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TEMA 9. DETERMINANTES.
1. Conceptos previos, permutaciones
2. Definición general de determinantes
3. Determinante de matrices de orden 2 y orden 3.
3.1. Determinante matrices cuadradas de orden 2
3.2. Determinante matrices cuadradas de orden 3
4. Determinante de algunas matrices especiales
5. Propiedades de los determinantes
6. Otros métodos de calcular los determinantes. Determinante de matriz de
orden 4
6.1. Por adjuntos
6.2. Haciendo cero una fila o una columna
6.3. Determinante de Vandermonde
7. Cálculo de la matriz inversa.
8. Rango de una matriz
186 Apuntes de Matemáticas II (2ºBachillerato) para preparar el examen de la PAU (LOE)
Contexto con la P.A.U.Contexto con la P.A.U.Contexto con la P.A.U.Contexto con la P.A.U.
El cálculo de determinantes es muy importante, ya que se utilizará en el tema siguiente en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, problema que generalmente sale en una de las opciones del examen de P.A.U.
Además de la importancia relativa a su utilización en los problemas del siguiente tema, también es frecuente que en los exámenes de selectividad haya cuestiones relacionadas directamente con esta unidad, tales como:
- Cálculo de determinantes aplicando propiedades.
- Cálculo de determinantes 4x
- Calculo de inversas
- Determinar si una matriz inversible
188 Apuntes de Matemáticas II (2ºBachillerato) para preparar el examen de la PAU (LOE)
Ejemplos:
A 3 ·( 1 ) ( 1 · 9 ) 12
A=
B 1 · 4 ( 3 · 2 ) 2
| B|= = − =−
3.2. Determinante de matrices cuadradas de orden 3.
De la misma forma que en el apartado anterior veamos como calcular el determinante de las matrices cuadradas de orden 3. En este caso el número de sumas será 3!=6. Veremos una regla nemotécnica, regla de Sarros, para recordar como calcularlo.
Sea A∈M3x3(R) definido de forma genérica como A
31 32 33
21 22 23
11 12 13
a a a
a a a
a a a
. Antes de
aplicar la definición de determinante veamos las permutaciones y sus índices:
σ 123 i(σ 123 )=0 par σ 132 i(σ 132 )=1 impar σ 231 i(σ 231 )=2 par σ 213 i(σ 213 )=1 impar σ 312 i(σ 312 )=2 par σ 321 i(σ 321 )=1 par
De esta forma:
11 22 33 12 23 31 13 21 32 11 23 32 12 21 33 13 22 31
13 22 31 1 13 21 32 2 12 21 33 1
(^011223311123322122331) 31 32 33
21 22 23
11 12 13
a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a
a a a
a a a A
Regla de Sarrus : 64 7 + 48
Ejemplos:
[ 1 ·( 1 )· 4 1 ·( 2 )· 0 2 · 3 ·( 4 )] [ 0 ·( 1 )·( 4 ) 1 · 2 · 4 ( 2 )· 3 · 1 ] ( 4 0 24 ) ( 0 8 6 ) 30 4 2 4
Ejercicio 1. Calcular los siguientes determinantes
a) ( 25 ) 25 5
− (^5) =a (^2) − − =a (^2) + a
a
b) 15 ( 8 ) 23 2 5
c) (^1 ) (^1 )·(^1 )^1 (^1 )^2 (^1 ) 1 1
(^1 21) a (^2) a a a (^2) a (^2) a 2 a
a a = − − − + = − − − = −
d) [ 1 · 0 · 1 1 · 1 · 0 1 · 1 · 0 ] [ 0 · 0 · 0 1 · 1 · 1 1 · 1 · 1 ] 2 0 1 1
e) [ 1 · 3 · 5 0 · 1 · 3 ( 2 )· 4 ·( 4 )] [ ( 4 )· 3 · 3 1 · 4 · 1 0 ·( 2 )· 5 ] 79 4 1 5
f) [ ·( 1 )· 1 ·( 3 )· 3 1 ·( 1 )· 5 ] [ 3 ·( 1 )· 5 ( 3 )·( 1 )· 1 · 1 · ] 4 1 5 3
= − + − + − − − +− − + =−^2 − +
− − m m m m m m m
m
4. Determinante de algunas matrices especiales
En este apartado calcularemos de forma sencilla el valor de los determinantes de algunas matrices cuadradas especiales.
- Determinante de la matriz nula
La matriz cuadrada nula es aquella en la que todos los coeficientes son cero, se denota como 0.
