Hoja 3 - Variables aleatorias unidimensionales
1. Sean C∈ P(Ω) y f: Ω1→Ω2una aplicaci´on.
(1.a) Demostrar que: f−1(Ac) = (f−1(A))c, f−1Si∈IAi=Si∈If−1(Ai) y
f−1Ti∈IAi=Ti∈If−1(Ai).
(1.b) Demostrar que: σ(f−1(C)) = f−1(σ(C)).
2. Sea una urna con 3 bolas blancas, 2 negras y 1 verde. Se extraen 3 bolas al azar y se
considera Xdefinida como el ”n´umero de bolas blancas extra´ıdas”. Construir la funci´on
de probabilidad inducida por Xy su funci´on de distribuci´on.
3. Sea Ω el espacio muestral asociado al lanzamiento de una moneda equilibrada en tres
ocasiones, con puntos muestrales denotados por ωijk , con i, j, k ∈ {C, X }. Sea
A={∅, A1, A2, A3, A1∪A2, A1∪A3, A2∪A3, A1∪A2∪A3}
una σ-´algebra sobre P(Ω), donde A1={ωccx , ωcxc},A2= Ω −(A1∪A3) y A3={ωxxx}.
Sea X(ω) el ”n´umero de caras obtenidas en el resultado ω”. Estudiar si Xes una variable
aleatoria.
4. Sean Ω = Z+,A=P(Ω) y P({ω})=2−ωpara todo ω∈Ω. Se define X(ω) como el
”resto de ω(m´odulo k)”. Demostrar que Xes una variable aleatoria y determinar los
valores P(X=r), para r∈ {0,1, . . . , k −1}.
5. Sea f:R→R+, con R+= [0,∞), una funci´on Riemann-integrable tal que R∞
−∞ f(u)du =
1. Demostrar que F(x) = Rx
−∞ f(u)du define una funci´on de distribuci´on absolutamente
continua.
6. La duraci´on Tde las conferencias telef´onicas en una central es una variable aleatoria con
funci´on de densidad
f(t) = (αe−kt,si t > 0;
0,si t≤0.
Donde α > 0.
(6.a) Calcular αpara que fsea una funci´on de densidad.
(6.b) Si 1/k = 2 minutos, calcular la probabilidad de que una conversaci´on dure m´as de 3
minutos.
(6.c) Calcular la probabilidad de que una conversaci´on dure entre 3 y 6 minutos.
7. Sea Fla funci´on definida por
F(x) =
0,si x < 1
3;
x2α−1,si 1
3≤x<α;
1,si x≥α.
