Desarrollo e Intersección de Sólidos, Apuntes de Geometría Descriptiva

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DESARROLLO E INTERSECCIÓN DE

SÓLIDOS

JORGE LUIS CALDERÓN SALCEDO

Profesor Asociado de la Universidad de Los Andes

Mérida—Venezuela

TABLA DE CONTENIDO

PRESENTACIÓN 1

DESARROLLO DE SÓLIDOS 3

DESARROLLO DE POLIEDROS RADIALES 3

DESARROLLO DE SUPERFICIES DE SIMPLE CURVATURA 9

INTERSECCIÓN DE SÓLIDOS 16

INTERSECCIÓN ENTRE UNA RECTA Y UN SÓLIDO 16

TIPOS DE INTERSECCIÓN DE SÓLIDOS 21

INTERSECCIÓN DE SÓLIDOS MEDIANTE EL MÉTODO DE PLANOS

PROYECTANTES

INTERSECCIÓN DE SÓLIDOS MEDIANTE EL MÉTODO DE PLANOS

DE SECCIÓN SENCILLA 40

Intersección de sólidos con bases coplanarias 42

Intersección de sólidos con bases no coplanarias 57

EJERCICIOS RESUELTOS 73

FUENTES 95

Evidentemente, es preciso que el lector posea una serie de conocimientos previos con un mínimo de competencia en su aplicación. Los contenidos que deben ser dominados antes de iniciar la lectura exitosa de este trabajo son los siguientes:

 Conceptos geométricos básicos en dos y tres dimensiones  Características y leyes fundamentales del Sistema Diédrico  Representación diédrica de elementos geométricos básicos: punto, recta y plano  Relaciones geométricas de paralelismo, intersección y perpendicularidad entre rectas y planos, así como su comportamiento en el Sistema Diédrico  Métodos de abatimiento, giro y cambios de plano de proyección  Representación diédrica de poliedros, conos, cilindros y esferas  Secciones planas de sólidos  Construcción de cónicas  Uso de instrumentos de dibujo técnico

Es deseo del autor que las líneas e imágenes plasmadas a continuación repercutan positivamente en su formación profesional.

Ing. M. Sc. Jorge Luis Calderón Salcedo Profesor Asociado de la Universidad de Los Andes Mérida, Venezuela, octubre de 2016

DESARROLLO DE SÓLIDOS

El desarrollo de un sólido es una operación mediante la cual se despliega su superficie sobre un plano, lo que permite su construcción física (Ranelletti, 1958).

Todos los poliedros son desarrollables, bastará con determinar el verdadero tamaño de cada una de sus caras y dibujándolas sobre un plano, de tal manera que sean adyacentes unas a otras por un lado común y en el mismo orden según el cual están dispuestas en el sólido. Si el dibujo se realiza sobre un cartón u otro tipo de material, se obtiene fácilmente el relieve del sólido, que no es sino un modelo tridimensional, practicando en cada lado común a dos caras una ligera incisión por la parte que será externa, y doblando todas las caras, de modo que tomen la misma posición relativa que tienen en la representación diédrica (Osers, 2004).

Los cuerpos redondos desarrollables son aquellos de simple curvatura (generados por una generatriz recta) en los que dos generatrices adyacentes son coplanarias, tal es el caso de los conos y cilindros.

DESARROLLO DE POLIEDROS RADIALES

Desarrollo de pirámides

Para obtener en verdadero tamaño una de las caras laterales de una pirámide, basta con determinar las longitudes de las tres aristas que la componen. Normalmente se apoya la base del poliedro sobre uno de los planos de proyección en aras de simplificar el procedimiento, pero si ella se encuentra en un plano no notable, será conveniente realizar una nueva proyección del sólido para conseguir el verdadero tamaño del polígono de base.

La determinación del verdadero tamaño de las aristas laterales de la pirámide puede realizarse cualquiera de los métodos ya conocidos, sin embargo se recomienda el uso del Giro aplicado a rectas, en vista de que todas esas aristas son convergentes en un punto (vértice del sólido). En la Fig. 1 se ha tomado un eje de giro de pié que pasa por V, convirtiendo cada una de las aristas laterales de la pirámide en segmentos frontales, cuyas proyecciones verticales se encuentran en verdadero tamaño. A continuación se dibuja una de las caras, la ABV en la figura, tomando un punto V arbitrariamente y

de Plano de proyección en la figura), para luego ser copiado haciendo coincidir uno de sus lados con el correspondiente segmento de la transformada de la sección, asegurándose de que el orden sea correcto.

Fig. 2. Desarrollo de pirámide truncada

Desarrollo de prismas rectos

El desarrollo de la superficie lateral de un prisma recto es un rectángulo, cuya altura es igual a la altura del poliedro y de base igual a al perímetro del polígono base. En la Fig. 3 se muestra el procedimiento seguido para obtener el desarrollo de un prisma recto de base apoyado en un plano proyectante horizontal. El verdadero tamaño del polígono de base ABCD se ha determinado a través de un nuevo plano de proyección. Las aristas laterales del sólido son horizontales, por lo que se encuentran en verdadero tamaño en

la proyección horizontal; es evidente que todas esas aristas laterales son iguales en longitud.

