Lista de ejercicios 4.1
Cálculo II - MA263
Tema: Derivada direccional. Vector gradiente
Logro de la sesión: Al finalizar la sesión, el estudiante, calcula e interpreta la derivada direccional en un
punto en la dirección de un vector dado.
1. Determine la derivada direccional de la función 𝑓, definida por 𝑓(𝑥; 𝑦)= 𝑥3− 3𝑥𝑦 + 4𝑦2 en el punto
(1; 2) en la dirección del vector 𝐯 = 3𝐢 + 2𝐣, ¿qué representa 𝐷𝐮𝑓(1; 2) ?
2. Determine la derivada direccional de la función 𝑓, definida por 𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧)=𝑥𝑒𝑧ln(𝑦) en el punto
P(1; 1; 0) en la dirección hacia el punto Q(3; 0; 2).
3. Calcule la máxima razón de cambio de 𝑓, definida por 𝑓(𝑥; 𝑦)= 9 − 𝑥 2− 𝑦2 en el punto P(1; −1) y la
dirección en la que ocurre.
4. En la figura 1 se muestra una ilustración 3D de un paisaje de montaña. Supongamos que la altura 𝐻
de la montaña está dada por 𝐻(𝑥; 𝑦)= −𝑥4− 2𝑦4− 8𝑥𝑦 + 5𝑥 + 4 donde 𝐻 se mide en ciento de
metros sobre el nivel del mar, y 𝑥, 𝑦 medidos en cientos de metros. Si un alpinista después de un
breve descanso en la posición 𝑃(1; 0; 8) continua su ascenso.
a. ¿Cuál es la dirección en el plano 𝑥𝑦 que corresponde a la ruta más empinada de ascenso a la
montaña en el punto (1; 0)?
b. ¿Cuál es la dirección en el plano 𝑥𝑦 que corresponde a la ruta más empinada de descenso a la
montaña en el punto (1; 0)?
c. ¿Cuál es la razón de ascenso máximo?
Figura 1. Paisaje de montaña