Superficie y funciones de dos variables, Resúmenes de Matemáticas

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para Geología

Funciones de dos variables

Ramón Omar Renfige

Noelia Melisa Velásquez

Luis Fernando Crespo

Universidad Nacional de Salta – Facultad de Ciencias Naturales – Matemática II para Geología

Funciones de dos variables

Introducción

En Cartografía, Geodesia y Topografía se hace referencia a superficies cilíndricas, cónicas,

esféricas, elipsoide, esferoide y curvas de nivel.

La proyección cartográfica es un sistema de representación

gráfica que establece una relación entre los puntos de la

superficie de la Tierra (longitud, latitud) y los puntos (𝑥, 𝑦)

de una superficie plana o mapa.

La proyección cilíndrica proyecta el globo terrestre sobre la superficie de un cilindro y la

proyección cónica lo hace sobre la superficie de un cono tangente.

El WGS 84 es un sistema geodésico de coordenadas

geográficas usado mundialmente, que permite localizar

cualquier punto (𝑥, 𝑦, 𝑧) de la Tierra. Consiste en un

patrón matemático de tres dimensiones que representa la

tierra por medio de un elipsoide , con semieje mayor de

6.378.137 metros y semieje menor de 6.356.752,

metros.

Existen fenómenos del mundo real en los cuales una cantidad 𝑧 depende de dos variables

independientes 𝑥 e 𝑦. Por ejemplo, a cada punto de coordenadas (𝑥, 𝑦) sobre la superficie

terrestre le corresponde una única altitud 𝑧. Esta relación es una función de dos variables , que

se simboliza 𝑧 = 𝑓

. En la imagen se observa que 1352 = 𝑓(− 65. 404165 , − 24. 783462 )

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Por ejemplo, la parte del espacio tridimensional en el cual las tres coordenadas son positivas se

denomina primer octante.

Planos perpendiculares a los ejes coordenados

Los planos perpendiculares a los ejes coordenados tienen sencillas ecuaciones:

• 𝑥 = 𝑎 es la ecuación de un plano perpendicular al eje 𝑥
• 𝑦 = 𝑏 es la ecuación de un plano perpendicular al eje 𝑦
• 𝑧 = 𝑐 es la ecuación de un plano perpendicular al eje 𝑧

Los planos 𝑥 = 𝑎, 𝑦 = 𝑏 y 𝑧 = 𝑐,

perpendiculares a los ejes coordenados, se

interceptan en el punto 𝑃(𝑎, 𝑏, 𝑐).

Superficie

Una superficie es un conjunto de puntos en el espacio tridimensional de coordenadas (𝑥, 𝑦, 𝑧)

que satisfacen la ecuación:

La ecuación general de un plano , donde 𝐴, 𝐵 y 𝐶 no son simultáneamente cero, es

La ecuación de una esfera , con centro en el punto 𝐶(ℎ, 𝑘, 𝑙) y radio 𝑟 es

2

2

2

2

Funciones de dos variables – Renfige, O. - Velásquez, N. - Crespo, L.

Plano 2 𝑥 + 3 𝑦 + 6 𝑧 − 18 = 0 Esfera 𝑥

2

2

2

ACTIVIDAD 1

Grafique las superficies en el espacio tridimensional.

a) 𝑥 = 4 b) 𝑦 = 2 c) 𝑧 = 3

d) 3 𝑥 + 6 𝑦 + 4 𝑧 − 12 = 0 e) 2 𝑥 − 2 𝑦 + 2 𝑧 − 8 = 0 f) 𝑥

2

2

2

Superficies cilíndricas

Una superficie cilíndrica es generada por una recta, llamada generatriz , que se mueve en forma

perpendicular a lo largo de una curva plana, denominada directriz , contenida en uno de los

planos coordenados. La directriz puede ser una elipse, hipérbola, parábola u otra curva.

En la siguiente figura se muestra una superficie cilíndrica generada por una recta paralela al eje

𝑧, que se mueve a lo largo de una curva directriz contenida en el plano 𝑥𝑦.

