¡Descarga Diagonalización de Matrices: Propiedades y Cálculo de Valores y Vectores Propios y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Cap´ıtulo 7
Diagonalizaci´on
7.1 Proceso de diagonalizaci´on
La mayor´ıa de los c´alculos que podemos efectuar con matrices cuadradas se simplifican extraordinariamente si las matrices con las que trabajamos son diagonales. As´ı por ejemplo tenemos:
a 1 a 2
.. . an
b 1 b 2
.. . bn
a 1 · b 1 a 2 · b 2
.. . an · bn
a 1 a 2
.. . an
= a 1 · a 2 · · · · · an.
a 1 a 2
.. . an
− 1
a− 11 a− 21
.. . a−^1
a 1 a 2
.. . an
k
ak 1 ak 2
.. . akn
Ser´a interesante, por tanto, disponer de m´etodos que permitan obtener formas diagonales para una matriz cualquiera. De especial importancia es el c´alculo de potencias de una matriz cuadrada. Ya hemos visto ejemplos de c´omo estas potencias intervienen en fen´omenos iterativos que dependen de una matriz de transici´on. En estos casos, los conceptos que vamos a introducir permitir´an explicar adem´as distintos aspectos de este tipo de fen´omenos relacionados con la existencia de ciertos estados de estabilidad. Finalmente introduciremos t´ecnicas que permiten estudiar la tendencia para iteraciones futuras en modelos con potencias matriciales.
En primer lugar estableceremos lo que entendemos por diagonalizar una matriz. Puesto que, dada una matriz A cualquiera, pretendemos efectuar sobre ella las operaciones matriciales que hemos enumerado, dicho
proceso de diagonalizaci´on debe permitir transformar A en una matriz diagonal D,
︸︷︷︸^ A
Matriz cualquiera
diagonalizaci´on
︸︷︷︸D
Matriz diagonal
de manera que podamos recuperar para A las operaciones que de forma m´as sencilla realicemos sobre D. Veamos pues la definici´on que damos para diagonalizaci´on.
Definici´on 1. Dada A ∈ Mn, decimos que es una matriz diagonalizable si existe C ∈ Mn regular tal que la matriz D = C−^1 · A · C
es una matriz diagonal. En tal caso diremos que la matriz C diagonaliza a la matriz A y la llamaremos matriz de paso.
Hemos de ver ahora que esta definici´on efectivamente nos permite realizar operaciones sobre la diagona- lizaci´on D que luego podremos aprovechar para la matriz A. En primer lugar, para el determinante tenemos que |D| = |C−^1 · A · C| = |C−^1 | · |A| · |C| = |C|−^1 · |A| · |C| = |A|
y por tanto el determinante de D y A coinciden. Adem´as
D = C−^1 · A · C ⇒ A = C · D · C−^1
y entonces A^2 = (C·D · C−^1 ) · (C · D · C−^1 ) = C · D^2 · C−^1 , A^3 = A^2 · A = (C · D^2 · C−^1 ) · (C · D · C−^1 ) = C · D^3 · C−^1 , A^4 = A^3 · A = (C · D^3 · C−^1 ) · (C · D · C−^1 ) = C · D^4 · C−^1
pudi´endose repetir este proceso indefinidamente. En resumen, hemos demostrado as´ı la siguiente:
Propiedades 2. Sea A ∈ Mn una matriz diagonalizable tal que
D = C−^1 · A · C,
donde C, D ∈ Mn, siendo D una matriz diagonal y C una matriz regular. Entonces:
i) |A| = |D|.
ii) An^ = C · Dn^ · C−^1 , n ∈ N. En particular, si A es regular esta propiedad es tambi´en v´alida para n ∈ Z, n < 0.
Dada una matriz A ∈ Mn×n, para diagonalizarla hemos de encontrar la matriz de paso C y la diagona- lizaci´on D. Para ello realizaremos las siguientes consideraciones:
- Supondremos que los vectores columna de la matriz de paso C son v 1 ,... , vn ∈ Rn, es decir,
C = (v 1 |v 2 |... |vn),
y que
D =
λ 1 λ 2
.. . λn
- La matriz C debe tener inversa y por tanto
det(C) = 0 ⇔ {v 1 , v 2 ,... , vn} es base de Rn.
