Determinants
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En este documento se definen determinantes de matrices cuadradas y se presentan las reglas de sarrus y la regla de cramer para calcularlos. Además, se estudian propiedades importantes como la suma de filas o columnas, la intercambio de filas o columnas y la multiplicación por escalares. Se demuestra que una matriz cuadradas es regular si y solo si su determinante es diferente de cero.
Tipo: Ejercicios
2017/2018
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Determinants
Determinants.
Definirem, utilitzant el m`etode d’inducci´o, el determinant d’una matriu
quadrada com el nombre seg¨uent:
∣ (^) a
∣ (^) = a
a b
c d
= ad − bc
a 11 · · · a 1 n
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
an 1 · · · ann
= a 11 A 11 + · · · + an 1 An 1
cada terme Aij s’anomena l’adjunt del terme aij , i ´es (−1)
i+j vegades el
determinant de la matriu que resulta de suprimir la fila i i la columna j de
la matriu inicial.
Regla de Sarrus: ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
Podem pensar (i per a algunes consideracions ´es molt convenient) el
determinant com una suma de n termes on cadascun d’ells ´es el producte
de n elements de la matriu, situats en files i columnes diferents.
Propietats:
Si una fila o columna ´es la suma de dues files o columnes, llavors ´es
determinant ´es la suma dels respectius determinants.
a 11 + a
′ 11 ·^ ·^ ·^ a^1 n
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
an 1 + a
′ n 1 ·^ ·^ ·^ ann
a 11 · · · a 1 n
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
an 1 · · · ann
a
′ 11 ·^ ·^ ·^ a^1 n
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
a
′ n 1 ·^ ·^ ·^ ann
Si una matriu t´e dues files iguals (o columnes iguals) llavors el seu
determinant ´es 0.
Es pot provar per inducci´o....
x 1 · · · xn
· · · · ·
· · · · ·
x 1 · · · xn
· · · · ·
x 1 · · · xn
· · · · ·
· · · · ·
y 1 · · · yn
· · · · ·
y 1 · · · yn
· · · · ·
· · · · ·
x 1 · · · xn
· · · · ·
y 1 · · · yn
· · · · ·
· · · · ·
y 1 · · · yn
· · · · ·
Els determinants primer i ´ultim s´on zero, per la propietat anterior, i per
tant els altres dos s´on iguals i canviats de signe.
Si multipliquem una fila, o columna, per k el determinant tamb´e
queda multiplicat per k.
Idea de la demostraci´o: ´es conseq¨u`encia del fet que apareix un
element de cada fila, o columna , en els productes que sumats ens
donen el determinant.
Si a una fila o columna se li suma una altra fila o columna
multiplicada per un escalar, llavors el determinant no varia.
´Es conseq¨u`encia de les propietats anteriors.
Una matriu quadrada ´es regular si i nom´es si el seu determinant ´es
6 = 0.
Demostraci´o: Primer s’observa que
detEij = − 1 , detEi (k) = k detEij (k) = 1.
De les propietats anteriors es veu que si E ´es elemental
detEA = detE · detA.
Si A ´es regular sabem que A = E 1 · · · Ek (cada Ei elemental).
En conseq¨u`encia
detA = detE 1 · · · detEk 6 = 0.
De les propietats anteriors es veu que si E ´es elemental
detEA = detE · detA.
Si A ´es regular sabem que A = E 1 · · · Ek (cada Ei elemental).
En conseq¨u`encia
detA = detE 1 · · · detEk 6 = 0.
Si A no ´es regular, la seva forma de Hermite t´e una fila de zeros, per tant
detA = 0.
Matriu inversa:
Si designem per A
∗ la matriu formada pels adjunts de la matriu A,
observem (?):
AA
∗t = detA · I
Per tant,
A
− 1
detA
A
∗t .