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Determinantes
Determinantes de matrices cuadradas. El determinante de una matriz cuadrada se puede definir recursivamente mediante desarrollos por columnas o por filas. Sea A = (aij ) una matriz n × n, donde i es el ´ındice de la fila y j es el ´ındice de la columna. Notamos por Aij la matriz (n − 1) × (n − 1) que se obtiene al quitar la fila i y la columna j de la matriz A. Entonces
Desarrollo por la fila i: det A = |A| =
∑n j=1(−1)
i+j (^) aij det(Aij ). Desarrollo por la columna j: det A = |A| =
∑n i=1(−1)
i+j (^) a ij det(Aij ). Aplicando repetidamente estas f´ormulas, vamos reduciende el orden de las determinantes hasta llegar a determinantes de ´ordenes uno, dos o tres que se pueden calcular usando las reglas de Sarrus:
|a 11 | = a 11 ∣ ∣ ∣ ∣
a 11 a 12 a 21 a 22
∣ =^ a^11 a^22 −^ a^12 a^21 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
= a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 21 a 32 a 13 − a 13 a 22 a 31 − a 23 a 32 a 11 − a 21 a 12 a 33.
El valor del determinante no depende de las filas o columnas escogidas. La dificultad del c´alculo probablemente s´ı. Las principales propiedades de los determinantes de matrices cuadradas son las siguientes.
- Si una columna es cero, el determinante es cero.
- Si hay dos columnas iguales, el determinante es cero.
- Si las columnas son ld, el determinante es cero.
- El determinante cambia de signo al permutar dos columnas.
- El determinante no cambia si a una columna se le suma una cl de las restantes.
- El determinante es lineal respecto a cada columna: det(... , ci + c′ i,.. .) = det(... , ci,.. .) + det(... , c′ i,.. .). det(... , λci,.. .) = λ det(... , ci,.. .).
- Las filas tambi´en cumplen las anteriores propiedades.
- det(λA) = λn^ det(A).
- El determinante del producto es igual al producto de determinantes: det(AB) = det A · det B.
- Una matriz A es invertible si y solo si det A 6 = 0. Adem´as, det(A−^1 ) = (det A)−^1.
- Una matriz y su transpuesta tienen el mismo determinante: det(A>) = det A.
- El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos diagonales.
- El determinante de una matriz triangular por bloques es igual al producto de los determinantes de los bloques diagonales.
Ejercicio. Comprobad mediante ejemplos que det(A + B) 6 = det A + det B y det(λA) 6 = λ det A.
Ejercicio. Probar que det(Ak) = (det A)k^ si k ∈ N. Si A es invertible, la f´ormula tambi´en se cumple cuando k ∈ Z.
El m´etodo de Gauss para calcular determinantes. No es una buena idea aplicar la definici´on para calcular determinantes de matrices grandes. Es mejor convertir la matriz inicial en una matriz triangular mediante una cadena de operaciones del siguiente tipo:
Sumarle a una columna (o fila) un cl de las restantes.
Estas operaciones no modifican el valor del determinante. Es importante recordar que si permutamos dos columnas (o filas) o multiplicamos una columna (o fila) por un n´umero el valor del determinante si se modifica.
Problemas relacionados. 1, 2, 4 y 9.
1
2 Depositado en http://www.ma1.upc.edu/∼rafael/al/determinantes.pdf
El determinante de Vandermonde. Dados n + 1 n´umeros x 0 ,... , xn, se cumple que
V (x 0 ,... , xn) =
1 x 0 (x 0 )^2 · · · (x 0 )n 1 x 1 (x 1 )^2 · · · (x 1 )n .. .
1 xn− 1 (xn− 1 )^2 · · · (xn− 1 )n 1 xn (xn)^2 · · · (xn)n
0 ≤i<j≤n
(xj − xi).
N´otese que V (x 0 ,... , xn) 6 = 0 cuando los n´umeros x 0 , x 1 ,... , xn son diferentes entre s´ı.
Un m´etodo para calcular rangos. Los menores de orden r de una matriz (cuadrada o no) son aquellas matrices r × r que se obtienen tachando una cantidad adecuada de filas y columnas de la matriz inicial. Por ejemplo, una matriz 3 × 4 tiene: cuatro menores de orden 3, dieciocho menores de orden 2 y doce menores de orden uno. El rango de un matriz es igual al mayor orden de los menores cuyo determinante es diferente de cero. Si hay alg´un menor de orden r y determinante no nulo, entonces el rango es mayor o igual que r. Cuando todos los menores de orden r tienen determinante cero, el rango es menor que r.
Ejercicio. ¿Cuantos menores de orden r tiene una matriz n × m? Respuesta:
(n r
)(m r
El m´etodo de Cramer para resolver sistemas. Si A es una matriz n × n invertible y b un vector de n componentes, entonces el sistema lineal cl´asico Ax = b siempre es compatible determinado y su soluci´on se puede expresar mediante la regla de Cramer
xi =
det Ai det A i = 1, 2 ,... , n
donde Ai es la matriz que se obtiene al substituir la columna i de la matriz A por la columna b. Si la matriz A es grande, la regla de Cramer es peligrosa.
Problema relacionado. 7.
Un m´etodo para invertir matrices. Si A es una matriz invertible, det A 6 = 0 y
A−^1 =
det A
(Adj A)>,
donde Adj A es la matriz adjunta de A. La matriz adjunta se calcula as´ı:
Adj A = (αij ) αij = (−1)i+j^ det Aij.
Ejercicio. Probar la f´ormula anterior sabiendo que si xj es la columna j de la inversa de A y ej es el vector j de la base can´onica, entonces Axj = ej , j = 1,... , n. (Indicaci´on: Cramer.)
Problema relacionado. 6.
El determinante de n vectores. Sea E un ev de dimensi´on n y U = (u 1 ,... , un) una de sus bases. Sean v 1 ,... , vn ∈ E tales que vj =
∑n i=1 aij^ ui. Sea^ A^ = (aij^ ). Es decir, la columna^ j^ de la matriz^ A es igual a las coordenadas del vector vj en la base U. Entonces
det (^) U (v 1 ,... , vn) := det A.
El valor del determinante depende de la base escogida, pero los vectores v 1 ,... , vn son ld si y s´olo si su determinante (en cualquier base) es cero.
Problema relacionado. 5.
El determinante de un endomorfismo. Sea E un ev de dimensi´on finita y f : E → E un endomorfismo. Sea A la matriz de f en una base U de E, es decir, A = M (^) UU (f ). Entonces
det f := det A.
El valor del determinante no depende de la base escogida y f es biyectiva si y s´olo si det f 6 = 0.
Problema relacionado. 8.