A=0 aij=0 ∀i,j∈{1,2,…,n} 0 = ∑(− 1 )(^ ) 1 ( 1 )·...· ()= 0
∈ Sn n n
i (^) a a σ σ σ
σ
5. Propiedades de los determinantes
En este apartado veremos las propiedades más importantes de los determinantes, a partir de las cuales será fácil calcular el valor de los determinantes de algunas matrices. Para este apartado usaremos la siguiente notación:
A∈Mnxn(R) formado por n filas A=(F 1 ,…,Fn) con Fi fila i-ésima formado por n columnas A=(C 1 ,…,Cn) con Ci la columna i-ésima.
Ejemplo:
A A=(F 1 ,F 2 ,F 3 ); A=(C 1 ,C 2 ,C 3 ) donde
F 1 ,
F 2 ,
F 3
y C 1 =(1 2 3), C 2 =(4 5 6) y C 3 =(7 8 9)
Propiedad 1: el determinante de una matriz es igual al determinante de de la matriz transpuesta:
det(A)=det(At)
Importante: a partir de esta propiedad todas las propiedades de los determinantes que relacionen columnas seran ciertas también para las filas y al revés.
Propiedad 2: si los elementos de una fila (o columna) de una matriz se le multiplican por un número el determinante de la nueva matriz queda multiplicado por dicho número:
det(F 1 ,F 2 ,…,kFi,…,Fn)= k·det(F 1 ,F 2 ,…,Fi,…,Fn) det(C 1 ,C 2 ,…,CFi,…,Cn)= k·det(C 1 ,C 2 ,…,Ci,…,Cn)
Ejemplo:
A
B=
|B|=2·|A|
C=
|C|=-1·|A|
192 Apuntes de Matemáticas II (2ºBachillerato) para preparar el examen de la PAU (LOE)
Propiedad 3: Si a una matriz A∈Mnxn(R) la multiplicamos por un número k (B=k·A), el determinante de la nueva matriz, B, es kn^ veces el determinante de A:
det(k·A)=kn·det(A)
Demostración: a partir de la propiedad 2 es fácil de ver esta propiedad:
det(k·A)=det(k·C 1 ,k·C 2 ,…,k·Cn)=k·det(C 1 ,k·C 2 ,…,k·Cn)= k^2 ·det(C 1 ,C 2 ,…,k·Cn)=…= =kn·det(C 1 ,C 2 ,…,Cn)
Ejemplo:
A B A |B|=2^3 |A|
Propiedad 4: Si los elementos de la columna i-esima (o una fila) de una matriz cuadrada se puede descomponer como suma de columnas (o filas), su determinante será igual a la suma de los determinantes de las matrices que tienen las demás columnas (filas) iguales y la i-ésima de cada uno de ellas una de las columnas de la suma
det(F 1 ,F 2 ,…,Fi+Fi’,…,Fn)= det(F 1 ,F 2 ,…,Fi,…,Fn)+ det(F 1 ,F 2 ,…,Fi’,…,Fn) det(C 1 ,C 2 ,…,Ci+Ci’,…,Cn)= det(C 1 ,C 2 ,…,Ci,…,Cn)+ det(C 1 ,C 2 ,…,Ci’,…, Cn)
Ejemplos:
det(C 1 ,C 2 +C 2 ’,C 3 )= det(C 1 ,C 2 ,C 3 )+ det(C 1 ,C 2 ’,C 3 )
Propiedad 5: El determinante del producto de matrices cuadradas es igual al producto de los determinantes de ambas matrices.
det(A·B)=det(A)·det(B)
Ejemplo:
·^31
194 Apuntes de Matemáticas II (2ºBachillerato) para preparar el examen de la PAU (LOE)
Propiedad 9: Sea una matriz cuadrada donde los elementos de una fila (columna) son combinación lineal de las restantes filas (columnas) entonces su determinante es cero:
det(F 1 , F 2 ,…, (^) λλλλ 1 ·F 1 +λλλλ 2 ·F 2 +…+λλλλi-1·Fi-1+λλλλi+1·Fi+1+…+λλλλn·Fn, …, Fn)=
Fila i det(C 1 , C 2 ,…, (^) λλλλ 1 ·C 1 +λλλλ 2 ·C 2 +…+λλλλi-1·Ci-1+λλλλi+1·Ci+1+…+λλλλn·Cn, …, Cn)=
Columna i
Ejemplos: det(F 1 ,2F 3 +3F 1 -F 4 ,F 3 ,F 4 )=det(F 1 ,2F 3 ,F 3 ,F 4 )+ det(F 1 ,3F1,F 3 ,F 4 )+ det(F 1 ,-F 4 ,F 3 ,F 4 )= det(C 1 ,2C 4 +3C 1 -C 3 ,C 3 ,C 4 )=det(C 1 ,2C 4 ,C 3 ,C 4 )+det(C 1 ,3C 1 ,C 3 ,C 4 )+det(C 1 ,-C 3 ,C 3 ,C 4 )=
0 7 8 9
4 5 6
1 2 3
1 22
= − F +F
Propiedad 10: si en una matriz su determinante es cero, entonces una fila (columna) es combinación lineal del resto de filas (columnas).