La ecuación de una superficie cilíndrica , con recta generatriz paralela a uno de los ejes

coordenados, contiene las variables correspondientes a los otros dos ejes coordenados.

• Si la generatriz es paralela al eje 𝑥, la ecuación es de la forma 𝐹

• Si la generatriz es paralela al eje 𝑦, la ecuación es de la forma 𝐹

• Si la generatriz es paralela al eje 𝑧, la ecuación es de la forma 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0

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ACTIVIDAD 2

Dibuje la gráfica de las superficies cilíndricas.

a) 𝑥

2

2

− 9 = 0 b) 𝑦 − 𝑥

2

• 1 = 0 c) 𝑦

2

2

d) 4 𝑥

2

2

− 4 = 0 e) 4 𝑥 + 2 𝑦 − 8 = 0 f) 𝑥 − ln 𝑦 = 0

Superficies cuádricas

Las superficies cuádricas son generalizaciones de las cónicas elipse, hipérbola y parábola en el

espacio tridimensional. Estudiaremos el elipsoide, paraboloide elíptico y cono elíptico.

La ecuación del elipsoide , donde los números 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son positivos y determinan la longitud de

los semiejes del elipsoide, es:

2

2

2

2

2

2

• Si los tres semiejes son iguales, la gráfica es una esfera.
• Si dos semiejes son iguales, la gráfica es un esferoide.

Para esbozar la gráfica de una superficie cuádrica se emplean las trazas de la superficie sobre los

planos coordenados.

La traza de la superficie es la curva formada por la intersección de la superficie con los planos

𝑥 = 𝑘, 𝑦 = 𝑘 o 𝑧 = 𝑘, paralelos a los planos coordenados 𝑦𝑧, 𝑥𝑧, 𝑥𝑦, respectivamente. El

número 𝑘 debe elegirse adecuadamente para que el plano intercepte a la superficie.

Las trazas de la superficie sobre los planos coordenados se obtienen haciendo 𝑥 = 0 , 𝑦 = 0 y

𝑧 = 0 en la ecuación de la cuádrica.

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En la gráfica del elipsoide se observan trazas sobre los planos coordenados y plano 𝑦 = 𝑘.

• La traza 𝒚𝒛 (elipse sobre el plano coordenado 𝒚𝒛) es la intersección de la superficie con

el plano 𝑥 = 0. Se obtiene haciendo 𝑥 = 0 en la ecuación

2

2

2

2

• La traza 𝒙𝒛 (elipse sobre el plano coordenado 𝒙𝒛 ) es la intersección de la superficie con

el plano 𝑦 = 0. Se obtiene haciendo 𝑦 = 0 en la ecuación

2

2

2

2

• La traza 𝒙𝒚 (elipse sobre el plano coordenado 𝒙𝒚 ) es la intersección de la superficie con

el plano 𝑧 = 0. Se obtiene haciendo 𝑧 = 0 en la ecuación

2

2

2

2

La ecuación del paraboloide elíptico , donde los números 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son positivos, es:

2

2

2

2

Cuando 𝑎 = 𝑏, la gráfica de la cuádrica es un paraboloide circular.

En la tabla se indica el plano que intercepta al paraboloide elíptico, plano sobre el cual está la

traza, ecuación y descripción de la traza.

Plano Plano de la traza Ecuación de la traza Descripción

2

Parábola

cóncava hacia arriba

2

Parábola

Cóncava hacia arriba

2

2

2

2

Punto

Origen de coordenadas

𝑧 = 𝑘, con 𝑘 > 0 𝑧 = 𝑘

2

2

2

2

Elipse

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Funciones de dos variables

Una función de dos variables independientes, que se denota 𝑧 = 𝑓

, es una

correspondencia que asocia a cada par ordenado de números reales

para los cuales está

definida, un único número real 𝑧. Las variables 𝑥 y 𝑦 son las variables independientes y 𝑧 es la

variable dependiente.

Los siguientes son ejemplos de funciones de dos variables.

