¡Descarga Detivada direccional y más Diapositivas en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Ingeniería
SEAMANA 2
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Definición: sea u un subconjunto de
n cuyas imágenes son números reales definidas como
n f u →
( x 1^ ,^ x 2^ ,^ x 3^ ,....,^ xn^ ) →^ f^ ( x 1^ ,^ x 2^ ,^ x 3^ ,...., xn^ )=^ z
La función f se llama una función de valor real de dos variables si hay dos variables
independientes, una función de valor real de tres variables si hay tres variables independientes, y
así sucesivamente.
Como las funciones de una variable, funciones de varias variables se pueden
representar en forma numérica (por medio de una tabla de valores), en forma algebraica (por
medio de una formula), y en forma gráfica (por medio de una gráfica).
Funciones de interacción
Si añadimos a una función lineal una o más terminas de la forma bxixj (b constante), obtenemos
una función de interacción de la segunda orden.
Funciones de distancia
La distancia en el plano del punto (x, y) al punto (a, b) se puede expresar como una función de
los dos variables x y y:
d ( x , y ) = [( x - a )
2
2 ]
1/ .
(Caso especial de la forma más arriba) La distancia en el plano del punto (x, y) al origen se
expresa por
d ( x , y ) = [ x^2 + y^2 ]1/2.
La distancia en espacio tridimensional del punto (x, y, z) al punto (a, b, c) se expresa por
d ( x , y , z ) = [( x - a )^2 + ( y - b )^2 + ( z - c )^2 ]1/2.
La gráfica de la función f de dos variables es el conjunto de todos puntos (x, y, f(x, y)) en
espacio tridimensional, donde restringimos los valores de (x, y) a estar en el dominio de f. En
otras palabras, la gráfica es el conjunto de todos puntos (x, y, z) tal que z = f(x, y).
X f (X)
f
. (^) -
Ingeniería
1. Ejemplo: La función ( )
2 2 (^) f x y , = x + y , calcular ( ) ( )
2 2 f 2, − 1 + f 3 , 2
Solución
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 f 2, − 1 + f 3 , 2 = 2 ^2 + − 1 ^ + f 9, 2 = 2 ^2 + − 1 + 9 + 2 = 2 5 + 85
( ) ( )
2 2 f 2, − 1 + f 3 , 2 = 95
2. Ejemplo: La función ( , (^) )
x y f x y x y
, calcular
( )
( )
f
f
Solución
( )
( )
f
f
3. Ejemplo: En 1928 Charles Coob y Paul Douglas publicaron un estudio en el cual modelaban
el crecimiento de la economía estadounidense durante el periodo 1899-1922, la producción está
determinada por la cantidad de la mano de obra relacionada y la cantidad de capital invertido la
cual está dada por ( )
0.75 ( 1 0.75) P L K , 1.01 L. K
−
Donde P (el valor de todos los bienes que se producen en un año)
L (La cantidad de horas – hombre trabajadas en un año )
K Es la cantidad de material invertido (el valor monetario de toda la maquinaria,
equipo y edificios)
Calcular la producción para 176 horas- hombre con 208 millones de dólares de inversión.
Solución
Z
Y
X
Ingeniería
Cómo se halla el dominio de una relación, cuando la (x) queda en el denominador al despejar
(y). R: Si al despejar (y) en una expresión (en una relación), encontramos que la (x) hace
parte del denominador de una fracción, entonces para determinar el dominio de dicha
relación hay que hacer que el denominador sea diferente de cero y se despeja la (x).
MÉTODO PARA HALLAR EL RANGO
Para encontrar el Rango de una relación en los reales, despejamos (x), analizamos el
comportamiento de (y) y hacemos un análisis similar al que hicimos para encontrar el dominio.
5. Ejemplo: Sea la relación R = {(x, y) / 3x
2
2 = 12}, para ésta hallar el dominio y rango.
Con sólo observar la ecuación diga ¿qué clase de relación real representa? ¿Por qué?
Solución
R: Representa una elipse. Porque los coeficientes de x
2 y de y
2 son positivos y diferentes.
Hallar el dominio.