det(A)=0 (^) Fi = (^) λλλλ 1 ·F 1 +λλλλ 2 ·F 2 +…+λλλλi-1·Fi-1+λλλλi+1·Fi+1+…+λλλλn·Fn Ci=λλλλ 1 ·C 1 +λλλλ 2 ·C 2 +…+λλλλi-1·Ci-1+λλλλi+1·Ci+1+…+λλλλn·Cn
Conclusión: de la propiedad 9 y 10 |A|=0 una fila (columna) es combinación lineal del resto
Propiedad 11: El determinante de la matriz A-1^ es 1/|A|
det(A-1)=
det( )
A
Se puede demostrar fácilmente a partir de la propiedad 5:
A·A-1=Id det(A·A-1)=det(A)·det(A-1)=det(Id)=1 det(A-1)=
det( )
A
Propiedad 12: Si a los elementos de una fila (columna) se les suma una combinación lineal de otras filas (columnas), su determinante no varía.
det(F 1 ,F 2 ,…,Fi,…,Fn)=det(F 1 ,F 2 ,…,λλλλ 1 ·F 1 +λλλλ 2 ·F 2 +…+λλλλi-1·Fi-1+Fi+ +λλλλi+1·Fi+1+…+λλλλn·Fn, …, Fn)
PP PPPPPPRRRRRRRROOOOOOOOPPPPPPPPIIIIIIIIEEEEEEEEDDDDDDDDAAAAAAAADDDDDDDDEEEEEEEESSSSSSSS DDDDDDDDEEEEEEEE LLLLLLLLOOOOOOOOSSSSSSSS DDDDDDDDEEEEEEEETTTTTTTTEEEEEEEERRRRRRRRMMMMMMMMIIIIIIIINNNNNNNNAAAAAAAANNNNNNNNTTTTTTTTEEEEEEEESSSSSSSS
P 1 : det(A)=det(At)
P 2 : det(F 1 ,F 2 ,…,kFi,…,Fn)= k·det(F 1 ,F 2 ,…,Fi,…,Fn)
det(C 1 ,C 2 ,…,kCi,…,Cn)= k·det(C 1 ,C 2 ,…,Ci,…,Cn)
P 3 : det(k·A)=kn·det(A) con A∈Mnxn
P 4 : det(F 1 ,F 2 ,…,Fi+Fi’,…,Fn)= det(F 1 ,F 2 ,…,Fi,…,Fn)+ det(F 1 ,F 2 ,…,Fi’,…,Fn)
det(C 1 ,C 2 ,…,Ci+Ci’,…,Cn)= det(C 1 ,C 2 ,…,Ci,…,Cn)+ det(C 1 ,C 2 ,…,Ci’,…,Cn)
P 5 : det(A·B)=det(A)·det(B)
P 6 : det(F 1 ,F 2 ,…,Fi, …, Fj,…,Fn)= -det(F 1 ,F 2 ,…,Fj,…, Fi,…,Fn)
P 7 : det(F 1 , F 2 ,…, 0, …, Fn)=
det(C 1 , C 2 ,…, 0, …, Cn)=
P 8 : det(F 1 ,…, Fi,…,k·Fi,…,Fn)=
det(C 1 ,…, Ci,…,k·Ci,…,Cn)=
P 9 : det(F 1 , F 2 ,…, λ 1 ·F 1 +λ 2 ·F 2 +…+λi-1·Fi-1+λi+1·Fi+1+…+λn·Fn, …, Fn)=
Fila i det(C 1 , C 2 ,…, λ 1 ·C 1 +λ 2 ·C 2 +…+λi-1·Ci-1+λi+1·Ci+1+…+λn·Cn, …, Cn)=
Columna i
P 10 : det(A)=0 Fi = λ 1 ·F 1 +λ 2 ·F 2 +…+λi-1·Fi-1+λi+1·Fi+1+…+λn·Fn
Ci=λ 1 ·C 1 +λ 2 ·C 2 +…+λi-1·Ci-1+λi+1·Ci+1+…+λn·Cn
P 11 : det(A-1)=1/det(A)
P 12 : det(F 1 ,F 2 ,…,Fi,…,Fn)=det(F 1 ,F 2 ,…,λ 1 ·F 1 +λ 2 ·F 2 +…+λi-1·Fi-1+Fi+
+λi+1·Fi+1+…+λn·Fn, …, Fn)
d) E=
|E|=|3·A|=3^4 ·|A|=
Ejercicio 4. Sea A=(F1, F2, F3, F4), cuyo determinante es det(A)=|A|=-3, calcular el valor del determinantes de las siguientes matrices:
a) B=(2F 1 , F 2 , F 3 , F 4 ) det(B)=2·det(F 1 , F 2 , F 3 , F 4 )=2·|A|=-
b) C=( -F 1 , F 2 , F 3 , 4F 4 ) det(C)=-det( F 1 , F 2 , F 3 ,4F 4 )=-4· det( F 1 , F 2 , F 3 ,F 4 ) =-
4|A|=
c) D=5·A |D|=5^4 |A|
