derivadas teorico practico, Resúmenes de Matemáticas

¡Descarga derivadas teorico practico y más Resúmenes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

para Geología

Derivada

Ramón Omar Renfige

Noelia Melisa Velásquez

Luis Fernando Crespo

Universidad Nacional de Salta – Facultad de Ciencias Naturales – Matemática II para Geología

Derivada

Introducción

El Cálculo es la matemática de los cambios y, a partir del concepto de límite se define la derivada.

La derivada es un límite, y se emplea para obtener la pendiente de una curva, recta tangente a

una curva, tasa de crecimiento de procesos que ocurren en la naturaleza, velocidad y aceleración

de una partícula en movimiento.

Matemática I Matemática II (Cálculo)

Pendiente de una recta Pendiente de una curva (Derivada)

Recta Secante a una curva Recta tangente a una curva

Velocidad promedio entre 𝑡 = 𝑎 y 𝑡 = 𝑏 Velocidad instantánea en 𝑡 = 𝑐

Objetivos

1. Calcular derivadas aplicando la definición.
2. Explicar la interpretación geométrica de la derivada en un punto.
3. Calcular derivadas aplicando reglas de derivación y regla de la cadena
4. Derivar en forma implícita y logarítmica.
5. Determinar razones de cambio promedio e instantánea.
6. Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a una curva en un punto.
7. Aplicar la derivada para resolver problemas de cálculo de velocidad y aceleración.

Universidad Nacional de Salta – Facultad de Ciencias Naturales – Matemática II para Geología

La razón de cambio instantánea en 𝑥 0

es la pendiente de la recta tangente a la curva, en 𝑃.

ACTIVIDAD 2

Calcule la tasa de cambio instantánea y efectúe la interpretación gráfica.

a) 𝑓(𝑥) = − 0 , 25 𝑥

2

• 2 𝑥 + 2 , en 𝑥 igual a 2, 4 y 6.

b) 𝑠(𝑡) = 𝑡

3

2

• 9 𝑡, en 𝑡 igual a 0, 1 y 2 ¿Qué representa la tasa de cambio

instantánea si 𝑠(𝑡) es la posición de una partícula, donde 𝑡 se mide en segundos y 𝑠 en

metros?

Derivada de una función

La derivada de una función 𝑓, que se simboliza 𝑓′(𝑥), es la función que se obtiene al hallar el

siguiente límite, siempre que este límite exista:

′

(𝑥) = lim

ℎ→ 0

El argumento del límite se denomina cociente incremental, y además:

ℎ es el incremento de la variable independiente.

𝑓(𝑥 + ℎ) es la función incrementada.

𝑓(𝑥) es la función sin incrementar.

Otras notaciones para la derivada son:

′

𝑥

[𝑓

]

La pendiente 𝒎 𝒕

de la recta tangente a la curva, en el punto de abscisa 𝒙

𝟎

, es la derivada

evaluada en 𝑥 0

𝑡

0

Derivada – Renfige, O. - Velásquez, N. - Crespo, L.

ACTIVIDAD 3

Calcule la derivada de la función, aplicando la definición. Luego, obtenga la pendiente y ecuación

de la recta tangente en un punto donde la gráfica sea continua. Grafique.

a) 𝑓(𝑥) = 𝑥

3

2

b) 𝑓(𝑥) = 4 𝑥 − 𝑥

2

b) 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1

c) 𝑓(𝑥) =

Derivadas de funciones elementales y reglas de derivación

Las derivadas de funciones elementales y reglas de derivación se obtienen por aplicación de la

definición de derivada, y son útiles para obtener las derivadas de otras funciones. Siendo 𝑐 y 𝑛

números reales, las derivadas de funciones elementales son:

Nº Derivadas de funciones elementales Función Derivada

1 Derivada de una función constante 𝑓(𝑥) = 𝑐 𝑓′(𝑥) = 0

Derivada de la potencia de la función

identidad

𝑛

𝑛− 1

3 Derivada de la función exponencial natural 𝑓(𝑥) = 𝑒

𝑥

𝑥

4 Derivada de la función seno 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑓′(𝑥) = cos 𝑥

5 Derivada de la función coseno 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 𝑓′(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛 𝑥