2 2 2 2 2 12-3^ 12- 4 =12-3 y = = 4 4
x x y x → → y
Vemos que la (x) hace parte de un radical par
2 2 12 3 12 3 0 4 4
− x − x
Solucionamos una desigualdad cuadrática
2 (^12 3 ) 0 12 3 0 4
x x
( )
2 3 4 − x 0
2 4 − x 0
2 x − 4 0
( x^ −^2 )(^ x +^2 )^ ^0
DR = − 2, 2
Hallar el rango. R
2 2 2 2 2 2 2 12 4 12 4 3 4 12 3 12 4
3 3
y y x y x y x x
− −
La "y" hace parte de un radical par. Por lo tanto:
− (^22)
_
Ingeniería
2 2 12 4 12 4 0 3 3
− y − y
2 (^12 4 ) 0 12 4 0
3
y y
− −
( )
2 4 3 − y 0
2 3 − y 0
( )( )
2 y − 3 0 y + 3 y − 3 0
= ^ − 3 , 3 R R
Ejercicios para el aula : Hallar el dominio
1.- ( )
2 2 f x y , = 1 − x − y
2.- f (^) ( x y , (^) )= x + y + xy
3.- ( )
f x y , x y
4.- ( ) ( )
2 f x y , = 1 + − x − y
5.- ( )
2 f x y , = xy − yx
6.- f (^) ( x y , (^) ) = ln( x + y )
7.- ( )
2 2 f x y , = 1 − x + 1 − y ,
8.- ( , (^) )
x y f x y x y
9 .- f (^) ( x y , (^) ) = ln( x + y )
10 .- ( )
2 2 f x y , = x − 4 + 4 − y
− (^33)
_
Ingeniería
2. Ejemplo: Graficar algunas de las curvas de nivel de la función f (^) ( x y , (^) )= 6 − 3 x − 2 y
Solución
f (^) ( x y , (^) ) = 6 − 3 x − 2 y = k
6 − 3 x − 2 y = k para k 0 , describe una familia de rectas
6 3 3 3 2 2 2
k x k x y
− − = = − −
Ingeniería
3. Ejemplo: Consideremos la función z = x^2 + y^2_._ Tomando k > 0, la curva de nivel
correspondiente a z = k es la circunferencia x^2 + y^2 = k y tomando k = 0 la curva de nivel
corresponde a la descrita por los puntos ( x, y ) tales que x^2 + y^2 = 0 (que corresponde
únicamente al punto (0, 0))
Ingeniería
Ejercicios para el aula: Trace las curvas de nivel para las siguientes funciones
1.- ( )
2 2 f x y , = 1 − x − y
2.- f (^) ( x y , (^) )= x + y + 1
3.- ( )
2 2 f x y , = 2 x + 3 y
4.- f (^) ( x y , (^) )= 1 − 5 x + 4 y
5.- ( )
2 f x y , = x − y
6.- ( )
2 2 f x y , = x + y
2 f x y , = 8 − x − 2 y ,
8.- ( )
2 f x y , = x + y
9 .- f (^) ( x y , (^) )= x − 3 y − 8
10 .- ( )
2 2 f x y , = 4 − x − y
Ingeniería
PROBLEMA:
Una plancha delgada de metal, situada en el plano
XY, está a una temperatura T (^) ( x y , )en el plano
( x y^ , )^.^ Las^ curvas^ de^ nivel^ de^ T^ se^ llaman
ISOTERMAS porque la temperatura es igual en
todos los puntos de la isoterma. Trace algunas
isotermas si la función de temperatura esta
definida por ( )
2 2 T x y , = x + y
PROBLEMA:
La curvas de nivel de Inglaterra esta dado por la función esta
definida por ( )
2 2 T x y , = 9 − x − y
PROBLEMA:
La temperatura corporal de una persona esta
expresada por T (^) ( x y , ), situada en el plano XY.
Trace algunas isotermas si la función de
temperatura esta definida por ( )
2 2 T x y , = x − y
Ingeniería
2 = 2 x + 2 xy − 5
NOTACIÓN PARA LAS DERIVADAS PARCIALES
DERIVADA PARCIAL DE " f "CON RESPECTO A "^ x " DERIVADA PARCIAL DE " f "CON RESPECTO A" y "
fx ( x y , ) f (^) y ( x y , )
D f 1 (^) ( x y , ) D f 2 (^) ( x y , )
df (^) ( x y , )
dx
df (^) ( x y , )
dy
z
x
z
y
zx y z
fx y f
DEFINICIÓN INFORMAL
Las derivadas parciales con respecto a una variable “x” se efectúan en forma normal como si estas
fueran de una variable considerando al resto de variables como constantes.