2

2

Para evaluar una función de dos variables se construye una tabla con tres columnas. En la

primera y segunda columna se utilizan para registrar valores de las variables independientes 𝑥

e 𝑦, respectivamente. En la tercera columna se anotan los valores de la variable dependiente.

La siguiente función no está definida para 𝑦 = 1 porque el denominador toma el valor cero.

En la tabla se registran algunos valores para las variables independientes y dependiente.

No definida

𝑥 1 No definida

Quedan descartados los pares ordenados (𝑥, 1 ), es decir aquellos que tienen segunda

componente igual a 1.

Dominio e imagen

El dominio 𝑫 de una función de dos variables es el conjunto formado por aquellos pares

ordenados

de números reales para los cuales la función está definida.

La imagen 𝑰 de una función de dos variables es el conjunto formado por los números reales

obtenidos para la variable dependiente 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), siendo (𝑥, 𝑦) pares ordenados del dominio.

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La siguiente función está definida para todo par

ordenado

de números reales, con 𝑦 ≠ 1.

El dominio es

El dominio es el conjunto formado por todos los

puntos del plano 𝑥𝑦, excepto los que están sobre la

recta 𝑦 = 1.

La siguiente función está definida para todo par

ordenado (𝑥, 𝑦) de números reales para los cuales el

radicando es mayor o igual que cero.

2

2

Para expresar que el radicando es mayor o igual que

cero es escribe 9 − 𝑥

2

2

≥ 0 o bien 𝑥

2

2

El dominio es

El dominio es el conjunto formado por puntos del plano del interior y borde de un círculo con

centro en el origen de coordenadas y radio 3.

Para confirmar que los puntos del dominio son los que están dentro y sobre el borde de la región

circular se utilizan puntos de prueba. Probamos con un punto que está dentro del círculo, por

ejemplo ( 0 , 0 ), y con otro que está en el borde, por ejemplo ( 3 , 0 ) y ambos verifican la

desigualdad 𝑥

2

2

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La gráfica es un casquete semiesférico con centro en el origen de coordenadas y radio 3.

El dominio de la función es

Para precisar la imagen se realiza el siguiente análisis:

• Como la raíz cuadrada está precedida de un signo positivo, 𝑧 es un número positivo.
• Para puntos del borde del círculo, que representa el dominio, 𝑧 toma el valor cero.
• Para el centro del círculo, que representa el dominio, 𝑧 toma el valor 3.

Entonces, la imagen de la función es

Curvas de nivel

Las curvas de nivel de una función de dos variables 𝑧 = 𝑓

son curvas de ecuación:

Siendo 𝑘 un número de la imagen de la función.

Las curvas de nivel son proyecciones sobre el plano 𝑥𝑦 de las curvas que resultan de la

intersección de la superficie con planos 𝑧 = 𝑘.

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A continuación, se obtienen algunas curvas de nivel de la siguiente función.

2

2

Considerando la imagen de la función, las curvas de nivel se obtienen para

Superficie Mapa de contorno

ACTIVIDAD 5

a) Asocie cada gráfica con su mapa de contorno.

𝒌 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒌 Curva de nivel Descripción

0 √ 9 − 𝑥

2

− 𝑦

2

= 0

𝑥

2

• 𝑦

2

= 9 Circunferencia con centro en origen y radio 3

1 √ 9 − 𝑥

2

− 𝑦

2

= 1

𝑥

2

• 𝑦

2

= 8 Circunferencia con centro en el origen y radio √ 8

2 √ 9 − 𝑥

2

− 𝑦

2

= 2

𝑥

2

• 𝑦

2

= 5 Circunferencia con centro en el origen y radio √

5

2, √ 9 − 𝑥

2

− 𝑦

2

= 2 , 5

𝑥

2

• 𝑦

2

= 2 , 75 Circunferencia con centro en el origen y radio √ 2 , 75

3 √ 9 − 𝑥

2

− 𝑦

2

= 3

𝑥

2

• 𝑦

2

= 0 Punto en el origen de coordenadas

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La primera derivada parcial de 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚) , respecto de 𝒚, es el siguiente límite, siempre y

cuando exista:

= lim

ℎ→ 0

Para hacer referencia a las primeras derivadas parciales también se utilizan otras notaciones:

𝑥

𝑥

𝑦

𝑦

Estas definiciones indican que:

• Para hallar 𝑧 𝑥

se considera la variable 𝑦 como una constante, y se deriva respecto a 𝑥.

