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Cap´ıtulo 8
Diagonalizaci´on de matrices.
8.1. Vectores
Se llama vector de IRn^ a cualquier matriz columna de orden n × 1.
Ejemplo 1:
(^) es un vector de IR^3
Por comodidad de escritura, a veces expresaremos el vector como (1, 2 , −4)t, donde t significa traspuesta. Los vectores se denotar´an por letras como X, x, v, etc.
8.2. Valores propios y vectores propios de una ma-
triz.
Definici´on. Sea A una matriz cuadrada de orden n, x un vector no nulo de IRn, λ un n´umero real. Si ocurre que A · x = λ x
diremos que x es un vector propio de la matriz A y que λ es un valor propio de A.
NOTA: Al vector x se le pide ser no nulo, es decir, ser distinto del vector o = ( 0 , 0 , · · · , 0 )t. Eso es porque si fuera x = o, la condici´on A · o = λ o se tradu- ce en o = o, que se cumple sea cual sea el valor de λ. Por lo que no tiene nada especial para λ y no merecer´ıa una definici´on.
2 CAP´ITULO 8. DIAGONALIZACI ON DE MATRICES.´
Ejemplo 2: Sea A =
, x = (0, 1 , 3)t.
Vamos a comprobar que x es un vector propio de A asociado al valor propio λ = 5. Debemos comprobar que A · x = 5 x:
A · x =
(^) = 5 x
Ejemplo 3: Para la misma matriz A del ejemplo anterior, vamos a comprobar si el vector x = (1, 1 , 1)t^ es o no un vector propio.
Debemos ver si A · x = λ x, para alg´un valor de λ.
A · x =
(^6) = λ
lo que significa que el vector dado x no es vector propio de A.
A continuaci´on vamos a ver una ecuaci´on que nos servir´a para hallar los vectores pro- pios. Tendremos en cuenta que x = I · x, donde I es la matriz identidad de orden n. Escribimos la condici´on que cumplen los vectores propios, A · x = λx, y la expresamos de una forma equivalente:
A·x = λx ⇐⇒ A·x−λx = o ⇐⇒ A·x−λ I ·x = o ⇐⇒ (A−λI)·x = o.
Para un valor concreto de λ, la expresi´on (A−λI)·x = o representa un SEL homog´eneo cuyas inc´ognitas son las componentes del vector x. Por tanto, decir que x es un vector propio de A es tanto como decir que x es una soluci´on no trivial del SEL considerado, para alg´un λ ∈ IR. Adem´as, decir que el SEL homog´eneo considerado tenga soluci´on no trivial es tanto como decir que el determinante de (A − λI) valga cero.
8.3. Polinomio caracter´ıstico de una matriz
Definici´on. Sea A una matriz cuadrada de orden n. Entonces
p(λ) = Det(A − λI)
es un polinomio en la variable λ de grado n. Este es el´ polinomio caracter´ıstico de la matriz A.
4 CAP´ITULO 8. DIAGONALIZACI ON DE MATRICES.´
− 2 x + y = 0 − 2 x + y = 0
− 2 x + y = 0
Eliminamos la segunda ecuaci´on porque dice lo mismo que la primera. Tenemos enton- ces una sola ecuaci´on y dos inc´ognitas. Para hallar todas las soluciones, tomamos un par´ametro, digamos x = α. Entonces y = 2α.
Las soluciones son los vectores de la forma v =
x y
α 2 α
(con α ∈ IR).
Por ejemplo,
, etc. son vectores propios. Pero
, aunque s´ı es una
soluci´on del anterior sistema, no es un vector propio, porque en la definici´on de vector propio se exige que sea un vector no nulo.
En resumen, los vectores propios asociados al valor propio λ = 3 son los de la forma
v =
α 2 α
= α
con α ∈ IR, α 6 = 0. Tenemos infinitos vectores propios,
dependiendo de un par´ametro. Elegimos s´olo un vector como representativo de todos ellos. Para ello elegimos un valor no nulo para el par´ametro. Valdr´ıa cualquier valor no
nulo de α. Por comodidad, elegimos α = 1. Entonces el vector es v 1 =
Calculamos ahora los vectores propios asociados a λ = 2:
(A− 2 I)·x = o −→
x y
x y
−x + y = 0 − 2 x + 2y = 0
−x + y = 0 −→
y = x
Los vectores propios son las soluciones de la anterior ecuaci´on.
Por tanto, los vectores propios tienen el aspecto: v =
x y
α α
= α
Un vector representativo de todos ellos, es, (eligiendo α = 1), v 2 =
8.6. Diagonalizaci´on de una matriz
Diagonalizar una matriz cuadrada, A, consiste en encontrar dos matrices cuadradas del mismo orden que A:
P , una matriz regular (es decir, con Det(P ) 6 = 0), y
D , una matriz diagonal,
8.6. DIAGONALIZACI ON DE UNA MATRIZ´ 5
de modo que A = P · D · P −^1.