2. Ejemplo: Hallar las derivadas parciales de ( )
3 2 f x y , = 2 x y + xy
Solución:
2 2 fx = 6 x y + y
3 f (^) y = 2 x + 2 xy
3. Ejemplo: Hallar las derivadas parciales de f ( x y , ) = ln ( xy + 1 )
Solución:
( 1 )
x
y f xy ( 1 )
y
x f xy
4. Ejemplo: Hallar las derivadas parciales de ( ) ( )
2 f x y , = tg x y + 4 y + 1
Solución:
( )
( )
2
2 2
sec 4 1.
x =^ +^ +
d x y y
f x y y dx
( )
2 2 fx = sec x y + 4 y +1 .(2 xy )
( )
2 2 = (2 ).sec + 4 + 1 x
f xy x y y
Ingeniería
( )
( )
2 2 2
sec 4 1.
y =^ +^ +
d x y y
f x y y dy
( )
2 2 2 f (^) y = sec x y + 4 y + 1 .( x +4)
( )
2 2 2 f (^) y = ( x + 4)sec x y + 4 y + 1
Ejercicios para el aula: Calcular las derivadas parciales de
1.-( )
2 x y sen x
2.- xy − y
2 2 x + y − 4 x + 2 y 4.-
12 x y + y x + 200
9
2 2
6 xy
x + y
( )
2 2 ( ) 2
ln
ctg x y
xy
( )
2
4 2
ln x y
x + x
x y e y + e x
( ) ( )
3
sen 2 x cos 2 x tgy
x y
(^2 2 )
xy
x y e
( )
2
2 2
( x y )
sen x y
1 2.-ln
x y
x y
13.- 2 x + 3 y + sen xy ( + (^20) ) 14 .-
2
4 2 4
x y arcsen x y
2
2 2
5 x y x ln y
x y
2 sec( x + 3 y )
17.- cos (^) ( xy ) (^) + sen (^) ( ln x ) 18.-
( ) ( )
2 2
4 2
x y xy x x y
x y
19.- 2 x + xy + 3 y 20.-
2 3
2 2
xy x
x y
DERIVADAS DIRECCIONALES
Se llaman derivadas direccional de la función z = f (^) ( x y , )en un punto P x y ( , )en el
sentido del vector v^ = P X. el siguiente límite si existe y es finito:
( ) ( ) lim
.
→
−
= X P
dz^ f^ x^ f^ P
v (^) P X
Para calcular este límite se toma el vector unitario de la dirección del vector v
(dividiéndolo por su módulo). Llamamos t a la longitud del vector P X. , es decir,
Ingeniería
2 2
max
x y
dz
grad z z z
v
Si la función es de tres variables u = f(x, y, z) el gradiente se define de forma análoga:
df df df grad f f dx dy dz
Ejemplos explicativos
1. Ejemplo: Calcula, aplicando la definición, la derivada direccional de la función
2 2 f x y , = x + 3 xy en el punto P(1,2) en la dirección que apunta hacia el origen.
Solución:
• Derivadas parciales de f ( x y , )
2 fx = 2 x + 3 y f^ y =^6 xy
2 2
fx 1, 2 = 2 x + 3 y = 2 1 + 3 2 = 14 ( 1,2 ) 6 6 1( )( ) 2 12
y
f = xy = =
• Gradiente grad z = = z ( 14,12)
- Derivada direccional en la dirección PO ,
Construcción del vector unitario v = PO = (^) ( 0,0 (^) ) − (^) ( 1, 2 (^) ) = −( 1, − (^2) )
( ) ( )
2 2 v = − 1 + − 2 = 5 luego el vector unitario^ es
v u
v
Operando y simplificando obtenemos:
u
D f
−^ −^ −^ −^ −^ −^ −
2. Ejemplo: Calcula, aplicando la definición, la derivada direccional de la función
2 2 f x y , = 2 x + y en el punto P(1,- 1 ) en la dirección que apunta hacia el R(1,0).
