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3. Descuento simple Se denomina así a la operación financiera que tiene por objeto la sustitución de un capital futuro por otro equivalente con vencimiento presente, mediante la aplicación de la ley financiera de descuento simple. Es una operación inversa a la de capitalización. 3.1. Características de la operación Los intereses no son productivos, lo que significa que: - A medida que se generan no se restan del capital de partida para producir (y restar) nuevos intereses en el futuro y, por tanto - Los intereses de cualquier período siempre los genera el mismo capital, al tanto de interés vigente en dicho período. En una operación de descuento el punto de partida es un capital futuro conocido (Cn) (^) cuyo vencimiento se quiere adelantar. Deberemos conocer las condiciones en las que se quiere hacer esta anticipación: duración de la operación (tiempo que se anticipa el capital futuro) y tanto de interés aplicado. El capital que resulte de la operación de descuento (capital actual o presente –C 0 –) será de cuantía menor, siendo la diferencia entre ambos capitales los intereses que el capital futuro deja de tener por anticipar su vencimiento. En definitiva, si trasladar un capital desde el presente al futuro implica añadirle intereses, hacer la operación inversa, anticipar su vencimiento, supondrá la minoración de esa misma carga financiera. Gráficamente: Elementos: N: nominal de la operación; capital final E: efectivo de la operación; capital inicial D: descuento de la operación, diferencia entre N y E d: tipo de descuento aplicado n: tiempo que dura la operación
Por tanto, el capital presente (C 0 ) es inferior al capital futuro (Cn), y la diferencia entre ambos es lo que se denomina descuento (D). Se cumple la siguiente expresión: D = Cn – C 0 Además, el descuento, propiamente dicho, no es más que una disminución (^) de intereses que experimenta un capital futuro como consecuencia de adelantar su vencimiento, por lo tanto se calcula como el interés total de un intervalo de tiempo (el que se anticipe el capital futuro). Se cumple: D = Capital x Tipo x Tiempo Y, según cuál sea el capital que se considere para el cómputo de los intereses, estaremos ante las dos modalidades de descuento que existen en la práctica:
- Descuento racional, matemático o lógico, y
- Descuento comercial o bancario. En todo caso, y cualquiera que sea la modalidad de descuento que se emplee, en este tipo de operaciones el punto de partida es un capital futuro (Cn) (conocido) que se quiere sustituir por un capital presente (C 0 ) (que habrá de calcular), para lo cual será (^) necesario el ahorro de intereses (descuento) que la operación supone. 3.2. Descuento racional El ahorro de intereses se calcula sobre el valor efectivo (C 0 ) empleando un tipo de (^) interés efectivo (i). Al ser C 0 (el capital inicial) aquel que genera los intereses en esta operación, igual que (^) ocurría en la capitalización, resulta válida la fórmula de la capitalización simple, siendo ahora la incógnita el capital inicial (C 0 ). Así pues, a partir de la capitalización simple se despeja el capital inicial, para posteriormente por diferencias determinar el descuento racional: Cn = C 0 (1 + n i)
- Cálculo del capital inicial: Cn C 0 = 1+ n.i
• Cálculo del ahorro de intereses (Dr):
Cn Dr = Cn – C 0 = Cn – -------------- , ponemos denominador común
C 0 = Cn (1 – n d)
Cn (1+ni) – Cn Cn + Cn n i - Cn Cn n i
1+ni 1 + n i 1 + n i De otra forma:
Cn Cn n i
Dr = C 0 i n = i n =
1 + n i 1 + n i
Cn n i
Dr =
1 + n i
3.3. Descuento comercial Los intereses generados en la operación se calculan sobre el nominal (Cn) empleando un tipo de descuento (d). En este caso resulta más interesante calcular primero el descuento (Dc) y posteriormente el capital inicial (C 0 ). Como el descuento es la suma de los intereses generados en cada uno de los períodos descontados (n), y en cada período tanto el capital considerado para calcular los intereses como el propio tanto se mantiene constante, resulta: Dc = Cn d + Cn d + … + Cn d = Cn n d <
n veces El capital inicial se obtiene por diferencia entre el capital final (Cn) y el descuento (Dc): C 0 = Cn – Dc = Cn – Cn n d = Cn (1 – n d) 3.4. Tanto de interés y de descuento equivalentes Si el tipo de interés (i) aplicado en el descuento racional coincide en número con el tipo de descuento (d) empleado para el descuento comercial, el resultado no sería el mismo porque estamos trabajando sobre capitales diferentes para el cómputo del cálculo de intereses; de forma que
siempre el descuento comercial será mayor al descuento^ racional^ (Dc> Dr) –como ocurre en el ejemplo-.
Comprobación: Calculando el valor actual y el descuento considerando un tipo de interés del 10% (descuento racional) y un valor nominal o capital final de 100€: C 0 = 100 (1 – 0,076923 x 3) = 76,92 € 3.5.Tantos de descuentos equivalentes “d” y “dk”. Dos tantos “d” y “dk”son equivalentes cuanto aplicados al mismo capital final o nominal, durante el mismo tiempo, producen el mismo capital inicial o valor efectivo. C 0 = Cn (1 – n. d) C 0 = Cn (1 – n. dk .k) C 0 = C 0 Cn (1 – n. d) = Cn (1 – n. dk .k) Cn = Cn (1 – n. d) = (1 – n. dk .k) despejamos y nos queda:
- n. d = - n. dk .k , multiplicamos ambos miembros por (-1) n. d = n. dk .k dividimos ambos miembros
por “n” d = dk .k y también: dk = d
K