d) E= (2F 1 , 3F 2 ,-2 F 3 , 5F 4 ) det(E)=2·det(F 1 , 3F 2 ,-2 F 3 , 5F 4 )=
=2·3·det(F 1 , F 2 ,-2 F 3 , 5F 4 )=2·3·(-2)· det(F 1 , F 2 , F 3 , 5F 4 )=
=2·3·(-2)·5det(F 1 , F 2 ,-2 F 3 , 5F 4 )=-60·|A|=
Ejercicio 5. Resolver los siguientes determinantes
a)
12 2 8 2 3
a b c c
b
a a b c c a b c
b c a b
a b c a
c a b
b c a
a b c P P F F
P 14243
b)
2 ·^1228
2 3
a b c d d
c
b a b c d b c d d
b d c c
c d b b a b c d
b d c
c d b a a b c d
a b d c
a c d b P P F F
P P 14243
c)
(^1) · 0 0 2
2 8
2
2
2 2
2
2 = = = = abc ab ab c
ac ac b
bc bc a abc ab c
ac b
bc a abc ab c
ac b
bc a P abcc
abcb
abca
P c
b
a
198 Apuntes de Matemáticas II (2ºBachillerato) para preparar el examen de la PAU (LOE)
Ejercicio 6 Demostrar a) Si A^2 =A entonces |A|=1 o |A|=
Si se cumple que A^2 =A entonces sus determinantes son iguales: |A^2 |=|A|. Por la propiedad 5 |A^2 |=|A·A|=|A|·|A|=|A|^2 |A|^2 =|A|, |A|^2 -|A|=0 |A|=0 y |A|=
b) Si A·At=Id entonces |A|=1 o |A|=
Si se cumple que A·At=Id entonces sus determinantes son iguales: |A·At|=|Id|. Por la propiedades 1 y 5 de los determinantes: |A·At|=|A|·|At|=|A|·|A|=|A|^2 |A|^2 =|Id||A|^2 = |A|=1, |A|=-
Ejercicio 7. Encuentra una respuesta razonada a las siguientes cuestiones:
a) En un determinante realizamos una cierta permutación de filas o columnas ¿qué podemos decir del nuevo determinante? Si en un determinante el número de permutaciones es par, entonces el determinante no cambia de valor. Si el número de permutaciones es impar, entonces el determinante cambia de signo.
b) Se sabe que det(A)=5 y A∈M 2 ¿cuánto vale det(3A)?
Por la propiedad 3 como A∈M2x2(R) entonces |3·A|=3^2 |A|=
c) Si A y B son inversas, y |A|=3. ¿cuánto vale |B|?
Si B=A-1^ por la propiedad 11 |B|=1/|A|=1/
Ejercicio 8. Se sabe que |A|=㘩
㘩 㐄 5. Calcular
a) | | 5 1 1 1
2 ·^1
3 2 = 32 = =A=
a b c a b c a b c
b)
8
4 8
A
a b c a b c
a b c
a b c
a b c
a b c
a b c
a b c
a b c
a b c
a b c
a b c
a b c
a b c
P
P P
200 Apuntes de Matemáticas II (2ºBachillerato) para preparar el examen de la PAU (LOE)
2
2
c c
bc ba b
a a de (1) a=1 y de (3) c=1, sustituyendo en (2) b+b-2b=0
cierto ∀ b (^)
1 b A |A|=
Septiembre 2008 Prueba A C-1.- Sea A una matriz 3x3 de columnas C 1 , C 2 , C 3 (en ese orden). Sea B la matriz
de columnas C 1 +C 2 , 2· C 1 + 3·C 3 , C 2 (en ese orden). Calcular el determinante de B en
función del de A.