Solución:
• Derivadas parciales de f ( x y , )
f (^) x = 4 x f (^) y = 2 y
fx ( 1, − 1 ) = 4 x = 4 1( ) = 4 f y ( 1, − 1 ) = 2 y = 2 ( − 1 ) = − 2
• Gradiente grad z = = z ( 4, − 2 )
- Derivada direccional en la dirección PR ,
Construcción de l vector unitario v = PR = (^) ( 1,0 ) − (^) ( 1, − (^1) ) =( 0,1)
( ) ( )
2 2
v = 0 + 1 = 1 luego el vector unitario^ es ( 0,1)
v u
v
Ingeniería
Operando y simplificando obtenemos:
- ( 4, 2. 0,1) ( ) (^) ( ) ( )4. 0 (^) ( 2. 1) ( ) 2 u
D f = − = + − = −
3. Ejemplo: Calcula, usando las derivadas parciales, la derivada direccional de la función
( )
2 2 f x y , = x + y en el punto P(1,1) en el sentido del vector que forma un ángulo de 60º con el
sentido positivo del eje OX.
Solución:
- Derivadas parciales de f ( x y , )
f (^) x = 2 x f (^) y = 2 y
fx ( 1,1) = 2 x = 2 1( ) = 2 f (^) y ( 1,1 ) = 2 y = 2 1( ) = 2
- Gradiente grad z = = z ( 2,2)
- Derivada direccional,
Construcción de l vector unitario
( )
cos 60º , 60º , 2 2
u sen
Operando y simplificando obtenemos:
( ) ( ) ( )
u
D f
^
4. Ejemplo: Calcula la derivada direccional de la función f (^) ( x y z , , (^) )= xyz en el punto P(1,0, - 1)
en el sentido del vector v = i + j + k.
Solución:
- Derivadas parciales de f (^) ( x y z , , )
fx = yz f (^) y = xz f (^) z = xy
fx (^) ( 1,0, − (^1) ) = (^) ( )( 0 − (^1) ) = 0 f (^) y ( 1,0, − (^1) ) = (^) ( )( 1 − (^1) ) = − 1 f (^) y ( 1,0, − (^1) ) = (^) ( )( ) 1 0 = 0
- Gradiente grad z = = z (^) ( 0, −1,0)
- Derivada direccional,
Construcción de l vector unitario v = + i j + k =( 1,1,1)
( ) ( ) ( )
2 2 2 v = 1 + 1 + 1 = 3 luego el vector unitario es
v u
v
Operando y simplificando obtenemos:
u
D f
Ingeniería
2 f x y , = 2 xy + 5 y en el punto P(-1,-2) en la dirección que apunta hacia el M(6,5)
4.- ( )
x f x y x y
en el punto P(1,0) en la dirección que apunta hacia el L(1,-1)
5.- ( )
4
xy
f x y = e + y en el punto P(1,1) en la dirección que apunta hacia el G(3,4)
6.- (^ ,^ )
x xy ^ f^ x y^ =^ e^ − e en el punto P(1,-3) en la dirección que apunta hacia el J(-1,-3)
7.- f (^) ( x y , (^) )= xy + 5 y en el punto P(-2,2) en la dirección que apunta hacia el T(0,-7)
8.- ( )
3 3
f x y , = x − y en el punto P(-1,2) en la dirección que apunta hacia el R(1,-3)
9.- (^) f ( x y , ) = ln x − 4 xy en el punto P(1,-1) en la dirección que apunta hacia el E(0,3)
10.- f (^) ( x y , (^) ) = arcsen x ( + 2 xy ) en el punto P(-1,-9) en la dirección que apunta hacia el W(1,1)
11.- ( )
2 (^) f x y , = xy en el punto P(-1,1) en el sentido del vector que forma un ángulo de 60º con
el sentido positivo del eje OX.
1 2.- ( )
2 2 f x y , = x + y en el punto P(-2,3) en el sentido del vector que forma un ángulo de 60º
con el sentido positivo del eje OX.
- Para una placa se sabe que la temperatura en
grados Celsius viene dada por
( )
2 t x y , = 10 − 4 x − xy midiendo " x " e " y "en
centímetros. Desde el punto P (2, 3 ) se quiere
saber:
a) ¿En que dirección crece la temperatura más
rápidamente?
b) ¿A que ritmo se produce este crecimiento?
Ingeniería
- Un grupo de persona solicita 4 placas en la cual su
temperatura en grados Celsius sobre la cual esta puede
calentarse viene dada por ( )
2 2 , 60 8 3
xy t x y = + x − y + e
midiendo " x " e (^) " y "en centímetros. Desde el punto P
( 1 ,- 1 ) se quiere saber:
a) ¿En que dirección crece la temperatura más
rápidamente?
b) ¿A que ritmo se produce este crecimiento?
