Derivada direccional - gradiente , Diapositivas de Ingeniería Industrial

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Departamento de Ciencias

CÁLCULO DE VARIAS VARIABLES

SESIÓN 3 : Derivada Direccional - Gradiente

INTRODUCCIÓN Derivada Direccional y Vector gradiente Suponiendo que la superficie de la montaña está modelada por 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦. ¿Qué dirección debe tomar el esquiador si quiere bajar la montaña lo más rápido posible?

LOGRO DE SESIÓN Al término de la sesión; el estudiante elabora soluciones de problemas de aplicación de las derivadas direccionales y gradiente; utilizando sus definiciones y propiedades, desarrollando habilidades para interpretar los resultados obtenidos, con coherencia.

CONTENIDOS

1. Derivada direccional. Definición y teorema 2. Vector gradiente. 3. Propiedades del vector gradiente. 4. Aplicaciones del gradiente

Derivada Direccional

• Definición: La derivada direccional de la función de varias variables 𝑓 en el punto 𝑃 en la dirección del vector unitario 𝒖 es:
• Si la función 𝑓 tiene dos variables, el punto 𝑃 es 𝑃(𝑥 0 , 𝑦 0 ) y el vector unitario es 𝒖 = (𝑎, 𝑏),
• Además, observe que, para los vectores unitarios 𝒊 = ( 1 , 0 ) y 𝒋 = ( 0 , 1 ): 𝐷𝒖𝑓(𝑃) = limℎ→ 0

𝐷𝒖𝑓(𝑃) = limℎ→ 0 𝑓(𝑥 0 + ℎ𝑎, 𝑦 0 + ℎ𝑏) − 𝑓(𝑥 0 , 𝑦 0 ) ℎ 𝐷𝒊𝑓 𝑃 = 𝑓𝑥 𝑃 y 𝐷𝒋𝑓(𝑃) = 𝑓𝑦(𝑃)

Derivada Direccional 𝐷𝒖𝑓(𝑃) = 𝑓𝑥(𝑃)𝑎 + 𝑓𝑦(𝑃)𝑏 ➢ Teorema: Si 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) es función diferenciable de 𝑥 y de 𝑦, entonces 𝑓 tiene derivada direccional en un punto 𝑃(𝑥 0

0 ) ,en la dirección de cualquier vector unitario 𝒖 = (𝑎, 𝑏) y se tiene que: Observación: Tanto la definición como el teorema anterior se puede extender a una función de 3 o más variables. Ejemplo: Calcule la derivada direccional de 𝑓 𝑥, 𝑦 = 1 − 𝑥 2

• 2 𝑦 2 en el punto P( 1 ,- 1 ) y en la dirección del vector: v = ( 3 , 4 ):  Hallando las derivadas parciales de 𝒇 y evaluando en ( 1 ,- 1 ) 𝑓𝑥 = − 2 𝑥 → 𝑓𝑥 1 , − 1 = − 2 𝑓𝑦 = 4 𝑦 → 𝑓𝑦( 1 , − 1 ) = − 4  Hallando las componentes del vector unitario u 𝒗 = 32 + 42 = 5 → 𝒖 = 1 𝒗 𝒗 = 1 5 3 , 4 = 3 5 , 4 5 𝑹𝒑𝒕𝒂. 𝐷𝒖𝑓 1 , − 1 = − 2 3 5
• − 4 4 5 = − 𝟐𝟐 𝟓

Vector Gradiente ∇𝑓(𝑃) = 𝜕𝑓 𝜕𝑥 1 (𝑃), 𝜕𝑓 𝜕𝑥 2 (𝑃),..... , 𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑛 (𝑃) ∇𝑓(𝑃) = 𝜕𝑓 𝜕𝑥 (𝑃), 𝜕𝑓 𝜕𝑦 (𝑃) ∇𝑓(𝑃) = 𝜕𝑓 𝜕𝑥 (𝑃), 𝜕𝑓 𝜕𝑦 (𝑃), 𝜕𝑓 𝜕𝑧 (𝑃) ➢ Sea 𝑓 función de varias variables cuyas derivadas parciales existen. El gradiente de 𝑓, denotado por ∇𝑓, es la función vectorial definida por: Para una función de dos variables definida por 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦): Para una función de tres variables definida por 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧):

Relación entre la Derivada Direccional y el Vector Gradiente 𝐷 𝒖 𝑓(𝑃) = ∇𝑓(𝑃). 𝒖 Ejemplo. Sea 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2

• 𝑦 2 Hallar 𝐷𝒖𝑓( 2 , 2 ) en la dirección de P (2, 2 ) a Q (3, 2 )

APLICACIÓN TECNOLÓGICA https://www.geogebra.org/m/evdjg46x

TRABAJO EN EQUIPO Instrucciones

1. Ingrese a la sala de grupos reducidos asignada.
2. Desarrolle las actividades asignadas
3. Presente su desarrollo en el Padlet del curso.

REFERENCIAS ▪ Zill, D. y Wright, W. ( 2011 ). Cálculo: trascendentes tempranas. McGraw-Hill Interamericana. ▪ Stewart, J. ( 2008 ). Cálculo de varias variables: Trascendentes tempranas. Cengage Learning. ▪ Larson, R. ( 2010 ). Cálculo 2. McGraw Hill.

GRACIAS