Los clientes Los clientes Los clientes de A de B de C Pasan a ser clientes de A 80% 10% 10% Pasan a ser clientes de B 10% 60% 20% Pasan a ser clientes de C 10% 30% 70%
Llamemos An, Bn y Cn a la cantidad de clientes en A, B y C respectivamente en el a˜no n y agrupemos estos tres datos en el vector de distribuci´on de clientes para el a˜no k,
Pk =
Ak Bk Ck
Vimos entonces que si conoc´ıamos los datos del a˜no inicial, P 0 , pod´ıamos calcular los de cualquier a˜no mediante la ecuaci´on matricial Pk = AkP 0 ,
donde
A =
es la matriz de transici´on obtenida a partir de los datos de la tabla de anterior.
Nos preguntamos si ser´a posible encontrar una distribuci´on de los clientes entre las tres empresas que sea estable. Podemos entender la estabilidad en dos sentidos:
- Podr´ıamos intentar que el n´umero de clientes en cada empresa fuera el mismo de un a˜no para el siguiente. Por ejemplo ese ser´ıa el caso si las tres empresas se pusieran de acuerdo para distribuirse la cuota de mercado de forma fija para todos los a˜nos. Entonces, si P 0 es el distribuci´on en el a˜no inicial, lo que pretendemos es que pasado un a˜no, la distribuci´on siga siendo P 0. Sabemos que la distribuci´on del a˜no siguiente se calcula mediante AP 0 por tanto queremos que
AP 0 = P 0.
En otras palabra, necesitamos que P 0 sea un vector propio de A para el valor propio λ = 1 (AP 0 = 1·P 0 ). Entonces es evidente que por a˜nadidura tendremos Pk = AkP 0 = P 0 y la distribuci´on de clientes permanecer´ıa id´entica a lo largo de todos los a˜nos.
- Otra alternativa ser´ıa conseguir que, aunque las cantidades de clientes en cada empresa no sean exac- tamente las mismas de un a˜no para otro, al menos guarden las mismas proporciones que otros a˜nos (es decir, si, por ejemplo, un a˜no hay un 20% del total en A, que el a˜no siguiente la cantidad en A represente tambi´en un 20%). Por la Propiedad 26 sabemos que dos vectores u y v representan los mismos porcentajes si u = λv para alg´un n´umero λ ∈ R. Entonces, si queremos que los porcentajes al a˜no siguiente sean los mismo que los indicados por el vector P 0 del a˜no inicial tendremos que exigir
AP 0 = λP 0 ,
para alg´un λ ∈ R. O, lo que es lo mismo, necesitamos que P 0 sea un vector propio de A asociado al valor propio λ.
Si nos atenemos a la primera interpretaci´on de estabilidad debemos buscar un vector P 0 = (A 0 , B 0 , C 0 ) tal que
AP 0 = P 0 ⇒
A 0
B 0
C 0
A 0
B 0
C 0
Pero la ´ultima expresi´on es en realidad un sistema lineal en forma matricial. Escribamos las ecuaciones del sistema: (^) ⎧ ⎨ ⎩
0. 8 A 0 + 0. 1 B 0 + 0. 1 C 0 = A 0
0. 1 A 0 + 0. 6 B 0 + 0. 2 C 0 = B 0
0. 1 A 0 + 0. 3 B 0 + 0. 7 C 0 = C 0
⇒ H ≡
(0. 8 − 1)A 0 + 0. 1 B 0 + 0. 1 C 0 = 0
0. 1 A 0 + (0. 6 − 1)B 0 + 0. 2 C 0 = 0
0. 1 A 0 + 0. 3 B 0 + (0. 7 − 1)C 0 = 0
Hemos considerado el subespacio vectorial H que contiene todas las soluciones del sistema que, por otra parte, son los vectores para los que AP 0 = P 0 o, lo que es lo mismo, los vectores propios de A asociados al valor propio 1. Resolviendo el sistema tenemos que ⎧ ⎨ ⎩
A 0 = 6α B 0 = 5α C 0 = 7α
o tambi´en (A 0 , B 0 , C 0 ) = (6α, 5 α, 7 α),
de donde deducimos que H = 〈(6, 5 , 7)〉.