6 Derivada de la función logaritmo natural 𝑓(𝑥) = ln 𝑥 𝑓′(𝑥) =

Considerando que 𝑢 y 𝑣 son funciones de 𝑥 y 𝑐 es una constante, las reglas de derivación son:

Nº Regla de derivación Función Derivada

Derivada de la suma de

funciones

′

Derivada de la resta de

funciones

′

Derivada del producto de

una constante por una

función

Derivada del producto de

funciones

′

Derivada del cociente de

funciones

′

[

)]

2

Derivada – Renfige, O. - Velásquez, N. - Crespo, L.

ACTIVIDAD 5

Derive, aplicando la regla de la cadena.

a) 𝑓(𝑥) = (𝑥

2

2

b)

𝑓(𝑥) =

2

c) 𝑔(𝑥) = 1 − 𝑒

2 𝑥

d) 𝑔(𝑥) = cos ( 2 − 𝑥

3

e) 𝑠

− 2 𝑥

− ln

) f) 𝑠

2

3

g) 𝑡(𝑥) = sin (

h) 𝑡(𝑥) = 2 ,033log ( 2 𝑥

2

Gráfica de la derivada de una función

En la siguiente figura se muestra la gráfica de la función 𝑓

3

2

• 5 𝑥 + 6 y la gráfica

de su derivada 𝑓

′

2

• En puntos de la gráfica de la función donde la pendiente de la recta tangente es positiva,

por ejemplo, el punto A, la gráfica de la derivada se encuentra sobre el eje 𝑥.

• En puntos de la gráfica de la función donde la pendiente de la recta tangente es negativa,

por ejemplo, el punto C, la gráfica de la derivada se encuentra bajo el eje 𝑥.

• En puntos de la gráfica de la función donde la pendiente de la recta tangente es cero,

por ejemplo, los puntos B y D, la gráfica de la derivada intercepta al eje 𝑥.

Universidad Nacional de Salta – Facultad de Ciencias Naturales – Matemática II para Geología

ACTIVIDAD 6

La figura 1 es la gráfica de una función 𝑓. Trace la recta tangente a la curva en los puntos

indicados, y con esa información decida cuál de las otras gráficas corresponde a la derivada. Una

vez que haya reconocido la gráfica de la derivada, utilícela para obtener la tasa de cambio

instantánea de 𝑦 respecto de 𝑥 en los puntos señalados.

Derivada de relaciones implícitas

En una relación de la forma 𝑦 = 𝑓(𝑥) la variable 𝑦 se expresa “explícitamente” en términos de

𝑥, por ejemplo, la ecuación de la parábola 𝑦= 3 𝑥

2

En una relación de la forma 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0 , la relación entre las variables 𝑥 e 𝑦 es “implícita”. Un

ejemplo es la ecuación de la circunferencia

2

2

Para derivar una relación dada en forma implícita , se derivan ambos miembros de la ecuación

respecto de la variable 𝑥 en la forma habitual. Si en algún término aparece la variable 𝑦 debe

aplicar la regla de la cadena para obtener su derivada porque 𝑦 depende de 𝑥

𝑥

𝑛

𝑛− 1

Siempre que sea posible, despeje 𝑦′.

ACTIVIDAD 7

Derive implícitamente. Tenga en cuenta que ℎ, 𝑘 y 𝑟 son constantes y que 𝑎 y 𝑏 son constantes

positivas.

a) (𝑥 − 1 )

2

2

− 9 = 0 b) 4 cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 = 1

c) 3 𝑥 − 𝑦

2

= 𝑥𝑦 d) 𝑥

2

2

e) 9 𝑥

2

2

= 144 f) sin ( 2 𝑥) + 𝑦 ln 𝑥 = 3

g) (𝑥 − ℎ)

2

2

2

h)

2

2

2

2

Universidad Nacional de Salta – Facultad de Ciencias Naturales – Matemática II para Geología