|B|=det(C 1 +C 2 , 2· C 1 + 3·C 3 , C 2 )=det(C 1 , 2· C 1 + 3·C 3 , C 2 )+det(C 2 , 2· C 1 + 3·C 3 , C 2 )= 2·det(C 1 ,C 1 ,C 2 )+3·det(C 1 ,C 3 ,C 2 )+2·det(C 2 ,C 1 ,C 2 )+3·det(C 2 ,C 3 ,C 2 )=0+3·det(C 1 ,C 3 ,C 2 )+ +0=-(-1)^2 ·3det(C 1 ,C 2 ,C 3 )=3·|A|
6. Métodos de cálculo del determinante. Determinante de orden 4.
Si queremos calcular el valor del determinante de una matriz A∈M4x4(R) por la definición tenemos 4!=24 productos y casi seguro que nos equivocaremos. Tendremos que buscar algún otro método para calcular su valor. Para eso podemos aplicar las propiedades vistas en el apartado anterior.
6.1 Por adjuntos
Para calcular el determinante de una matriz un método es el de los adjuntos. El método
consiste en tomar una fila (o columna), y multiplicar cada elemento de la fila (columna)
por su adjunto, que es determinante que se obtiene eliminando la fila y columna de
dicho coeficiente, multiplicado por -1 si es un elemento impar (fila+columna=nº impar)
Para ver como calcularlo veámoslo con un ejemplo, que desarrollaremos por la primera columna y la segunda fila:
6.2 Haciendo ceros una fila o columna
Podemos utilizar la propiedad 12 y hacer que en una fila o una columna todos los elementos menos uno (pivote) sean nulos. Desarrollando los determinantes por adjuntos sólo contribuye el del pivote, ya que el resto quedan multiplicados por 0.
Para matizar esté método veamos un ejemplo, calculando el determinante de la misma matriz del ejemplo del apartado 6.1. Vamos a utilizar como pivote el elemento a 11 , ya que vale la unidad (que simplifica los cálculos) y haremos cero todos los demás elementos de la primera columna.
3 2
2
1 2
4 1
3 1
2
1
F F
F
F F
F F
F F
F
F
Ejercicio 9: calcular |A| por alguno de los dos métodos anteriores
^
A
Calculándolo |A|=-
6.3. Determinante de Vandermonde
Se llama matriz de Vandermonde a toda matriz de la siguiente forma
A=
1 −^1 2 −^1 −^1
1 2
...
n n n n
n
x x x
x x x
Para este tipo de matrices se cumple |A|=(xn-x 1 )·(xn-x 2 )…(xn-xn-1)·…·(x 2 -x 1 )
Ejemplo:
2 2 2
x y z
A x y z ^ |A|=(z-x)·(z-y)·(y-x)
7. Cálculo de la Matriz Inversa
Mediante la definición de determinante y la matriz adjunta se puede calcular de forma sencilla la matriz inversa, en especial la inversa de la matrices 3x3.
Proposición: Una matriz se dice regular, es decir, tiene inversa si su determinante no es cero. En caso contrario la matriz es singular:
|A|≠ 0 regular ∃ A- |A|=0 singular ∃/ A-
Para calcular de la matriz inversa, usaremos A=
como ejemplo:
Calculamos el determinante |A|=
Trasponemos A At=
- Adjunta de la transpuesta: (At)ad=
− − − −
−
−− − −
− − −
0 0
1 1 0 1
1 2 0 1
1 2
1 3
1 1 1 4
1 2 3 4
1 2
1 3
0 0 1 4
0 1 3 4
0 1
=
4) Matriz inversa es ( )
−
− − = = 1 1 0
10 2 4
3 1 0 4 ( )^1 | |
(^1 1) At ad A A
Veamos un ejemplo de una matriz 2x2 A= (^)
1) |A|=
At^10
- ( ) (^)
At ad^24
− = ^ − 0 1
2 4 2 A^11
204 Apuntes de Matemáticas II (2ºBachillerato) para preparar el examen de la PAU (LOE)
Ejercicio 11. Calcular la inversa de las siguientes matrices
a) (^)
A^1 2 A^1
b) (^)
A A
d)
A A^1
e)
A A^1
Ejercicio 12. Calcular la x que hace singular la matriz
a) 2 16 12 0 10 1 1
=^2 + − =
x x x
x x x^2 +8x-6=0 x 1 =-4+ 22 , x 2 =-4- 22
b) 9 6 73 0 1 4
=−^2 + + =
− (^) x x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x 1 = + , (^3)
x 2 = −