En esta situaci´on diremos que las matrices A y D son semejantes.
Podemos observar que, puesto que P es regular, la condici´on A = P · D · P −^1 es equivalente a la condici´on A · P = P · D.
El procedimiento para diagonalizar una matriz A consiste en construir las matrices:
P =
v 1 v 2 · · · vn .. .
(cada columna,^ vi,^ es un vector propio de^ A)^ (Det(P^ )^6 = 0)
D =
λ 1 0 · · · 0 0 λ 2 · · · 0 .. .
0 0 · · · λn
(λi son los valores propios, en el mismo orden que los vectores)
Ejemplo 7: Diagonalizamos la matriz A =
En los Ejemplos 5 y 6 hemos hallado los valores propios y vectores propios. Tenemos
un vector propio v 1 =
asociado al valor propio λ 1 = 3.
otro vector propio v 2 =
asociado al valor propio λ 2 = 2.
Construimos la matriz P cuyas columnas son estos vectores propios y la matriz diagonal D con los correspondientes valores propios:
P =
, D =
Observamos que realmente P es una matriz regular, ya que Det(P ) = − 1 6 = 0.
Podemos comprobar que realmente se cumple que A = P · D · P −^1. No es estricta- mente necesario. Aunque puede servir para comprobar que no hay fallos de c´alculo. Otra forma alternativa y m´as simple, de hacer esta comprobaci´on es, adem´as de com- probar que Det(P ) 6 = 0, comprobar que A · P = P · D. Esto evita tener que calcular la inversa P −^1 para la comprobaci´on.
Haremos esta comprobaci´on. Ya hemos visto antes que Det(P ) = − 1 6 = 0. Ahora calculamos por separado A · P y P · D y observamos que son iguales.
A · P =
P · D =
8.6. DIAGONALIZACI ON DE UNA MATRIZ´ 7
El polinomio caracter´ıstico es:
p(λ) = Det(A−λI) =
3 − λ 1 0 1 2 − λ − 1 0 − 1 3 − λ
= (3−λ)(2−λ)(3−λ) − (3−λ) − (3−λ) =
= (3−λ) [(2 − λ)(3 − λ) − 1 − 1] = (3−λ)
[
6 − 2 λ − 3 λ + λ^2 − 2
]
= (3−λ)
[
4 − 5 λ + λ^2
]
Hallamos los valores propios
(3 − λ)
[
λ^2 − 5 λ + 4
]
λ = 3
λ^2 − 5 λ + 4 = 0
λ = 4
λ = 1
Tenemos tres valores propios.
Ahora, para cada uno de los valores propios, hallaremos los vectores propios asociados a ´el.
Para λ = 3, planteamos el SEL (A − 3 I) · x = o.
x y z
x y z
Para resolver el sistema, lo sometemos al m´etodo de Gauss
0 1 0 0 1 − 1 − 1 0 0 − 1 0 0
−→ F 3 ′ = F 3 + F 1
0 1 0 0 1 − 1 − 1 0 0 0 0 0
−→ F 1 ←→ F 2
1 − 1 − 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0
Ya est´a en forma escalonada. El rango de la matriz de coeficientes es 2, por tanto, hay dos inc´ognitas principales, en nuestro caso x, y. La otra inc´ognita, z, har´a el papel de par´ametro. Lo resolvemos
{ x − y − z = 0 y = 0
z = α y = 0 x = α
Los vectores propios asociados a λ = 3 son los de la forma
x y z
α 0 α
Podemos tomar un vector propio representativo (elegimos α = 1):
8 CAP´ITULO 8. DIAGONALIZACI ON DE MATRICES.´
Ahora hallaremos los vectores propios asociados al valor propio λ = 4. El sistema a resolver es (A − 4 I) · x = o.
x y z
x y z
Aplicamos el m´etodo de Gauss
− 1 1 0 0 1 − 2 − 1 0 0 − 1 − 1 0
−→ F 2 ′ = F 2 + F 1
− 1 1 0 0 0 − 1 − 1 0 0 − 1 − 1 0
−→ F 3 ′ = F 3 − F 2
− 1 1 0 0 0 − 1 − 1 0 0 0 0 0
Tenemos dos inc´ognitas principales, x, y. La otra inc´ognita, z, ser´a un par´ametro. Resolvemos { −x + y = 0 − y − z = 0
z = α y = −α x = −α
Los vectores propios asociados a λ = 4 son los de la forma
x y z
−α −α α
Un vector propio representativo es (elegimos α = 1):
Por ´ultimo, hallamos los vectores propios asociados a λ = 1, para lo cual el sistema a resolver tiene matriz de coeficientes (A − 1 I).
x y z
x y z
Aplicamos el m´etodo de Gauss
F 1 ←→ F 2
F 2 ′ = F 2 − 2 F 1
F 3 ′ = F 3 − F 2
Tomamos el par´ametro z = α y resolvemos.
