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NIVEL 2
- Encontrar una ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la curva
en el punto dado. Luego use un graficador para representar las ecuaciones y compruebe los
resultados.
a) y =( 4 − x )
2
Solución:
y
'
4 − x
y
'
= 2 x − 8
Entonces a= 1 ˄ f(a)= 9
y
'
y
'
=− 6 = f ' ( a )
Ecuación de la recta tangente:
y − f ( a ) = f
'
( a ) ( x − a )
y − 9 =(− 6 ) ( x − 1 )
y =− 6 x + 6 + 9
y =− 6 x + 15
Ecuación de la recta normal:
y − f ( a ) =
f ' ( a )
( x − a )
y − 9 =
− 1 ( x − 1 )
y =
x −
y =
x +
b) y =( 2 x − 1 )
2
Solución:
y
'
= 2 ( 2 x − 1 )( 2 )
y
'
= 8 x − 4
Entonces a=1 ˄ f(a)=
y
'
y
'
= 4 = f ' ( a )
Ecuación de la recta tangente:
y − f
a
= f
'
a
x − a
y − 2 = 4 ( x − 1 )
y = 4 x − 4 + 2
y = 4 x − 2
Ecuación de la recta normal:
y − f ( a ) =
f ' ( a )
( x − a )
y − 2 =
( x − 1 )
y =
x +
y =
x +
c) y = 2
3 x − 2 , ( 2 , 4 )
Solución:
y
'
3 x − 2
y
'
3 x − 2
Entonces a= 2 ˄ f(a)= 4
y
'
√ 3
y
'
= f
'
( a )
Ecuación de la recta tangente:
y − f ( a ) = f
'
( a ) ( x − a )
y − 4 =
( x − 2 )
y =
x − 3 + 4
y =
x + 1
Ecuación de la recta normal:
y − f ( a ) =
f ' ( a )
( x − a )
y − 4 =
( x − 2 )
y =
x +
y =
x +
d) y = √
( 1 − x )
3
, x 0 =− 3
Solución:
y ' =
√
( 1 − x )
3
3 ( 1 − x )
2
y
'
− 3 ( 1 − x )
2
2 √( 1 − x )
3
Entonces a =− 3 ˄ f ( a )= ¿?
y (− 3 )=√( 1 −(− 3 ))
3
y (− 3 )= √
3
y (− 3 )= √
3
y (− 3 )= 8 = f ( a )
y =− 3 x + 2
Ecuación de la recta normal:
y − f ( a ) =
f ' ( a )
( x − a )
y − 2 =
( x − 0 )
y =
x + 2
- Si el consumo C,(en litros) de gasolina de un automóvil depende de la distancia x (en
kilómetros) que recorre y que x depende del tiempo, t en horas. Si consume 0.1 litro por
cada km que recorre y el automóvil viaja a 60km/h, ¿Qué tan rápido se consume la
gasolina?
Solución:
De los enunciados se entiende que:
C ( x )=0.1 x
x ( t )= 60 t
Pregunta: ¿Qué tan rápido se consume la gasolina?
Utilizando la regla de la cadena, el planteamiento es el
siguiente:
dC
dt
dC
dx
×
dx
dt
dC
d t
=0.1 × 6 0
d C
dt
litros
horas
Rpta: Se consume 6 litros por hora.