Todos los vectores de H son soluciones v´alidas si queremos distribuciones de clientes id´enticas en todos los a˜nos. Por ejemplo, (6, 5 , 7), (12, 10 , 14) y (18, 15 , 21) son todos ellos elementos de H y soluciones del sistema y efectivamente tenemos que ⎛ ⎝
Los vectores de H son de la forma α(6, 5 , 7) y por tanto representan siempre el mismo vector de porcentajes
porcentajes de α(6, 5 , 7) =
De esta forma, para tener loss mismos clientes en cada empresa todos los a˜nos, debemos situar un 33.3% de la poblaci´on total en el asentamiento A, un 27.7% en B y un 38.8% en C.
En cuanto a la estabilidad en el segundo sentido, nos encontramos con el problema de que no sabemos cu´al es el valor adecuado para λ y no podemos resolver el sistema desconociendo ese dato. Necesitamos un m´etodo para determinar los valores propios λ de la matriz. Una vez calculados, sus vectores propios se obtendr´a f´acilmente mediante un sistema tal y como hemos hecho aqu´ı para el caso λ = 1.
Para comprobar si λ es un valor propio de A hemos de encontrar un vector, v ∈ Rn^ no nulo, tal que A · v = λv. Ahora bien, A · v = λv ⇔ A · v − λv = 0 ⇔ A · v − λIn · v = 0 ⇔ (A − λIn) · v = 0,
luego, equivalentemente, el vector v tiene que verificar la ecuaci´on (A−λIn)·v = 0. Por lo tanto, si llamamos A = A − λIn, lo que habremos de encontrar es un vector no nulo v = (x 1 , x 2 ,... , xn) ∈ Rn^ tal que
A ·
x 1 x 2 .. . xn
Esta ´ultima expresi´on constituye un sistema homog´eneo de n ecuaciones con n inc´ognitas expresado matri- cialmente y con matriz de coeficientes A = A − λIn. Los sistemas homog´eneos siempre tienen al menos una soluci´on, la soluci´on nula (0, 0 ,... , 0) ∈ Rn, y lo que pretendemos es encontrar una soluci´on no nula de tal sistema homog´eneo. Para ello ser´a necesario que el sistema tenga alguna soluci´on distinta de la soluci´on nula y que por lo tanto tenga m´as de una soluci´on, es decir, que sea indeterminado, lo cual depende de si su matriz de coeficientes, A, es regular o no. Por todo ello tenemos que
λ es valor propio de A ⇔ ∃ v ∈ Rn, v = 0, tal que A · v = λv
⇔ A ·
x 1 x 2 .. . xn
= 0 es indeterminado ⇔ |A| = 0
de c´alculos. Por contra si los datos iniciales son P 0 = (6, 5 , 7), para calcular AkP 0 puesto que, en virtud de los c´alculos que hicimos en la p´agina 283, sabemos que (6, 5 , 7) es un vector propio de A asociado al valor propio λ = 1, directamente tenemos para cualquier k
AkP 0 = Ak
⎠ (^) = 1k
y no necesitamos realizar el c´alculo expl´ıcito de la potencia Ak.
Definici´on 7. Dada A ∈ Mn llamamos polinomio caracter´ıstico de la matriz A al polinomio
p(λ) = |A − λIn| ∈ Pn(λ)
y llamamos ecuaci´on caracter´ıstica de la matriz A a la ecuaci´on
p(λ) = 0.
Nota. De todo lo expuesto anteriormente se deduce que:
- Los valores propios de una matriz, A ∈ Mn, son las soluciones de su ecuaci´on caracter´ıstica.
- Una matriz se podr´a diagonalizar si encontramos una base formada exclusivamente por vectores propios.
Ejemplo 8. Calculemos todos los valores y vectores propios de la matriz
A =
del Ejemplo 4. Comenzamos calculando el polinomio caracter´ıstico:
|A − λI 3 | =
⎠ (^) − λ
- 8 − λ 0. 1 0. 1
- 1 0. 6 − λ 0. 2
- 1 0. 3 0. 7 − λ
= (0. 8 − λ)(0. 6 − λ)(0. 7 − λ) + 0. 1 · 0. 3 · 0 .1 + 0. 1 · 0. 2 · 0. 1 −
0 .1(0. 6 − λ)0.1 + 0. 3 · 0 .2(0. 8 − λ) + 0. 1 · 0 .1(0. 7 − λ)
= −λ^3 + 2. 1 λ^2 − 1. 38 λ + 0. 28.