{ x + y − z = 0 − y + 2 z = 0
z = α y = 2α x = −α
10 CAP´ITULO 8. DIAGONALIZACI ON DE MATRICES.´
Si A es una matriz cuadrada cualquiera, calcular una potencia Ak^ es complicado cuando k es grande. Sin embargo, si A es diagonalizable, es mucho m´as sencillo. Basta observar que, de la relaci´on A = P · D · P −^1 se deduce que
A^2 = A · A = P · D · P︸ −︷︷^1 · P︸ ·D · P −^1 = P · D · I · D · P −^1 = P · D^2 · P −^1
O sea, A^2 = P · D^2 · P −^1 (donde hemos tenido en cuenta que P −^1 P es la matriz identidad, I, y que I · D = D)
A^3 = A · A · A = P · D · P︸ −︷︷^1 · P︸ ·D · P︸ −︷︷^1 · P︸ ·D · P −^1 = P · D^3 · P −^1 o sea,
A^3 = P · D^3 · P −^1
Y, en general, Ak^ = P · Dk^ · P −^1 (para cualquier k ∈ IN)
De esta manera, el c´alculo de la potencia Ak^ = P · Dk^ · P −^1 se puede hacer calculando la potencia Dk, que es inmediata por ser D una matriz diagonal, y multiplicando luego por P a la izquierda y por P −^1 a la derecha.
Ejemplo 9: Para la matriz A =
, cuya diagonalizaci´on llevamos a cabo
en el Ejemplo 7, vamos a calcular la potencia A^10.
A^10 = P · D^10 · P −^1
siendo
D =
, P =
(Entonces calculamos P −^1 =
Por tanto,
A^10 =
En definitiva,
A^10 =
− 310 + 2^11 310 − 210
− 2 · 310 + 2^11 2 · 310 − 210
, o sea, A^10 =
¿Qu´e matriz ser´ıa Ak, siendo k cualquier n´umero natural? Procedemos igual que antes.
Ak^ = P · Dk^ · P −^1 =
3 k^0 0 2 k
3 k^2 k 2 · 3 k^2 k
− 3 k^ + 2k+1^3 k^ − 2 k − 2 · 3 k^ + 2k+1^2 · 3 k^ − 2 k
Es decir, Ak^ =
− 3 k^ + 2k+1^3 k^ − 2 k − 2 · 3 k^ + 2k+1^2 · 3 k^ − 2 k
8.8. MATRICES DIAGONALIZABLES Y NO DIAGONALIZABLES 11
8.8. Matrices diagonalizables y no diagonalizables
Las matrices diagonalizables tienen mucha utilidad. Pero existen matrices que no son diagonalizables. Por ejemplo, consideremos la matriz
A =
El polinomio caracter´ıstico es:
p(λ) = Det(A−λI) =
1 − λ 0 0 0 0 − λ − 2 0 2 0 − λ
= (1−λ)(−λ)^2 − (1−λ)2(−2) = (1−λ)
[
λ^2 + 4
]
Hallamos los valores propios:
p(λ) = (1 − λ)(λ^2 + 4) = 0 ⇒
1 − λ = 0 → λ = 1 λ^2 + 4 = 0 → No tiene soluciones reales
S´olo tenemos un valor propio real, λ = 1. Hallamos los vectores propios asociados. Resolvemos el SEL (A − 1 I) · x = o.
x y z
x y z
Para resolver el sistema, lo sometemos al m´etodo de Gauss
0 0 0 0 0 − 1 − 2 0 0 2 − 1 0
−→ F 1 ←→ F 2 F 2 ←→ F 3
0 − 1 − 2 0 0 2 − 1 0 0 0 0 0
−→ F 2 ′ = F 2 + 2F 1
0 − 1 − 2 0 0 0 − 5 0 0 0 0 0
Ya est´a en forma escalonada. El rango de la matriz de coeficientes es 2, por tanto, hay dos inc´ognitas principales, en nuestro caso y, z. La otra inc´ognita, x, har´a el papel de par´ametro. Lo resolvemos
{ − y − 2 z = 0 − 5 z = 0
x y z
α 0 0
(^) = α ·
S´olo hay un vector propio representativo y, como no hay m´as valores propios reales, no hay m´as vectores propios distintos de los obtenidos. No se puede construir la matriz de paso P , porque hacen falta tres vectores propios independientes y no los hay. Por tanto, esta matriz no es diagonalizable.
Queda claro que existen matrices que no se pueden diagonalizar. Pero, por ejemplo, las matrices sim´etricas siempre son diagonalizables. Y ´este es un tipo de matrices que aparece con frecuencia en el ´ambito de materias relacionadas con la Econom´ıa, como es la Econometr´ıa. Y, en cualquier caso, para matrices que pueda ser complicado su estudio, pueden usarse m´etodos de c´alculo por ordenador que nos hagan el trabajo.