1.2. Si la pendiente de la recta tangente es cero, la recta tangente es horizontal, y tiene por

ecuación a 𝑦 = 𝑦

0

,, siendo la recta normal 𝑥 = 𝑥

0

CASO 2 : Si no existe la derivada en el punto y la función tiende a +∞ (o a −∞) cuando 𝑥 → 𝑥 0

por izquierda y por derecha, la recta tangente no tiene pendiente, la recta tangente es vertical

con ecuación 𝑥 = 𝑥 0

. La recta normal es horizontal, y su ecuación es 𝑦 = 𝑦

0

ACTIVIDAD 9

a) Determine la ecuación de la recta tangente y normal en el punto indicado.

i) 𝑓

3

− 2 𝑥 + 1 , en 𝑥 = 0

ii) 𝑓

3

• 1 , en 𝑥 = 2

iii) 𝑓

3

• 1 , en 𝑥 = 2

iV) 𝑦 =

3

, en 𝑥 = 2

v) 𝑦 = 𝑥

2

− 2 𝑥 + 1 , en 𝑥 = − 1 vi) 𝑦 = 𝑥

2

− 1 , en 𝑥 = 0

vii) 𝑦 = √

3 𝑥 + 1 , en 𝑥 = 1

b) Obtenga la ecuación de la recta tangente y normal a la elipse 𝑥

2

2

en el punto (2,1).

c) Escriba la ecuación de la elipse con centro en el punto 𝐶( 2 , 1 ), eje mayor horizontal con 6

unidades de longitud y eje menor con 4 unidades de longitud, y esboce su gráfica ¿En qué

puntos de la elipse es la recta tangente paralela a los ejes coordenados y cuáles son las

ecuaciones de la recta tangente y normal en esos puntos? Halle la ecuación de la recta

tangente y normal a la elipse en 𝑥 = 4.

Derivadas sucesivas

Si se deriva la primera derivada se obtiene la segunda derivada 𝑓′′(𝑥), que es igual al siguiente

límite, siempre que este límite exista.

′′

= lim

ℎ→ 0

′

′

Otras notaciones para la segunda derivada son

′′

2

2

2

2

𝑥

[𝑓′(𝑥)]

En general, si 𝑛 es un número entero positivo, 𝑓

(𝑛)

(𝑥) denota la 𝑛−é𝑠𝑖𝑚𝑎 derivada de la

función 𝑓, la que se calcula derivando sucesivamente la función 𝑛−𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠.

(𝑛)

= lim

ℎ→ 0

(𝑛− 1 )

(𝑛− 1 )

Derivada – Renfige, O. - Velásquez, N. - Crespo, L.

Velocidad y aceleración

Considere una partícula que se mueve en línea recta, y sea 𝑠 = 𝑠(𝑡) la posición de la partícula

en función del tiempo.

La velocidad promedio 𝒗̅ (𝒕) de la partícula, es el cociente entre el cambio de posición y el

cambio de tiempo.

La velocidad instantánea o velocidad 𝒗(𝒕) de la partícula, límite del cociente entre el cambio

de posición y el cambio de tiempo cuando el cambio de tiempo tiende a cero, es decir la derivada

de la posición respecto del tiempo.

𝑣(𝑡) = lim

𝛥𝑡→ 0

= lim

𝛥𝑡→ 0

La aceleración 𝒂(𝒕) de la partícula, es la derivada de la velocidad respecto del tiempo o la

derivada segunda de la posición respecto del tiempo.

𝑎(𝑡) = lim

𝛥𝑡→ 0

= lim

𝛥𝑡→ 0

𝑣(𝑡 + 𝛥𝑡) − v(𝑡)

′

2

2

ACTIVIDAD 10

Resuelva los problemas.

a) Desde un edificio de altura 𝑦

0

= 25 metros se lanza hacia

arriba un objeto con una velocidad inicial 𝑣

0

de 30 m/s. La

aceleración de la gravedad es 9,8 m/s

2

y la ecuación que

describe la posición y (en metros) en función del tiempo t

(en segundos) es

0

0

2

Determine la ecuación de la velocidad en el tiempo. Calcule

la velocidad del objeto a los 2 segundos y a los 4 segundos.

