin(x) ´es cont´ınua en R. Pero {x ∈ R : | 2 x − 3 π| < π} = (π, 2 π) ´es un interval obert, no podem aplicar Weierstrass per decidir sobre l’existencia de m`axim i

3 Derivaci´o de funcions d’una variable real

Derivada d’una funci´o en un punt. Funci´o derivada

Exercici 3.1.

(a) f ′(1) = lim h→ 0

f (1 + h) − f (1)

h

(b) f ′ (1) = lim h→ 0

f (1 + h) − f (1)

h

(c) f ′(5) = lim h→ 0

f (5 + h) − f (5)

h

Exercici 3.2.

(a) (0, 20), (1, 15), (− 2 , −12)

(b) (− 1 , 0), (1, 0)

(c) (2, 16) i (− 2 , 0)

(d) y = 5x − 16

(e) y = x 2 − x + 1

(f) y =

(x − 1)

Exercici 3.3.

(a) f ′ +(−3) = 0

(b) f ′ −(5) = 2

(c) f ′ −(0) = 0^6 =^ f^

′ +(0) = 1 =⇒^ @f^

′ (0)

(d) f (^) −′(2) = 1 6 = f (^) +′(2) = 2 =⇒ @f ′(2)

Exercici 3.4.

(a) f ′ −(0) =^ −∞

(b) f (^) +′(0) = +∞

(c) ∀x, f ′(x) 6 = 0

(d) x =

, y = x +

Exercici 3.5.

(a) f (^) −′(0) = 0

(b) f (^) +′(0) = 0

(c) f ′(x) = 2x sin

x

− cos

x

. @ lim x→ 0 +^

f ′ (x)

Exercici 3.6. f (x) ´es cont´ınua i derivable ∀x < 1 per ser polinomica i ∀x > 1 per ser quocient de polinomis en que no dividim per 0. Si a = 0, b = −17, f (x) cont´ınua en x = 1, per`o no derivable. Si a 6 = 0 o b 6 = −17, f (x no ´es cont´ınua en x = 1 i, per tant, no ´es derivable.

Exercici 3.7.

(a) f (x) cont´ınua i derivable en R. f ′(x) =

− 2 x x < 0 2 x x ≥ 0

(b) f (x) cont´ınua en R. Per a a ∈ Z, f− ′(a) = 2π(a − 1) 6 = f (^) +′(a) = 2πa.

(c) f (x) cont´ınua i derivable en R. f ′(x) =

− 1 x < 0 −e−x^ x ≥ 0

Exercici 3.8.

(a) f ′(0) = 1

(b) g′(0) = 0

Exercici 3.9. k = − 3

Exercici 3.10.

(a) a = 1, b = − 1

(b) f ′(2) = 11

Algebra de derivades. Regles de derivaci´^ ` o

Exercici 3.11.

(a) f ′(x) = x/

x^2 + 3

(b) f ′(x) = 3 ln 2 x/x

(c) f ′ (x) = 2x cos(x 2

(d) f ′ (x) = − sin(

x)/(

x)

(k) f ′(x) =

12 tan(x)^2 sec(x)^2 − 32 x2 ln(3)

cos(x^3 − 5 x)

(4 tan(x)^3 − 32 x)(3x^2 − 5) sin(x^3 − 5 x)

cos(x^3 − 5 x)^2

(l) f ′ (x) =

5 ln(x 4 − 5 x) 4 (4x 3 − 5)

x^4 − 5 x

(m) f ′(x) =

2 sec^2 (x)

2 + tan 2 (x)

(n) f ′ (x) =

3 b 2

x(b^2 + x)

(o) f ′ (x) = −

3 sin(x)

ex

2 −^

6 x cos(x)

ex

Exercici 3.14. (a) f ′(x) = xsinh(x)(cosh(x) ln(x) + sinh(x)/x).

(b) f ′(x) = xx(ln(x) + 1).

(c) f ′(x) = xx+1(ln(x) + (x + 1)/x).

(d) f ′(x) = 3^2

x 2 x^ ln(2) ln(3).

(e) f ′(x) = (xx(ln(x) + 1)e^2 x^ + (− ln(x) − 1)xx^ − 2 ex)/(e^2 x^ − 1).

Exercici 3.15.

(a) g′(x) = 2xf ′(x^2 ).

(b) g′(x) = f ′(x)ef^ (x)^ (1 + f (x)).

(c) g ′ (x) = f ′ (ln f (x)) ·

f ′ (x)

f (x)

(d) g′(x) = (1 + tan^2 ((f (x))^2 )) · 2 f (x)f ′(x).

(e) g ′ (x) =

2 f ′ (x)

(f (x) + 1)

(f) g′(x) =

f ′(x)ef^ (x)f (4x) − 4 f ′(4x)

ef^ (x)^ + 1

(f (4x))

Valors extrems. Optimitzaci´o

Exercici 3.16. A.V.: x = 1; A.O.: y = 3x + 3 quan x → ±∞. x = 0 m`axim relatiu, x = 2 m´ınim relatiu.

Exercici 3.17. x =

m`axim relatiu, x = −1 m´ınim relatiu.

Exercici 3.18. x = −

π

4

i x =

π

4

m´ınims absoluts; x = 0 m`axim absolut.

Exercici 3.19. x = 1 m´ınims absoluts; x = 2 m`axim absolut.

Exercici 3.20. x = −3 m`axim relatiu; x = 1 m´ınim relatiu. No hi ha extrems absoluts.

Exercici 3.21.

(a) a = −

, b = 2 i c =

(b) M´ınim absolut: x = 0; m`axim absolut: x = 4.

Exercici 3.22.

(a) Cont´ınua en l’interval [− 4 , 4].

(b) Es pot aplicar el teorema de Weierstrass at`es que f ´es cont´ınua i l’interval [− 4 , 4] ´es

tancat. Els m´ınims relatius: x = 0, x = 2; maxims relatius: x = − 3 , x = 1, x = 4. M´ınims absoluts: x = 0, x = 2 ; maxim absolut: x = −3.

Exercici 3.23.

(a) No ´es derivable en x = − 3 , x = − 1 , x = 1, x = 2

(b) M´ınims relatius: x = − 3 , x = 1; m`axims relatius: x = 0, x = 2; punt d’inflexi´o:

x = −2. M´ınim absolut: x = −3 ; m`axim absolut: x = 2.

Exercici 3.24.

(a) No ´es derivable en x = − 2 , x = − 1 , x = 3, x = 5.

(b) M´ınims relatius: x = − 1 , x = 5; m`axims relatiu: x = 2. M´ınim absolut: x = − 1 , x = 5;

m`axim absolut: x = 2.

Exercici 3.25.

(a) No ´es derivable en x = − 1 , x = 1, x = 3.

(b) M´ınims relatius: x =

; m`axims relatius: x = − 1 , x = 2. M´ınim absolut: x =

m`axim absolut: x = 2.

Exercici 3.26.

(a) No ´es derivable en x = − 3 , x = − 2 , x = 3.

(b) M´ınims relatius: x = − 2 , x = 1; m`axims relatius: x = − 3 , x = − 1 , x = 3. M´ınims

absoluts: x = − 2 , x = 1 ; m`axim absolut: x = 3.

Exercici 3.27. m = 1