Esta ´ultima expresi´on es el polinomio caracter´ıstico de la matriz A (en efecto, es un polinomio de grado tres en la variable λ). La ecuaci´on caracter´ıstica de A es
−λ^3 + 2. 1 λ^2 − 1. 38 λ + 0.28 = 0.
Resolvamos la ecuaci´on caracter´ıstica. Si tenemos en cuenta que ya sabemos que λ = 1 es un valor propio, sabemos de antemano que una de las soluciones de la ecuaci´on caracter´ıstica es λ = 1. Si aplicamos entonces el m´etodo de Ruffini para λ = 1, − 1 2. 1 − 1. 38 0. 28 1 − 1 1. 1 − 0. 28 − 1 1. 1 − 0. 28 0
comprobamos que realmente λ = 1 es soluci´on de la ecuaci´on. A partir de aqu´ı ser´a dif´ıcil obtener la dem´as soluciones aplicando nuevamente el m´etodo de Ruffini. Sin embargo, los coeficientes que obtenemos en la ultima l´´ ınea de la divisi´on por Ruffini anterior (−1, 1.1 y − 0 .28) nos indican que la ecuaci´on que queda por resolver es −λ^2 + 1. 1 λ − 0 .28 = 0
y esta es una ecuaci´on de segundo grado que podemos resolver directamente aplicando la f´ormula correspon- diente para obtener
λ =
con lo que finalmente, las tres soluciones de la ecuaci´on caracter´ıstica son, ⎧ ⎨ ⎩
λ = 1 λ = 0. 4 λ = 0. 7
De esta forma, deducimos que los tres ´unicos valores propios de la matriz A son λ = 1, λ = 0.4 y λ = 0.7.
Calculemos los subespacios propios correspondientes a cada de los tres valores propios:
- El subespacio propio asociado a λ = 1 es el subespacio vectorial con ecuaciones impl´ıcitas
V 1 ≡ (A − 1 I 3 )
x y z
⎠ ⇒ V 1 ≡
x y z
Resolviendo el sistema, es f´acil comprobar que una base para tal subespacio es B 1 = {(6, 5 , 7)}.
- Para λ = 0.4 el subespacio propio es el subespacio vectorial
V 0. 4 ≡ (A − 0. 4 I 3 )
x y z
⎠ ⇒ V 0. 4 ≡
x y z
Una base para tal subespacio es B 0. 4 = {(0, − 1 , 1)}.
- Para λ = 0.7 el subespacio propio es el subespacio vectorial
V 0. 7 ≡ (A − 0. 7 I 3 )
x y z
⎠ ⇒ V 0. 7 ≡
x y z
Una base para este ´ultimo subespacio es B 0. 7 = {(− 3 , 1 , 2)}.
El apartado ii) de la Propiedad 5 garantiza que reuniendo los elementos de B 1 , B 0. 4 y B 0. 7 obtenemos un conjunto de vectores independientes
B = {(6, 5 , 7), (0, − 1 , 1), (− 3 , 1 , 2)}.
Puesto que tres vectores independientes de R^3 son base, B es una base formada por vectores propios asociados, por ese orden, a los vectores propios λ = 1, λ = 0.4 y λ = 0.7. Por tanto, la matriz inicial, A, es diagonalizable con matriz de paso C y diagonalizaci´on D dadas por
C =
⎠ , D =
Podemos encontrarnos con los siguientes problemas que impedir´ıan que una matriz se pudiera diago- nalizar:
- La matriz, o no tiene ning´un valor propio o tiene un n´umero insuficiente de ellos.
- Los vectores propios de la matriz no permiten formar una base.
7.2 Estudio de la tendencia en procesos iterativos
Son habituales los modelos iterativos como los del Ejemplo 4. En ellos intervienen siempre elementos similares. As´ı tendremos:
- El modelo describir´a la situaci´on de cierto fen´omeno en per´ıodos sucesivos. Conoceremos los valores iniciales que recopilaremos en un vector P 0 y llamaremos P 1 , P 2 , P 3 , en general Pk, a los vectores correspondientes a los per´ıodos siguientes.
- Dispondremos de una matriz de transici´on, A, que gobierna los cambios de un per´ıodo al siguiente seg´un las ecuaciones matriciales
Pk+1 = APk y Pk = AkP 0.