Fig. 3. Desarrollo de prisma recto

Sobre una línea arbitraria se miden a partir de un punto A los verdaderos tamaños AB, BC, CD y DA en forma sucesiva y en el mismo orden con que aparecen en la representación diédrica. A continuación se trazan perpendiculares a la mencionada línea por los puntos A, B, C y D, sobre las que se mide la altura del prisma. Finalmente se copian las bases superior e inferior (en verdadero tamaño) haciendo coincidir uno de los lados con la arista correspondiente en el desarrollo de la superficie poliédrica lateral.

La Fig. 4 muestra el desarrollo de un prisma oblicuo cuya base ABC está contenida en un plano δ. En primer lugar, se ha realizado una nueva proyección en la que cada una de las aristas laterales del poliedro aparece en verdadero tamaño, ya que en el sistema LT2 se encuentran en posición frontal. Si se construye un plano π perpendicular a las aristas laterales resulta ser proyectante vertical en el sistema LT2; los puntos de intersección entre dichas aristas y el plano π son los vértices de un polígono PQR (sección plana base de dos prismas rectos) cuyo verdadero tamaño se ha de determinar, para lo cual se genera un nuevo sistema LT3.

Para desarrollar la superficie lateral del prisma se dibuja una Línea de Desarrollo, correspondiente al perímetro de la sección plana PQR. A continuación se trazan perpendiculares a dicha línea de desarrollo por los puntos P, Q y R y sobre ellas se consignan las longitudes PA, QB y RC de un lado y las longitudes PA1, QB1 y RC1 del otro lado de la línea de desarrollo. Finalmente se copia la polígona base ABC, cuyo verdadero tamaño se ha determinado con antelación generando un nuevo sistema LT4, de forma lógica y ordenada. De igual forma se debe copiar el polígono de base superior A1B1C1, el cual es idéntico al polígono ABC.

Si el prisma es truncado el procedimiento a seguir es el mismo, con una sola diferencia: los polígonos de base inferior y de base superior son distintos, lo que hace que las aristas laterales sean de distinta longitud y que sea necesaria la determinación, por separado, del verdadero tamaño de dichos polígonos.

DESARROLLO DE SUPERFICIES DE SIMPLE CURVATURA

Desarrollo del cono de revolución recto

El desarrollo de la superficie de un cono de revolución recto es un sector circular de radio igual a la longitud l de las generatrices y de amplitud α dada a través de la expresión:

𝛼 = 360°𝑙^ 𝑥^ 𝑟

Donde r es el radio de la directriz del cono (Fig. 5).

Fig. 5. Desarrollo de cono de revolución recto

Si se trata de un cono truncado es necesario determinar la transformada de la sección plana

• generalmente elíptica – en el desarrollo. Dada la complejidad de dicha curva, es conveniente aplicar un procedimiento aproximado para resolver este tipo de problemas, el cual consiste en inscribir en el cono una pirámide de n caras laterales iguales y desarrollarla como ya se ha indicado.

Luego se realiza el desarrollo de la pirámide de base 12345678 y vértice V, trazando un arco de centro en V y radio igual al tamaño de una de las generatrices del cono no truncado. Después se consigna sobre dicho arco y a partir de uno cualquiera de sus puntos, la distancia que corresponde a una de las aristas de base de la pirámide, haciéndolo de modo sucesivo hasta lograr el perímetro de dicha base.

Es necesario restar de cada una de las aristas de la pirámide su correspondiente segmento virtual, lo que da como resultado los puntos 1’, 2’,..., 8’ en el desarrollo; estos puntos se deben unir usando una plantilla de curvas para dar lugar a la transformada de la sección elíptica. Finalmente, se copian los verdaderos tamaños de la directriz del cono (circunferencia) y de la sección producida por el plano β (elipse).

Desarrollo del cono oblicuo

De igual manera que con el cono recto truncado, en este caso es conveniente realizar un desarrollo aproximado de la superficie del sólido, inscribiendo en él una pirámide y de un número determinado de caras laterales y desarrollando ésta última. A mayor cantidad de caras laterales en la pirámide mejor será la precisión del método.

En la Fig. 7 se muestra el procedimiento seguido para desarrollar un cono oblicuo de base circular apoyada en PH y seccionado por un plano β. Se ha comenzado dividiendo la base del cono en ocho partes, comenzando por una de las generatrices contenidas en el plano perpendicular a la base que pasa por el eje (proyectante horizontal); esto se hace con la finalidad de obtener un desarrollo simétrico. La determinación de los verdaderos tamaños de cada una de las generatrices V1, V2,...., V8 – y de sus partes virtuales – se ha determinado aplicando un giro en torno a un eje de pié que pasa por el vértice V; nótese cómo gracias a la simetría se ha obtenido que V2=V8, V3=V7 y V4=V6.

