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Carlos E. Zuberbühler 1850 - CABA - 4551 - 5855 [email protected]
Teoría: DERIVADA
Pendiente e incrementos
Hemos visto que la representación gráfica de la función lineal 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 en un sistema de ejes cartesianos
es una recta.
Si además el sistema cartesiano es
ortogonal y se ha adoptado la misma
unidad en ambos ejes coordenados, el
parámetro 𝑚 mide la pendiente de la
recta, es decir, la tangente trigonométrica
del ángulo 𝛼 (inclinación) que la recta
forma con el semieje positivo de las 𝑥.
Cuando del valor de 𝑥 0
pasamos a un
valor 𝑥 1
decimos que esta variable ha experimentado un incremento ∆𝑥 (se lee “delta x”):
𝑥
1
0
Correspondientemente, la ordenada ha pasado del valor 𝑦
0
al valor 𝑦
1
y el incremento ∆
𝑦
es
𝑦
1
0
Es fácil mostrar que a un incremento ∆𝑥 positivo corresponde un incremento ∆𝑦, que es positivo si es 𝑚
positivo y negativo si éste es el signo de 𝑚. En efecto, por ser
𝑦
1
0
1
0
1
0
resulta que el signo de ∆𝑦 es igual o distinto que el de ∆ 𝑥
, según que sea 𝑚 > 0 o 𝑚 < 0 , tal como lo muestran
las figuras.
Lo característico de la función lineal (es decir, de las rectas) es que la relación incremental
∆𝑦
∆𝑥
es
constantemente igual a la pendiente 𝑚, cualquiera sea el punto 𝑥.
Esto no ocurre con las otras funciones. Veamos lo que sucede con la
función cuadrática 𝑦 = 𝑥
2
0
0
2
1
1
2
1
0
1
2
0
2
1
0
1
0
1
0
El cociente incremental
∆𝑦
∆𝑥
1
0
0
medida que aumenta 𝑥 0
Como se ve en la figura, este cociente incremental, en el espacio
0
1
, es igual a la pendiente de la recta
que une los puntos correspondientes a la curva representativa de la función 𝑦 = 𝑓(𝑥).
Consideremos en particular el punto 𝑥
0
= 1. Calculemos para diversos valores de ∆𝑥 los correspondientes
valores ∆𝑦 y los cocientes incrementales.
De acuerdo a los resultados anteriores se obtiene, con 𝑥
0
Carlos E. Zuberbühler 1850 - CABA - 4551 - 5855 [email protected]
Límite del cociente incremental
Siendo la función 𝑦 = 𝑥
2
continua, a valores ∆𝑥 cada vez más pequeños corresponden valores cada vez
más pequeños de ∆𝑦. Esto significa que el cociente
∆𝑦
∆𝑥
tiende a a tomar la forma indeterminada
0
0
cuando ∆𝑥
tiende a cero. Pero a pesar de ello, el límite de este cociente es un número perfectamente determinado.
En el caso concreto antes analizado: 𝑦 = 𝑥
2
0
= 1 , parece resultar de la tabla de valores que el límite del
cociente
∆𝑦
∆𝑥
es 2.
Como para 𝑦 = 𝑥
2
ha resultado que el cociente incremental a partir de un valor 𝑥
0
es
∆𝑦
∆𝑥
0
tiene lim
∆𝑥→ 0
∆𝑦
∆𝑥
0
Para la función cuadrática 𝑦 = 𝑥
2
el límite del cociente incremental correspondiente a un punto de abscisa
0
es el doble del valor 𝑥
0
Derivada de una función en un punto
Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) una función continua en un intervalo (𝑎, 𝑏) y
sea 𝑥 0
un punto interior a ese intervalo. El punto 𝑃
correspondiente de la curva tiene una ordenada 𝑥 0
¿Cómo medir la pendiente de la curva en P? Daremos a
0
un incremento ∆𝑥, obteniendo así un punto 𝑥
1
, al cual
corresponde en la curva el punto Q de ordenada 𝑦 1
. La
ordenada ha variado, pues del valor 𝑦 0
ha pasado a otro valor
1
, que puede ser mayor (como en el caso de la figura),
menor o igual a 𝑦 0
El incremento de la función es ∆
𝑦
1
0
y la relación
incremental
∆ 𝑦
∆
𝑥
𝑦 1
−𝑦 0
𝑥
1
−𝑥
0
mide la pendiente de la recta 𝑃𝑄, es
decir, es igual a la tangente del ángulo 𝛼, que forma la secante 𝑃𝑄 con el semieje positivo de las 𝑥.
Intuitivamente se comprende que esta pendiente no puede considerarse como la pendiente de la curva en
𝑃, pues si en lugar del incremento ∆𝑥 considerado se toma otro menor, resultará una pendiente distinta (en el
caso de la figura resultará una pendiente mayor).
Por definición, llamaremos derivada de una función 𝑦 =
𝑓(𝑥) o pendiente de la curva correspondiente en punto
0
0
) al límite del cociente incremental
∆ 𝑦
∆ 𝑥
cuando ∆𝑥 →
Cuando ∆𝑥 → 0 el punto 𝑄 que tiende al punto 𝑃 y la
posición límite de la recta secante 𝑃𝑄 es la recta tangente
𝑃𝑇, que forma el semieje positivo de las 𝑥 un ángulo 𝜑.
Este ángulo 𝜑, límite de los ángulos 𝛼 que forman las
diversas secantes 𝑃𝑄 cuando ∆𝑥 → 0 , es la inclinación de
la curva en el punto 𝑃, y la tangente del ángulo 𝜑 es la
pendiente de la curva en ese punto.
La derivada se escribe con distintas notaciones:
′
′
(𝑥); [𝑓(𝑥)]
′
También se designa el incremento ∆𝑥 con la letra ℎ y el incremento ∆𝑦 con la letra 𝑘. Resulta entonces
′
= lim
∆𝑥→ 0
= lim
ℎ→ 0
= lim
ℎ→ 0
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ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE Y DE LA RECTA NORMAL
Si en la ecuación de la recta que pasa por el punto 𝑃 (𝑥 0
0
0
0
sustituimos 𝑚 por la derivada 𝑦 0
′
, de acuerdo a la interpretación geométrica de la derivada, se tendrá la
ecuación de la recta tangente en el punto 𝑃
0
0
0
′
La recta normal en 𝑃 es, por definición, la recta perpendicular a la tangente en el punto 𝑃 y, por consiguiente,
su coeficiente angular debe ser el valor recíproco cambiado de signo de 𝑦 0
′
La ecuación de la recta normal es
0
0
0
′