¿En qué momento la velocidad del objeto es igual a cero?

¿Cuál es la altura máxima alcanzada por el objeto?

Derivada – Renfige, O. - Velásquez, N. - Crespo, L.

A continuación, se muestra una tabla de valores para la tasa de porosidad, en función de la

profundidad, y su gráfica (gráfica de la derivada) ¿Por qué la gráfica se encuentra debajo del eje

coordenado horizontal? ¿Por qué la gráfica no intercepta al eje coordenado horizontal? ¿Qué

representa la ordenada al origen? ¿Qué representa el punto ( 0. 7 , − 19. 73 )? ¿Qué sucede con el

cambio de porosidad al aumentar la profundidad?

Respuesta: A 500 m de profundidad el material pierde un 29 , 43 % de porosidad, por cada

kilómetro de profundidad.

3. Tasa de contaminación por combustión

El carbón, petróleo y gas natural son combustibles fósiles, que se formaron naturalmente a

través de complejos procesos biogeoquímicos, desarrollados bajo condiciones especiales en

profundidad durante millones de años. Debido a la combustión de combustibles fósiles, la

concentración de dióxido de carbono en la atmósfera está aumentando. Las investigaciones

indican que esto se manifestará en un efecto invernadero que modificará la temperatura del

planeta. El siguiente es un modelo matemático que describe la cantidad 𝑄 (en partes por millón)

Universidad Nacional de Salta – Facultad de Ciencias Naturales – Matemática II para Geología

de CO

2

depositado en la atmósfera desde 1980 y hasta el 2040, donde 𝑡 es el tiempo (en años)

¿Cuál será la tasa de contaminación por combustión en el año 2030?

3

2

Respuesta: 3,04 ppm/año

4. Velocidad promedio e instantánea y aceleración en caída libre en la luna

La Luna carece de atmósfera y en ella, un objeto que cae no encuentra la resistencia del aire, y

de ese modo dos objetos que caen lo hacen con la misma velocidad. La altura 𝑠 (en metros), de

un objeto que cae, está dada por 𝑠(𝑡) = − 0 , 81 𝑡

2

• 2 , donde 𝑡 es el tiempo (en segundos).

a) Calcule la velocidad promedio del objeto entre 0 y 2 segundos,

b) Halle la velocidad, en función del tiempo

c) Obtenga la velocidad instantánea del objeto a los 2 segundos

d) Determine la aceleración de la gravedad en la Luna.

Respuesta: (a) Cae a una velocidad de 1.62 m/s, (b) 𝑣(𝑡) = − 1. 62 𝑡, (c) 3.24 m/s, (d) 1.62 m/s

2

5. Tasa de pérdida de porosidad de la lutita

La lutita (del latín lutum, 'lodo') es una roca sedimentaria de grano muy fino, porosa e

impermeable, porque sus poros son muy pequeños y no están bien comunicados entre ellos. La

lutita pueden ser roca madre de petróleo y gas natural.

Siendo 𝜙

0

la porosidad superficial y 𝜆 es una constante, la relación entre la porosidad (en %) y

la profundidad 𝑧 (en metros) viene dada por

0

−

𝑧

𝜆

Si la porosidad superficial de una lutita es del 60% y la distancia de desintegración es 𝜆 = 500 m,

determine la porosidad y tasa de pérdida de porosidad a los 1000 metros.

Respuesta: A 1000 metros, la porosidad es del 8.12% y pierde el 0,02 % de porosidad, por metro.

6. Velocidad de drenado de un tanque de agua

El volumen 𝑉 (en litros) de agua restante en un tanque 𝑡 minutos después de que inicia su

drenado está dado por 𝑉(𝑡) = 3000 ( 1 − 0 , 05 𝑡)

2

a) Grafique la función ¿Cuál es el dominio, en relación a la situación que se trata?

b) ¿Cuántos litros tiene inicialmente y cuánto tiempo tarda en drenarse totalmente?