En el desarrollo de la superficie cónica se ha procedido de acuerdo con el método utilizado en el caso de pirámide oblicua, construyendo las caras laterales a partir del tamaño de cada uno de sus lados y comenzando por 1V2. Seguidamente se resta a cada generatriz su parte virtual, lo que da como resultado los puntos 1’, 2’,…., 8’, los cuales deben ser unidos usando una plantilla de curvas; de igual forma se traza la curva correspondiente a la base del cono, definida por los puntos 1, 2,...., 8 en el desarrollo. Finalmente, es necesario hallar el verdadero tamaño de la sección (elíptica) producida por β para copiarla en forma lógica y coherente en el desarrollo.

Fig. 7. Desarrollo de cono oblicuo truncado

Desarrollo del cilindro de revolución recto

El desarrollo de la superficie de un cilindro de revolución recto es un rectángulo cuya altura es igual a la longitud de las generatrices (altura del cilindro) y de base igual al perímetro de la directriz (2πr).

de generatrices oblicuas, truncado por un plano β. En primer lugar se ha dividido la base en ocho partes iguales, comenzando por una de las generatrices (V1) ubicadas en un plano perpendicular a la base que pasa por el eje del sólido; luego se trazan las generatrices correspondientes que serán las aristas del prisma inscrito en el cilindro (superficie a desarrollar).

Con la finalidad de obtener el verdadero tamaño de cada una de las generatrices escogidas (recuérdese que se trata de un cilindro truncado y que su eje es oblicuo) y de facilitar el corte mediante un plano perpendicular a ellas (véase Desarrollo de Prismas Oblicuos), se ha generado un nuevo sistema LT2. La sección ABCDEFGH producida por el plano π divide al cilindro en dos sólidos rectos; es necesario determinar el verdadero tamaño de dicha sección – sistema LT3 en la figura - y copiar su perímetro a lo largo de la línea de desarrollo, lo que genera los puntos A, B,..., H por los cuales se trazan perpendiculares a aquella. Seguidamente, se consignan las distancias A1, B2,..., H8 sobre tales perpendiculares de un lado de la línea de desarrollo y las distancias A1’, B2’,..., H8’ del otro.

En vista de que la sección producida por β en el cilindro no se encuentra en verdadero tamaño en el sistema Diédrico, se ha generado un cuarto sistema de proyección LT4 en el cual el plano β es horizontal.

Es preciso realizar una observación importante relacionada con la aplicación práctica de todo lo anteriormente tratado: a la hora de diseñar objetos útiles (envases, piezas mecánicas, moldes, etc.) y de ejecutar el desarrollo correspondiente, conviene situar al objeto - a los fines de su representación diédrica – en la posición más favorable posible, es decir, con la base apoyada en el plano horizontal y con el eje paralelo al plano vertical. De esta manera, algunos de los procedimientos explicados se verían sustancialmente simplificados, lo cual se traduce en una lógica disminución del tiempo invertido en el desarrollo.

Fig. 9. Desarrollo de cilindro oblicuo truncado

 Determinar el punto de corte B entre V4 y la recta “m” (punto de salida de “m” en la pirámide).  Estudiar la visibilidad del conjunto (un punto de entrada o salida será visible sólo si la cara en la que entra o sale es visible)

Fig. 10. Intersección entre una recta y una pirámide

2. En caso de que el sólido sea un prisma, es conveniente que el plano genere una sección sencilla en el poliedro; para ello, dicho plano quedará determinado por la recta “m” y una recta “e”, la cual es paralela al eje del prisma. Ambas rectas deben ser secantes en un punto K (Fig. 11).  Construir por un punto K, perteneciente a la recta “m”, una recta “r” que sea paralela al eje del prisma. Ambas rectas definen el plano .  Determinar los puntos de intersección (1 y 2) entre las rectas “m” y “r” y el plano , base del sólido. La recta definida por estos puntos es la recta de intersección “i” entre los planos y .  Hallar los puntos de corte 3 y 4 entre la recta “i” y la base de la pirámide.

 Trazar rectas paralelas al eje del prisma por los puntos 3 y 4.  Determinar el punto de corte A entre la recta paralela al eje del sólido construida por 3 y la recta “m” (punto de entrada de “m” en el prisma).  Determinar el punto de corte B entre la recta paralela al eje del sólido construida por 4 y la recta “m” (punto de salida de “m” en el prisma).  Estudiar la visibilidad del conjunto.

Fig. 11. Intersección entre una recta y un prisma

3. Si se trata de un cono, el plano debe generar una sección sencilla en el sólido, a fin de evitar secciones cónicas; para ello, dicho plano quedará determinado por la recta “m” y el vértice V del cono (Fig. 12). El procedimiento es análogo al mostrado en el caso de pirámides.