El estudio de la tendencia supone determinar el comportamiento en el futuro de un modelo de este tipo lo que en definitiva significa calcular o estudiar de alguna manera el valor de
AkP 0
para valores grandes de k (ya veremos en el cap´ıtulo siguiente que esto equivale a estudiar el l´ımite limk→∞ AkP 0 ).
Las t´ecnicas de diagonalizaci´on nos proporcionan una forma directa de realizar este c´alculo. De hecho la Propiedad 2 muestra como calcular la potencia Ak^ una vez que hemos diagonalizado la matriz A.
Sin embargo, cuando conocemos la upla de datos iniciales P 0 ´o cuando queremos estudiar la tendencia para valores grandes de k, es m´as indicado el m´etodo que veremos a continuaci´on denominado ’m´etodo de las potencias’.
7.2.1 El m´etodo de las potencias
Supongamos que queremos realizar el c´alculo AkP 0
para cierta matriz A ∈ Mn, la n-upla de datos iniciales P 0 y k ∈ N. Supongamos que la matriz A es diagonalizable. Entonces, podremos calcular para A una base de vectores propios {v 1 , v 2 ,... , vn} cada uno de ellos asociado respectivamente a los valores propios λ 1 , λ 2 ,... , λn en la forma
Vector propio Valor propio asociado v 1 λ 1 v 2 λ 2 .. .
vn λn
Puesto que los vectores propios v 1 , v 2 ,... , vn forma una base de Rn, cualquier n-upla podr´a ser obtenida como combinaci´on lineal de ellos. En particular, la n-upla P 0 podr´a escribirse en la forma
P 0 = α 1 v 1 + α 2 v 2 + · · · + αnvn
para ciertos coeficientes α 1 , α 2 ,... , αn ∈ R que pueden ser calculados resolviendo el sistema correspondiente. Ahora, podemos aprovechar la expresi´on de P 0 como combinaci´on lineal de los vectores propios v 1 , v 2 ,... , vn para realizar el c´alculo AkP 0. En efecto, tenemos que:
AkP 0 = Ak^ (α 1 v 1 + α 2 v 2 + · · · + αnvn) =
empleando la propiedad distributiva del producto de matrices
⎠ (^) = Akα 1 v 1 +Akα 2 v 2 +· · ·+Akαnvn
= α 1 Akv 1 + α 2 Akv 2 + · · · + αnAkvn.
En esta ´ultima expresi´on quedan pendientes de realizar los c´alculos que hemos subrayado. Pero si tenemos en cuenta que v 1 , v 2 ,... , vn son vectores propios, es posible aplicar el apartado iii) de la Propiedad 5 para llegar a que
Akv 1 = λk 1 v 1 , Akv 2 = λk 2 v 2 ,... Akvn = λknvn
y de este modo hemos efectuado la parte m´as complicada del c´alculo ya que tras utilizar las ´ultimas igualdades la potencia de matrices Ak^ desaparece y en su lugar tenemos las potencias λk 1 , λk 2 ,... , λkn que son todas ellas sencillas potencias de n´umeros (un n´umero elevado a un n´umero y no una matriz elevada a un n´umero). De esta manera, reuniendo todos los c´alculos tenemos que
AkP 0 = α 1 Akv 1 ︸ ︷︷ ︸ λk 1 v 1
+α 2 Akv 2 ︸ ︷︷ ︸ λk 2 v 2
- · · · + αn Akvn ︸ ︷︷ ︸ λknvn
= α 1 λk 1 v 1 + α 2 λk 2 v 2 + · · · + αnλknvn.
⇒ AkP 0 = α 1 λk 1 v 1 + α 2 λk 2 v 2 + · · · + αnλknvn.
Como ya hemos comentado, vemos c´omo el c´alculo de la potencia matricial Ak^ se reduce al c´alculo m´as sencillo de las potencias num´ericas λk 1 , λk 2 ,... , λkn.