• Para hallar 𝑧

𝑦

se considera la variable 𝑥 como una constante, y se deriva respecto a 𝑦.

Las primeras derivadas parciales de la función 𝑓

4

2

3

son

𝑦=𝑐𝑡𝑒

3

3

(se considera a la variable 𝑦 como una constante)

𝑥=𝑐𝑡𝑒

4

2

2

(se considera a la variable 𝑥 como una constante)

ACTIVIDAD 6

a) Obtenga las primeras derivadas parciales.

i) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2 𝑥

4

3

ii) 𝑧 = 5 𝑥

2

𝑦 iii) 𝑧 = √ 9 − 𝑥

2

2

iv)

sen 𝑥

b) La ley de los gases ideales establece que 𝑃𝑉 = 𝑛𝑅𝑇. Muestre que

Interpretación geométrica de las primeras derivadas parciales

Consideremos la superficie 𝑧 = 9 − 𝑥

2

2

. Su primera

derivada parcial, respecto de la variable 𝑦 es

𝑦

𝑥=𝑐𝑡𝑒

Que 𝑥 sea constante significa que es igual a un número. Por

ejemplo, 𝑥 = 2. Gráficamente, 𝑥 = 2 es un plano, que

intercepta a la superficie y genera una curva. Un punto de

esa curva y de la superficie es 𝑃( 2 , 1 , 4 ), y la derivada parcial

evaluada en este punto

𝑦

𝑥= 2

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La derivada parcial, evaluada en 𝑃 es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto 𝑃

o la pendiente de la superficie en 𝑃, en la dirección del eje 𝑦.

La primera derivada parcial 𝒛 𝒙

es la pendiente de la recta tangente en un punto 𝑃(𝑎, 𝑏, 𝑐) de

una curva 𝐶, que resulta de interceptar a la superficie con el plano 𝑦 = 𝑏 (Figura 1)

La primera derivada parcial 𝒛 𝒚

es la pendiente de la recta tangente en cualquier punto 𝑃(𝑎, 𝑏, 𝑐)

de una curva 𝐶, que resulta de interceptar a la superficie con el plano 𝑥 = 𝑎 (Figura 2)

Figura 1 Figura 2

ACTIVIDAD 7

Grafique la superficie y la curva sobre la cual se localiza el punto dado. Calcule la pendiente de

la superficie en la dirección de 𝑥 y en la dirección de 𝑦 en el punto dado.

a) 𝑧 = 4 − 𝑥

2

2

en ( 1 , 1 , 2 )

b) 𝑧 = − 2 𝑥 − 3 𝑦 + 6 en ( 1 , 1 , 1 )

c) 𝑧 = 𝑥

2

2

en ( 2 , 1 , 8 )

d)

2

2

en ( 3 , 1 , 1. 3 )

Segundas derivadas parciales

Las segundas derivadas parciales son 𝑧 𝑥𝑥

𝑦𝑦

𝑥𝑦

y 𝑧

𝑦𝑥

, y se obtienen derivando dos veces la

función.

• Para obtener 𝑧 𝑥𝑥

, derive dos veces respecto de 𝑥, manteniendo 𝑦 constante.

• Para obtener 𝑧 𝑦𝑦

, derive dos veces respecto de 𝑦, manteniendo 𝑥 constante.

• Para obtener 𝑧 𝑥𝑦

, derive dos veces, primero respecto de 𝑥 (𝑦 constante) y luego respecto

de 𝑦 (𝑥 constante).

