Descomposición Vectorial y Fuerzas Resultantes, Ejercicios de Matemáticas

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Descomposición

Vectorial

DEFINICIÓN: Un vector puede ser reemplazado por dos vectores que darán como resultado el vector inicial. A estos vectores se les llama componentes rectangulares , y el método que se utiliza, se denomina descomposición vectorial. DESCOMPOSIÓN VECTORIAL:

o = F 4 3 5 𝟑 𝟓

𝐹𝑥 = 𝐹 𝑎 𝑐 𝐹𝑦 = −𝐹 𝑏 𝑐 x y o x y 𝟒 𝟓

DESCOMPOSIÓN VECTORIAL: Algunos ejercicios muestran la dirección de un vector como una relación de lados de un triángulo (abc). Se puede usar directamente esta relación de lados para descomponer al vector en sus componentes rectangulares:

Solución: Descomponer las siguientes fuerzas: x y O 4 (^53) 120 N 260 N 12 5 13 96 N

72 N

240 N

100 N

Ejemplo aplicativo 260 N 120 N x y

y )30°^ x 12 5 𝐹 2 = 52 𝑁 𝐹 1 = 32 𝑁 EJEMPLO 1 - solución 𝐹 3 = 24 𝑁 15 ° Solución: Se deben descomponer las fuerzas en sus componentes rectangulares: Descomposición de 𝑭𝟏: y x 𝐹 1 = 32 𝑁 )30° 𝐹 (^1) 𝑥 = 32 𝐶𝑜𝑠 30° 𝐹 (^1) 𝑦 = 32 𝑆𝑒𝑛 30°

y x 12 5 𝐹 2 = 52 𝑁 EJEMPLO 1 - solución 𝐹 3 = 24 𝑁 15 ° Solución: Se deben descomponer las fuerzas en sus componentes rectangulares: Descomposición de 𝑭𝟐: y x 𝐹 2 = 52 𝑁 𝐹 (^2) 𝑦 = 52 ( 12 13 ) 12 5 𝐹 (^2) 𝑥 = 52 ( 5 13 ) 𝐹 (^1) 𝑥 = 32 𝐶𝑜𝑠 30° 𝐹 (^1) 𝑦 = 32 𝑆𝑒𝑛 30°

y x Luego de que todas las fuerzas fueron descompuestas en sus componentes rectangulares, paralelas a los ejes X e Y, es necesario sumar cada componente de acuerdo al sentido del vector.

• 𝐹𝑟 𝑥

𝑥

𝑥

𝑥 𝐹 (^3) 𝑦 = 24 Cos(15°) 𝐹 (^3) 𝑥 = 24 Sen(15°) 𝐹^1 𝑥 =^32 𝐶𝑜𝑠^ 30° 𝐹 (^1) 𝑦 = 32 𝑆𝑒𝑛 30° 𝐹 (^2) 𝑦 = 52 ( 12 13 ) 𝐹 (^2) 𝑥 = 52 ( 5 13 ) 𝐹𝑟𝑥 = 32 𝐶𝑜𝑠 30° − 52 5 13 − 24 𝑆𝑒𝑛(15°) 𝑭𝒓 𝒙 = 𝟏. 𝟓𝟎 𝑵

• 𝐹𝑟 𝑦

𝑦

𝑦

𝑦 𝐹𝑟 𝑦 = 32 𝑆𝑒𝑛 30° + 52 12 13 − 24 𝐶𝑜𝑠(15°) 𝑭𝒓 𝒚 = 𝟒𝟎. 𝟖𝟐 𝑵 EJEMPLO 1 - solución

y x Sabiendo las resultantes de cada componente, se puede hallar la fuerza resultante final (𝐹𝑅) y su ángulo de inclinación (𝜃):

• 𝐹𝑅 = 𝐹𝑅 𝑥 2 + 𝐹𝑅 𝑦 2 𝐹𝑟𝑥 = 1. 50 𝑁 𝐹𝑟𝑦 = 40. 82 𝑁 𝑭𝒓𝒙 = 𝟏. 𝟓𝟎 𝑵 𝑭𝒓𝒚 =^ 𝟒𝟎.^ 𝟖𝟐^ 𝑵 𝑭𝑹 = 𝟒𝟎. 𝟖𝟓 𝑵 𝐹𝑅 = ( 1. 50 )^2 +( 40. 82 )^2 𝑭𝑹 = 𝟒𝟎. 𝟖𝟓 𝑵
• tan 𝜃 = 𝐹𝑅𝑦 𝐹𝑅𝑥 tan 𝜃 =

87.9° EJEMPLO 1 - solución

y x 𝐹𝑟 𝑥 = 4. 97 𝑁 EJEMPLO 2 - Solución Solución: Conociendo las resultantes de cada componente, podemos hallar la fuerza resultante (𝐹𝑅) 𝑭𝒓 𝒙

𝐹𝑟 𝑦 = 17. 55 𝑁 𝑭𝒓 𝒚

𝑥 2

• 𝐹𝑅 𝑦 2 = ( 4. 97 )^2 +( 17. 55 )^2 𝑭𝑹 = 𝟏𝟖. 𝟐𝟒 𝑵

• tan 𝜃 = 𝐹𝑅𝑦 𝐹𝑅𝑥

𝑭𝑹 = 𝟏𝟖. 𝟐𝟒 𝑵 74.2°

Un clavo empotrado en el techo es jalado por las fuerzas F 1 cuyo módulo es 120 N y F 2 según se muestra en el gráfico. Determine el módulo de F 2 , de tal manera que dicho clavo salga verticalmente. 𝐹 1 = 120 𝑁

EJEMPLO 3:

EJEMPLO 3 Halle el módulo y dirección del vector resultante del sistema de fuerzas mostrado. IMPORTANTE: Todos los cálculos deben efectuarse usando el sistema sexagesimal. NO usar radianes. y x 92 kgf 10 kgf 85 kgf 143 kgf 55 ° 28 ° 5 12

EJEMPLO 4 Halle el módulo y dirección del vector resultante del sistema de fuerzas mostrado. IMPORTANTE: Todos los cálculos deben efectuarse usando el sistema sexagesimal. NO usar radianes. y x 125 lb 75 lb 26 lb 40 lb 40 ° 26 ° 3 4 5 12

Material producido por la Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas Autor: Walter Vargas COPYRIGHT © UPC 2020

• Todos los derechos reservados Continúa con las actividades propuestas en la sesión (^) Modificado por: Alvaro Rubiños Montenegro