Ejemplo 12. Supongamos que tres grupos de inversi´on que denominaremos A, B y C gestionan ellos mismos la mayor parte de su capital pero diversifican su inversi´on destinando un porcentaje a alguno de los otros dos grupos. De un a˜no a otro mantienen fijos los porcentajes de inversi´on seg´un la siguiente tabla:
invierte en A B C A 90% 30% 30% B 10% 70% 20% GrupoC^ 10%^ 10%^ 60%
De los datos de la tabla se deduce que el grupo A gestiona ´el mismo un 90% de sus fondos e invierte un 30% en B y otro tanto en C. Si sumamos los porcentajes vemos que la inversi´on total del grupo A es de un (90 + 30 + 30)% = 150% y por tanto, cada a˜no el grupo A recibe un 50% de beneficios que destina nuevamente a la inversi´on. El mismo an´alisis realizado para los otros dos grupos revela que la inversi´on del grupo B equivale a un 100% de su capital mientras que el grupo C reinvierte solamente un 80% (el otro 20% pudieran ser p´erdidas o capital destinado a otros fines).
Supongamos que inicialmente el capital en cada grupo es, en millones de euros, el siguiente:
Grupo A Grupo B Grupo C Capital 17 27 21
Estudiemos el capital en los a˜nos sucesivos. Para ellos plantearemos un modelo matricial para este problema. Comenzaremos llamando
P 0 =
a la 3-upla de datos iniciales. Es evidente que si en el a˜no k, tenemos un capital Ak en el grupo A, Bk en el grupo B y Ck en el grupo C, en el a˜no siguiente (a˜no k + 1) tendremos:
Ak+1=Capital en A en el a˜no k + 1= 90% de Ak+10% de Bk+10% de Ck=0.9Ak+0.1Bk+0.1Ck,
Bk+1=Capital en B en el a˜no k + 1= 30% de Ak+70% de Bk+10% de Ck=0.3Ak+0.7Bk+0.1Ck,
Ck+1=Capital en C en el a˜no k + 1= 30% de Ak+20% de Bk+60% de Ck=0.3Ak+0.2Bk+0.6Ck.
- Vectores propios asociados a λ 1 = 1 .1: Los vectores propios asociados a λ 1 = 1.1 forman el subespacio propio V 1. 1 que tiene ecuaciones impl´ıcitas
V 1. 1 ≡ (A − 1. 1 I 3 ) ·
x y z
⎠ ⇒ V 1. 1 ≡
x y z
Es f´acil comprobar que V 1. 1 = 〈(1, 1 , 1)〉 y que por tanto B 1. 1 = {(1, 1 , 1)} es una base para V 1. 1.
- Vectores propios asociados a λ 2 = 0 .6: Los vectores propios asociados a λ 2 = 0.6 forman el subespacio propio V 0. 6 que tiene ecuaciones impl´ıcitas
V 0. 6 ≡ (A − 0. 6 I 3 ) ·
x y z
⎠ ⇒ V 0. 6 ≡
x y z
En este caso V 0. 6 = 〈(− 2 , 3 , 3)〉 y B 0. 6 = {(− 2 , 3 , 3)} es una base para V 0. 6.
- Vectores propios asociados a λ 3 = 0 .5: Los vectores propios asociados a λ 3 = 0.5 forman el subespacio propio V 0. 5 que tiene ecuaciones impl´ıcitas
V 0. 5 ≡ (A − 0. 5 I 3 ) ·
x y z
⎠ ⇒ V 0. 5 ≡
x y z
Ahora V 0. 5 = 〈(1, 1 , −5)〉 y B 0. 5 = {(1, 1 , −5)} es una base de V 0. 5.
El apartado ii) de la Propiedad 5 garantiza que reuniendo los vectores de B 1. 1 , B 0. 6 y B 0. 5 conseguimos un conjunto de vectores independientes de forma que obtenemos una base de vectores propios de A formada por los vectores
v 1 = (1, 1 , 1) asociado al valor propio λ 1 = 1.1, v 2 = (− 2 , 3 , 3) asociado al valor propio λ 2 = 0.6, v 3 = (1, 1 , −5) asociado al valor propio λ 3 = 0.5.