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Un esferoide queda definido por la longitud de su semieje mayor 𝑎 y de su semieje menor 𝑏. El

Sistema Geodésico Mundial de Referencia (WGS84) establece para la Tierra un semieje mayor

de 6378137 metros y un semieje menor de 6356752 , 31424 metros.

A pequeñas escalas, la diferencia existente entre una esfera y un esferoide no plantea problemas

detectables en el mapa. La decisión de utilizar una esfera o un esferoide dependerá de la

finalidad del mapa y la precisión deseada en los datos. La elevación que topógrafos y

trabajadores de campo necesitan es la ortométrica (H). Para su cálculo se necesita la altura

elipsoidal (h) o elevación por encima o por debajo del elipsoide de referencia del receptor GPS

y la altura geoidal (N) o elevación localmente específica, que representa la diferencia vertical

entre el elipsoide de referencia y el geoide en esa área.

Considere distancias en kilómetros y realice las siguientes actividades.

a) Escriba las ecuaciones de las superficies que modelan la Tierra, como esfera y esferoide,

y realice las gráficas de los modelos.

b) Obtenga las ecuaciones del meridiano y paralelo que pasa por el hito del Trópico de

Capricornio, localizado en Huacalera – Jujuy (65,35147222°O, 23,43722222°S), en el

modelo esférico.

2. Cono de Arita

El Cono de Arita es una gran geoforma, casi perfecta y cónica, que se encuentra en el extremo

sur del salar de Arizaro en las coordenadas - 24.725°, - 67.673611°.

Con una elevación de, aproximadamente, 200 metros de altura sobre el nivel del salar de Arizaro

y un radio de 450 metros en la base, es considerado como un cono natural.

a) Obtenga la función de dos variables cuya grafica es un modelo del Cono de Arita y

grafíquela con GeoGebra 3D (https://www.geogebra.org/3d?lang=es-AR)

b) Indique cuál es el dominio e imagen de la función que describe al Cono de Arita.

c) Dibuje curvas de nivel cada 50 metros ¿Ha considerado alguna restricción para 𝑧?

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d) Determine, en metros cuadrados, la superficie de corte del cono con un plano paralelo

a la base y a una altura de 100 metros.

e) Obtenga el volumen de la sección cónica entre los 100 y 105 metros de altura. Este

cálculo es de interés para la planificación de explotaciones mineras.

3. Temperatura de una placa de acero

El acero es un componente más duro que el hierro,

y esto se debe a la mezcla de hierro y carbono. La

rigidez depende de la cantidad de carbono, a mayor

cantidad de carbono mayor es la rigidez.

Las placas de acero tienen variados usos en la construcción de estructuras, como por ejemplo

en las plataformas petroleras.

La temperatura 𝑇 (en grados centígrados) en un punto de una placa de acero depende de las

coordenadas de cada punto y está dada por

2

2

a) Grafique la función ¿qué obtiene?

b) ¿En qué punto la placa alcanza la máxima temperatura y cuál es esa temperatura?

c) Obtenga la temperatura en el punto de coordenadas (20,10).

d) Determine y grafique el dominio si la temperatura mínima es 0°𝐶.

e) Dibuje algunas isotermas ¿Ha considerado alguna restricción para el valor de 𝑇?

f) Determine la variación de temperatura, respecto a la distancia recorrida en la placa en

las direcciones de los ejes coordenados, en el punto (20,10) e interprételas ¿En cuál

dirección es menor esa variación?

4. Sensación térmica

La sensación térmica es importante para la supervivencia de los humanos en climas muy fríos, a

gran altitud y con velocidades elevadas del viento. A elevadas altitudes y con vientos a gran

velocidad la sensación de frio aumenta porque el viento favorece la evaporación de la humedad

de la piel y para ello necesita calor del cuerpo.

La sensación térmica 𝑇 (en ℃) depende de la temperatura 𝐴 del aire (en ℃) y de la velocidad 𝑣

del viento (en km/h) medida con un anemómetro a 10 metros de altura, es decir se trata de una

función de dos variables, de la forma 𝑇 = 𝑓(𝐴, 𝑣).