Los vectores v 1 , v 2 y v 3 son una base de R^3 y para aplicar el m´etodo de las potencias necesitamos expresar la upla de valores iniciales, P 0 , como combinaci´on lineal de ellos. Es decir, necesitamos encontrar los coeficientes α 1 , α 2 y α 3 tales que
P 0 = α 1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v 3 ⇒
⎠ (^) = α 1
⎠ (^) + α 2
⎠ (^) + α 3
α 1 − 2 α 2 + α 3 α 1 + 3α 2 + α 3 α 1 + 3α 2 − 5 α 3
α 1 − 2 α 2 + α 3 = 17 α 1 + 3α 2 + α 3 = 27 α 1 + 3α 2 − 5 α 3 = 21
y resolviendo este sistema obtenemos α 1 = 20, α 2 = 2, α 3 = 1 y por tanto
P 0 = 20v 1 + 2v 2 + v 3 ´o lo que es lo mismo
De esta forma, para calcular AkP 0 procedemos como en la p´agina 288 en la forma
AkP 0 = 20Akv 1 + 2Akv 2 + Akv 3 = 20 · 1. 1 kv 1 + 2 · 0. 6 kv 2 + 0. 5 kv 3
´o, lo que es lo mismo,
⎛ ⎝
k ·
⎠ (^) = 20 · 1. 1 k
⎠ (^) + 2 · 0. 6 k
⎠ (^) + 0. 5 k
Ahora, por medio de las expresiones que hemos obtenido, podemos calcular el capital en cada grupo pasado un n´umero cualquiera de a˜nos. Por ejemplo:
- Pasados k = 3 a˜nos los capitales en cada grupo estar´an determinados por la upla P 3 = A^3 P 0 que puede ser calculada mediante
P 3 = A^3 P 0 = 20 · 1. 13 v 1 + 2 · 0. 63 v 2 + 0. 53 v 3 = 26. 62 v 1 + 2 · 0. 432 v 2 + 0. 125 v 3
Por tanto, pasados tres a˜nos, el capital en el grupo A es de 25.881 millones de euros, en el grupo B de 28.041 millones y en el grupo C de 27.291 millones.
- Pasados k = 10 a˜nos los capitales en cada grupo estar´an determinados por la upla P 10 = A^10 P 0 que podemos calcular en la forma:
P 10 = A^10 P 0 = 20 · 1. 110 v 1 + 2 · 0. 610 v 2 + 0. 510 v 3 = 51. 8748 v 1 + 2 · 0. 0120932 v 2 + 0. 000976563 v 3
Con lo que a los diez a˜nos el capital en el grupo A asciende hasta los 51.8516 millones de euros, en el grupo B es de 51.9121 millones y en el grupo C de 51.9062 millones.
Mediante este m´etodo es igualmente f´acil calcular los capitales pasados cualquier n´umero de a˜nos.
Nos centraremos ahora en el estudio de la tendencia para los modelos matriciales iterativos. Suponemos pues que continuamos con un modelo matricial en el que la upla que proporciona los valores para el per´ıodo k, Pk, se calcula mediante la ecuaci´on matricial
Pk = AkP 0 ,
donde A ∈ Mn es la matriz de transici´on, P 0 es la n-upla de valores iniciales y k ∈ N el n´umero de per´ıodos transcurridos.
Antes hemos visto que si la matriz A es diagonalizable y tenemos una base formada por los vectores propios v 1 , v 2 ,... , vn asociados respectivamente a los valores propios λ 1 , λ 2 ,... , λn, es f´acil realizar el c´alculo AkP 0 si tenemos una expresi´on de la upla de valores iniciales P 0 como combinaci´on lineal de los vectores propios, P 0 = α 1 v 1 + α 2 v 2 + · · · + αnvn.
Entonces, el c´alculo de la potencia AkP 0 era sencillo a trav´es de la identidad
AkP 0 = α 1 λk 1 v 1 + α 2 λk 2 v 2 + · · · + αnλknvn. (7.2)
Si estudiamos el miembro derecho de esta igualdad observamos que todos los elementos que intervienen en ´el son contantes (α 1 , α 2 ,... , αn ´o v 1 , v 2 ,... , vn son coeficientes o vectores propios que habremos calculado
pero para valores grandes de k es f´acil comprobar que si un n´umero r ∈ R tiene valor absoluto menor que uno (|r| < 1) entonces rk^ ≈ 0. De esta forma cuando k es grande,
( λ 2 λ 1
)k ≈ 0 ,
λ 3 λ 1
)k ≈ 0 ,
λn λ 1
)k ≈ 0
y por tanto cuando k se hace grande tendremos que
AkP 0 = λk 1
⎝α^1 v^1 +^ α^2
λ 2 λ 1
)k
≈ 0
v 2 + · · · + αn
λn λ 1
)k
≈ 0
vn
⇒ AkP 0 ≈ λk 1 α 1 v 1.
De aqu´ı extraemos las siguientes conclusiones:
- Para valores grandes de k, el comportamiento de AkP 0 depende ´unicamente del valor propio dominante y del vector propio dominante.
- Dependiendo del valor de λ 1 la expresi´on α 1 λk 1 v 1 tendr´a un comportamiento u otro. En concreto tenemos: - Si |λ 1 | < 1, para valores grandes de k tendremos que λk 1 ≈ 0 y en ese caso
α 1 λk 1 v 1 ≈ 0.
Dicho de otro modo, los valores de Pk en sucesivos per´ıodos tienden a anularse.
- Si |λ 1 | > 1, para valores grandes de k tendremos que λk^ ≈ ±∞ y entonces
α 1 λk 1 v 1 ≈ ±∞
lo cual significa que los valores en sucesivos per´ıodos crecer´an o decrecer´an de forma ilimitada.
- Si λ 1 = 1, para valores grandes de k tendremos que
α 1 λk 1 v 1 = α 1 v 1
y las uplas de datos en sucesivos per´ıodos tender´an a un valor constante de equilibrio dado por αv 1.
- Tenemos que para valores grandes de k, los datos en el per´ıodo k, Pk, se podr´an calcular de forma aproximada mediante Pk = AkP 0 ≈ α 1 λk 1 v 1. En numerosas situaciones ser´a de inter´es calcular el vector de tantos por ciento de Pk y entonces tendremos que
vector de tantos por ciento de Pk ≈ vector de tantos por ciento de α 1 λk 1 v 1.
Ahora bien, aplicando la Propiedad 26 del Cap´ıtulo 4, sabemos que
vector de tantos por ciento de α 1 λk 1 ︸ ︷︷ ︸ n´umero
v 1 ︸︷︷︸ vector
= vector de tantos por ciento de v 1
con lo que vector de tantos por ciento de Pk ≈ vector de tantos por ciento de v 1. En otras palabras, para valores grandes de k los porcentajes representados por los datos en distintos per´ıodos ser´an aproximadamente iguales a los del vector propio dominante v 1.
Ejemplos 15.
- En el Ejemplo 12 estudi´abamos el problema de tres grupos financieros que invierten seg´un cierta tabla fija de inversi´on anual que conduc´ıa a un modelo matricial para el c´alculo de los capitales de los tres grupos en per´ıodos sucesivos de la forma
Pk =
=A
k ·
=P 0
Vimos que la matriz de transici´on A tiene valores propios
λ 1 = 1. 1 , λ 2 = 0. 6 , λ 3 = 0. 5
con lo que el valor propio dominante es λ 1 = 1.1 y el correspondiente vector propio dominante es v 1 = (1, 1 , 1). Por otro lado, la expresi´on de la upla de datos iniciales P 0 en la base de vectores propios v 1 , v 2 y v 3 calculada en la p´agina 290 es P 0 = (^) ︸︷︷︸ 20 =α 1
v 1 + 2v 2 + v 3.
Recurriendo a los razonamientos de la p´agina 293 tenemos que:
- Para valores grandes de k tenemos que
Pk ≈ 20 · 1. 1 kv 1.
Por ejemplo:
- Pasados k = 3 a˜nos, la upla de capitales, P 3 , se puede calcular de forma aproximada como
P 3 ≈ 20 · 1. 13 v 1 = 26. 62
- Pasados k = 10 a˜nos, la upla de capitales, P 10 , se puede calcular de forma aproximada como
P 10 ≈ 20 · 1. 110 v 1 = 51. 8748
Puede comprobarse c´omo incluso para valores no excesivamente altos de k las aproximaciones propor- cionan resultados muy similares a los datos exactos que obtuvimos en el p´agina 292.
- Puesto que el valor propio dominante verifica |λ 1 | = | 1. 1 | = 1. 1 > 1, tenemos que
Pk ≈ α 11. 1 kv 1 = 20 · 1. 1 k
y los capitales de los tres grupos crecen ilimitadamente durante el transcurso de los sucesivos a˜nos.
- Los porcentajes que representan los capitales para el a˜no k, cuando k es suficientemente grande ser´an aproximadamente los mismos que representa el vector propio dominante v 1. El vector de porcentajes de v 1 es 100 1 + 1 + 1
Por tanto, la tendencia de futuro es que:
