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AUTOVALORES. ENDOMORFISMOS DIAGONALIZABLES 603 35.2, WALORES Y VECTORES PROPIOS DE UNA TRANSFORMACION LINEAL Dado un endomorfismo cualquiera en un espacio vectorial V, es decir, una aplicación lineal, f:V—>V, que a cada vector x de V le atribuye un vector f(x) también en V, y si es K el cuerpo base del espacio vectorial V, se dan las siguientes: 35.2.1. Definiciones a) Autovalor o valor propios de f es todo escalar AE K tal que existe al menos un vector no nulo x de V para el que se verifica fíx)=Ax. b) Vector propio o autovector, correspondiente al autovalor A de f, es todo vector no nulo de V tal que f(x)==Ax. c) Espectro de f es el conjunto de los autovalores de f y se designa por e(p); es decir, o(f)=[A € K]A es autovalor de f). 35.2.2. Observación Las anteriores definiciones no garantizan la existencia de autovalores. Más adelante se estudiarán algunos teoremas que, bajo ciertas hipótesis, “garantizan la existencia de autovalores; no obstante, conviene notar que, en ocasiones, pueden no existir los autovalores de un endomorfismo, como pone de manifiesto el siguiente caso concreto: Para el endomorfismo f:1R?*->IR?, que a cada vector (x,y) le asocia f(x, y) =(y, —%), no existen autovalores, ya que la ecuación f(x, y)=A(x, y) equivale a las dos ecuaciones y:
Vi=(x € V | fla)=4x) es un subespacio de V. b) Dos autovalores distintos de f no tienen ningún vector propio co- mún; es decir: E] c) Autovectores correspondientes a autovalores distintos constituyen un sistema linealmente independiente de vectores; es decir: A 21€ Vy-0,¿31,2,..,7/ => [x1%..., x,) es un sistema M7 dy para hitk independiente. DEMOSTRACION : a) Hay que cerciorarse de que, para cualesquiera que sean x, y x, de V, y para todo par de escalares k,,k,€ K, se verifica que el vector Kyx,+Kkzx2 es también de V,; así ocurre, en efecto, ya que, por ser f lineal, es: Feos + ko) = (00) + ko fo) =kyA + Koh = Mya, + haa). b) Todo estriba en comprobar que, si x es de V,, y de V,,, ha de ser el vector nulo; así ocurre, ya que, de verificarse Kx)=Ax y f(x) =d4x, habrá de ser (A —A)Jx=0, de donde, al ser A, 4 A, se infiere que es 1=0. <) Se realiza la demostración por reducción al absurdo: si (x;,%z..., x,) fuese linealmente dependiente, la dimensión del espacio que “ 605 MATRICES DIAGONAL IZABLES si, el escalar A—k es un autovalor del endomorfismo f—ki, con lo cual concluye la demostración. 3.) Esta última propiedad es una consecuencia inmediata de las dos anteriores, ya que A es autovalor de la aplicación f si, y sólo si, 0 es autovalor de la aplicación f—Ai (según la propiedad 2.*), lo cual a su vez, en virtud de la propiedad 1.*,.equivale a decir que f—Ai es singular. 35.32. Corolarios De estas tres propiedades se desprenden, trivialmente, la siguientes con- secuencias : 1.) Los antovalores de un endomorfismo f son aquellos escalares A para 2.) los que el endomorfismo f—Ai no es inyectivo, esto es: of=[AEKI]f-A no inyectivo ). El subespacio propio V,, correspondiente a un autovalor A del en- domorfismo f, es el conjunto de los vectores x EV tales que (f—A2) (x)==0, esto es, el núcleo del endomorfismo f—Ai: V,=NG-M). 354, EJEMPLOS Como quiera que de ahora en adelante únicamente se considerarán pro- blemas de autovalores para endomorfismos en espacios vectoriales de di- mensión finita, es oportuno citar algún ejemplo en espacios vectoriales cualesquiera, para hacer notar así que el tema de los autovalores tiene mayor amplitud de la que aquí se considera. 15 2.) Sea V=CG,R) el espacio vectorial real de las funciones reales continuas definidas en el intervalo real I=[0,1] y considérese el endomorfismo f:V => V, que a cada función x:1>R le asocia : la función y=f(x) definida mediante y()= f x(s) ds (y(t) es el área '0 del recinto limitado por el eje de abscisas, el eje de ordenadas, la paralela a éste de abscisa £ y la gráfica de la función x). La ecua- z ción f(x)=Ax* es, en este caso, f x(s) ds =Ax(£), de la que lo lo primero que se deduce es que x(0)=0; esta ecuación conduce a x(t)=Av'(8), de donde se obtiene x(1)=c e (c=constante), pero como x(0)=-0, ha de ser c==0 y, por tanto, x(t)=0 en todo Í, es decir, el endomorfismo f carece de autovalores. Para el endomorfismo f del espacio vectorial real V=CYAR, R), de las funciones reales dos veces continuamente derivables, que a cada función x:R=> IR le asocia su derivada segunda, es decir, f(x) =x", la ecuación f(x)=Ax, es x"(£)=Ax(t); es trivial compro- > Igea AUTOVALORES. ENDOMORFISMOS DIAGONALIZABLES 607 bar que todo número real A es autovalor de f y que, para un A dado, los autovectores (autofunciones) son: si A>0 re()=0 e 400 YM, si AO, x(t)=casen(yY At) +c¿cos(y/ AL), siA=0, x()=c0,t+0 (c, y cs) números reales arbitrarios). 3.) Si se modifica el problema anterior tomando para V el conjunto de las funciones x de CA[O, 7], IR) que satisfacen, además, a (0)=0 y *(r)=0, demuéstrese que los autovalores son A=-(2k+1)/4, para kE 2; hállense en este caso las autofunciones correspon- dientes a cada autovalor. 35.5. ECUACION CARACTERÍSTICA DE UN ENDOMORFISMO Cuando se estudian problemas relativos a autovalores de un endomor- fismo f de un espacio vectorial V de dimensión finita, sobre un cuerpo K, se presentan situaciones especiales y se dispone de un procedimiento de búsqueda de autovalores que se analiza a continuación. 35.5.1. Consideraciones generales Si el espacio vectorial Y es de dimensión n y Ay Ap ..., A, son todos los autovalores (distintos) de un endomorfismo f: Y > V, designando por y da, ..., d, las dimensiones de los subespacios propios asociados a cada uno de los autovalores, es decir, d¿=dim(V,,), se desprende de la pro- piedad 35.23, c, que la suma de los subespacios es directa y tiene, por tanto, dimensión d,+d,+...+d, y, en consecuencia, d+di+...+d,1), el número 7 de autovalores de f no puede ser superior a la dimensión nr de V, es decir, r V se verifica que n=rang g+dim (N(g)), ha de ser: Í d=dim (V,) =dim (N(f- A) =n —rang (f— Mm, es decir, la dimensión del subespacio propio V, es el complemento a n del rango de la aplicación f—M. 355.2, Ecuación característica En el supuesto de que V es un espacio vectorial de dimensión finita, », sobre un cuerpo K, se va a proceder a la búsqueda de los autovalores de la aplicación lineal f:V->V; tomando para ello una base cualquiera AUTOVALORES, ENDOMORFISMOS DIAGONALIZABLES 609 el menor de A obtenido con las filas fg,1,..., ¿, y las COLUIMDAS df4to 000» Ena Los menores de A obtenidos de filas y columnas de iguales índices, esto es, los determinantes de las submatrices de A ubicadas simétricamente res- pecto de su diagonal principal, se llaman menores diagonales de A; un menor diagonal de A obtenido con k filas y k columnas (iguales índices para filas y para columnas), se dirá que es un menor diagonal de orden k. Resulta de todo ello que para el polinomio p, será: PO) + a Ad a A a A, AEK, siendo sus coeficientes: as =det (4) a=(-D(0j 104... +0% 35.54. Invarianza del polinomio característico El anterior polinomio característico A > pQO)=det(A—AD, para el en- . domorfismo f: V -—> V, se ha obtenido a partir de la matriz A asociada a f en una base (e; €, ..., e, ) de V. Pues bien, se verifica que al tomar otra base (11, 1, ..., un) en V, el polinomio característico que en ella se obtiene, At> q(A)=det(B-A), siendo B la matriz asociada a f en la mueva base, es el mismo que el correspondiente a la primera base. Así ocurre, en efecto, ya que las matrices A y B, como están asociadas ambas a f, som semejan- tes, esto es, existe una matriz regular P € GL,(K) tal que B=P"AP, y por tanto, para cualquiera que sea AE XK: ' B-M=PAP -APIP=P-UA—M)P, lo que conduce a: ¿0 =- det (B— M)= det (P-") det (A— AD) det (P) == =det (4 —M)==p(A). Este resultado, es decir, el hecho de que el polinomio característico sea el mismo para todas las bases de V, permite decir que él es el polinomio característico del endomorfismo f, ya que el referido polinomio depende única y exclusivamente de f. 355.5. Orden de un autovalor Los autovalores del endomrfismo f:V > Y, siendo Y de dimensión fi- nita », son las raíces de la ecuación característica de f, algebraica de grado n con coeficientes en K; esto es, AEK es autovalor de f si, y sólo si, 610 MATRICES DIAGONALIZABLES det(A—AM)=0, donde A es la matriz asociada a f respecto de una base cualquiera de V. Si Ay es una raíz múltiple, de la ecuación característica de f, con orden de multiplicidad a, se dirá que Ay es un autovalor de or- den «a de la transformación lineal f; si Ay es raíz simple de la ecuación Característica de f, se dirá que es un autovalor simple de f. Cuando el cuerpo K sea algebraicamente cerrado, y en particular si es K=C€, como todo polinomio de grado n>0 se puede expresar entonces como producto de n polinomios de grado uno, para el polinomio carac- terístico se tiene la factorización : det (4 — AD) =(— 1 (A —A)% (A Ayo ¿QA (WAEK, (0+0+...+0,=N), : donde Ay, Az ..., A, son todos los autovalores de f, que son, respectivamente, de órdenes 0%, 0%, --., %,. En este supuesto, de ser K algebraicamente cerra- do, f tiene al menos un autovalor y como máximo tiene 2; si cada auto- valor se cuenta tantas veces como indica su orden de multiplicidad, se puede afirmar que f tiene exactamente n autovalores, 355.6. Subespacios propios; sus dimensiones Dado un endomorfismo f:V—V, siendo Y un espacio vectorial de dimensión finita n, para cada autovalor A de f, es decir, para cada raíz de su ecuación característica, los vectores propios de f correspondientes a A, junto con el vector mulo, constituyen el subespacio propio V, que, se- gún 35.3.2, es el núcleo de f—Ai, es decir, el conjunto de los vectores x € Y tales que (f-AD) (1)=0. Elegida una base en V, y si es A la matriz asociada a f en ella, los auto- vectorés correspondientes al autovalor Á son, pues, aquellos vectores no nulos tales que la matriz columna de sus coordenadas, X € Jloma(K), sa- tisface a: (A-A)X=0, es decir, son los vectores x E V tales que sus coordenadas, (x,a7,..., 1), constituyen una solución no nula del sistema homogéneo de ecuaciones lineales: (ai-dNal+ da 4. + ao m=0 € rd... + a or=0 dá + da +. +(G6-Nx=0 La dimensión del subespacio propio V,, esto es, el númgro máximo de vectores propios correspondientes a A que son linealmente independientes, será, pues: 2. d=dim (V,)=dim (Nf—M)=n-rang (f-¿0), esto es, recurriendo a la matriz A, asociada a f en una base de V: d=dim (V,)=n-—rang (A-A). $12 MATRICES DIAGONALIZABLES fa: K"—> K" que tiene por matriz asociada en base canónica (o en cualquier otra base) a la matriz A. La aplicación p:K->K, Ar» p(a)=det (4-A) es, según se demostró en 35.53, un polinomio de grado n cuyos coeficientes fueron obtenidos en- tonces; a este polinomio se lo llama polinomio característico de la wma- triz_A, Los autovalores de A son, pues, los ceros de su polinomio carac» terístico. 2 Si A, es raíz de orden de multiplicidad «: de la ecuación característica de A, se dirá que se trata de un autovalor de orden a: de A. Si el cuerpo K es algebraicamente cerrado, en particular si K=C, el polinomio- caracterís- tico es factorizable y la ecuación característica se puede expresar en la forma: det (A AD =(- 1 (A AJA AgI% ... (A A)" cOn +04... + 0=2, en la que Ap A, -.., A, son los autovalores de A, de órdenes respectivos Qi Ma, «.:) A Cuando K es algebraicamente cerrado, toda matriz A € Mo, (K) tiene siempre un autovalor, al menos, pudiendo tener hasta n autovalores distintos; si cada autovalor se cuenta un múmero de veces igual a su orden, se verifica que la matriz A, cuadrada de tamaño n, tiene exactamente n autovalores. 35.6.3. Subespacios propios de una matriz Para una matriz A, y si A es un autovalor de ella, los vectores propios de A correspondientes a A, son las matrices X € ¡Ma (K) (o los vectores xEK", X%0, tales que (A-A)X=0, esto es, si se les une la matriz nula, constituyen las soluciones de esta ecuación homogénea; por tanto, forman un espacio vectorial, llamado subespacio propio de A correspon- diente al autovalor A, cuya dimensión es: d=n—rang(A- AD. Los vectores propios de A, corsespondientes al autovalor A, son, pues, las matrices columna cuyos elementos, x!,x",...,x", son las soluciones del sistema homogéneo de n ecuaciones lineales con = incógnitas: la; Aj) x7=0 donde 8í denotan las deltas de Kronecker. 35.7. SEMEJANZA DE MATRICES Y AUTOVALORES Se pretende poner de manifiesto que dos matrices semejantes tienen iguales autovalores, y éstos con igual orden; se mostrará que, sin embargo, no se verifica la implicación recíproca, esto es, dos matrices cuadradas con iguales autovalores y éstos con iguales Órdenes, pueden no ser seme- jantes. También se probará que la semejanza conserva las dimensiones de los subespacios propios. AUTOVALORES. ENDOMORFISMOS DIAGONALIZABLES 613 357.1. Invarianza, por semejanza, del polinomio característico Si A, A” € lo £K) son dos matrices semejantes, esto es, si existe una matriz regular de tamaño n, P, tal que A"=PlAP, entonces, según se probó en 35.5.4, se verifica que: det (A -- AD) =det(A'-A), VAEK. Recordando (35.5.3) cuáles son los coeficientes de un polinomio carac- terístico, y si A=[af] y A”=[a7], la invarianza del polinomio característico puede expresarse diciendo que, si A, A'€E Jo,(K) són semejantes, se ve- rifica : det (4) =det (A) APR a Suma de los () meno- Suma de los (7) meno- res diagonales de orden Ares diagonales de orden n=kde A n=k de A” da Aa a, En particular, son inváriantes por semejanza el determinante de una matriz, su traza y la traza de la matriz de cofactores. 3572. Invarianza, por semejanza, de los auvtovalores y sus órdenes as matrices A, A” € Jíb,(K) son semejantes, entonces tienen el mismo polinomio característico y, por tanto, lá misma ecuación característica; consecuentemente, poseen. los mismos autovalores y éstos con iguales Ór- denes. Y 35.7.3. Observación No obstante los resultados recién obtenidos, conviene hacer notar que, en general, del sólo hecho de tener dos matrices los mismos autovalores y éstos con igual orden, no se infiere que dichas matrices sean semejantes. Así, por ejemplo, las matrices cuadradas de tamaño dos: lo tienen ambas por ecuación característica a (A—1)?=0, esto es, tienen (tan- to A como B) un solo autovalor, A=1, de orden dos. Sin embargo, no son semejantes, pues, de serlo, existiría una matriz regular de tamaño dos: leal: AUTOVALORES. ENDOMORFISMOS DIAGONALIZABLES 615 Se sabe también que, si Aj, A,..., A, son todos los autovalores, de f o de A, y si son a, 0% ..., 0%, sus Órdenes y did» ..., d, las dimensiones de sus subespacios propios, se ha de verificar que r1. La dificultad está, pues, en probar que es do. El subespacio propio V,, está formado por las matrices X € Moma(K) tales que (4—AD)X=:0, es decir, V,, es el múcleo del endomorfismo, g:K"—> K", asociado, en base canónica, a la matriz B=A-—Al; d es la dimensión del referido núcleo. Sea (e, ez ..., ez) una base del núcleo y com- plétese, con ciertos vectores €y,1 ..., € hasta obtener una base de KR”; la matriz B" € Mo(K), semejante a B, asociada a la aplicación g en la nueva base, ha de ser de la forma: 0.0.0..0 Bayo. DA O A AS 0.0 O Da ya que g ha de transformar los vectores e €»..., ez en el vector o. El polinomio característico de B, que es igual al de B”, pues B y B' están aso- ciados al mismo endomorfismo g en distintas bases, tiene nulos los d pri- meros coeficientes, ya que los menores principales de orden mayor que 1-d de B' son todos nulos; por tanto, =0 es raíz de orden mayor o igual que d de la ecuación det(B-—pD=0, es decir, ==0 es raíz de orden ma- yor o igual que d, de la ecuación det(A — Ax — 1D) =det (A — (Ap + JD) =0, o lo que es igual, A==Ay es raíz de orden mayor o igual que d, de la ecua- ción det (A —Al)-:0; como el orden de A, en esta ecuación es «, se obtiene finalmente que dV, siendo V un espacio vectorial de dimensión r sobre un cuerpo K, se plantea aquí la siguiente cuestión : ¿existirá alguna base de V en la que la matriz asociada a f sea una matriz diagonal?; cuando la respuesta sea afirmativa, se buscará dicha base, así como la correspondiente matriz diagonal. En los casos en que esto sea posible, se dirá que f es un endomorfismo diagonalizable; diagonalizar f es encontrar una base de V respecto de la cual la matriz asociada a f sea diagonal, determinando también dicha matriz. 0 La importancia que tiene la consecución de este problema, cuando tenga solución, estriba en la gran simplicidad de las ecuaciones de f en la base eno 618 MATRICES DIAGONALIZABLES por tanto, sus autovalores son los elementos de la diagonal princi- pal. Además, como (D—díA) E,=0, se verifica que E,, Ez, ..., E, son vectores propios de D correspondientes, respectivamente, a los auto- vectores di, d3,..., di. -— Recíprocamente, si E,, E, ..., E, son vectores propios de D, llaman- do A; al autovalor correspondiente al vector propio E, ¿=1,2,...,1, ha de ser DE¿=AE;; ahora bien, como DE; es la matriz columna de lugar ¿ de la matriz D, resulta “que la columna de lugar 7 tiene el elemento (¿,¿) valiendo A, y el resto de sus elementos son nulos. En consecuencia, D es diagonal y sus autovalores son los elementos de la diagonal principal. 359.2, Matrices diagonalizables (por semejanza). Forma diagonal Una matriz A € ¿lb,(K) se dice diagonalizable (por semejanza) si existe PE GLK) tal que D=P-LAP es una matriz diagonal; cuando así ocurra, a D se la llamará forma diagonal de A y P será la matriz regular que trans- forma la matriz A en matriz diagonal. Si A fuese diagonalizable, y si su forma diagonal es la matriz D cuyos elementos de la diagonal principal son dl, d1,..., dz, como quiera que dos matrices semejantes tienen (35.7.2) los mismos autovalores y éstos con igua- les órdenes, del precedente análisis de las matrices diagouales se deduce que A =dl,d=d,..., Ay=d% habrían de ser autovalores de A, siendo el orden de cada uno de ellos igual al múmero de veces que aparece repetido en la diagonal principal de D. Por tanto, para que A sea diagonalizable (por semejanza) es necesario que admita, si cada uno se cuenta tantas veces como indica su orden de multiplicidad, exactamente » autovalores; ade- más, y en el supuesto de ser A diagonalizable, su forma diagonal tendría su diagonal principal constituida por los autovalores de A (cada uno tantas veces como indice su orden). Aun en el supuesto de que .4 tenga = autovalores (contando cada uno un número de veces igual a su orden), todavía no se sabe cuándo será diagonalizable; si lo fuese, su forma diagonal sería la antedicha matriz D. Para analizar si A es diagonalizable, puede razonarse del siguiente modo: a) Supóngase que A € Mo, (K) admite n vectores propios independien- tes, esto es, que existe una base de Mo, ¡(K) formada por vectores propios de A, a los que se llamará: EA! Dm Pa SS A A AS pr. pe Dr. correspondientes, respectivamente, a los autovalores Ay, Ao ...» Ay (al- gunos de ellos pudiendo estar repetidos). Llamando P a la matriz: = 1 TUD... Un), e rat AUTOVALORES. ENDOMORFISMOS DIAGONALIZABLES 619 que es regular, pues las matrices U,, U,,..., U, son linealmente in- dependientes, esto es, PE GL,(K), resulta que la matriz P-lAP ad- mite por vectores propios a los E,, Ex, ..., En, ya que, Vi=1,2,..., 1: (PAP) E,=(PA) (PE;) =(P-"4) U¿=P-(AU)=P-UAU)=ME;. Por tanto, en virtud de 35.9.1, D=P-LAP es una matriz diagonal, cuya diagonal principal está formada por los autovalores de A (cada uno tantas veces como indica su orden); resultado éste que equi- vale a decir que A es diagonalizable (por semejanza). b) Por el contrario, si A E Jlb,(K) no admite n vectores propios inde- pendientes, entonces no es diagonalizable (por semejanza). En efec- to: si lo fuese, su forma diagonal admitiría (35.9.1) 1 vectores pro- pios independientes y, en virtud de 35.7.2, también los admitiría A, en contra de lo supuesto. Puede, por tanto, enunciarse la siguiente proposición: 35.9.2.1. Caracterización de las matrices diagonalizables [por semejan- za). Una matriz AE JNo(K) es diagonalizable (por semejanza) si, y sólo si, admite n vectores propios linealmente independientes. Se verifica, por tanto, y en virtud de 35.8.2, que para que A sea diagonalizable es nece- sario y suficiente que se verifiquen los dos requisitos siguientes: aj) La matriz A admite, si se cuenta cada uno un número de veces igual a su orden de multiplicidad, exactamente » autovalores (per- .tenecientes a K). Cuando el cuerpo K es algebraicamente cerrado, y'en particular si es K=:T, esta condición se satisface para toda mátriz A E oK). b) El orden de cada uno de los autovalores de A es igual a la dimen- sión de su subespacio propio. 35.9.2.2. Proceso de diagonalización (por semejanza) de una matriz. Dada una matriz 4 € Mo,(K), si sus autovalores son hy, Az, ..., A,, de órde- nes respectivos 0, Aa, ..., 0%, Y llamando d,, d,, ...,d, a las dimensiones de los respectivos subespacios propios, correspondientes a cada autovalor, se Verifica que: 01+a7+...aj=Hn (si K es algebraicamente A. diagonalizable cerrado, esta condición se l (por semejanza) satisface siempre) Y. Ay para ¿=1,2, En el supuesto de que así ocurra, la forma diagonal de A es la matriz: AUTOVALORES. ENDOMORFISMOS DIAGONALIZABLES 621 donde la matriz PE GL,(X) puede escribirse, en términos de sus subma- trices columna, en la forma: p! pi P =[U,U,... Un], donde U;,= Eat, 14 es la matriz columna de las coordenadas del vecter 4. En la nueva base, la ecuación matricial de f será Y” (PAP) X”, esto es, la matriz asociada a f en la nueva base es A'=P-"AP, transformada (por semejanza) de A mediante la matriz regular P. En consecuencia, diagona- lizar el endomorfismo f se reduce a diagonalizar (por semejanza) la matriz AE No (K); de ahí que, en virtud de los resultados obtenidos en 35.9.2.1, se pueda enunciar: 35.9.3.1. Caracterización de los endomorfismos diagonalizables. Un en- domorfismo f: Y —>V, donde V es un espacio vectorial de dimensión » sobre un cuerpo K, es diagonalizable si, y sólo si, admite n vectores pro- pios linealmente independientes; esto es, f es diagonalizable si, y sólo si, se verifican las dos condiciones siguientes: a) El número de autovalores de f, si cada uno se cuenta tantas veces como indica su orden, es exactamente igual a n. Si K.es un cuerpo algebraicamente cerrado, -y en particular si K=C, esta exigencia se satisface para cualquiera que sea el endomorfismo f. b) El orden de cada uno de los autovalores de f es igual a la dimen- sión de su subespacio propio. Como consecuencia del proceso a seguir para diagonalizar (por seme- janza) una matriz diagonalizable (35.9.2.2), se obtiene: 359.32. Proceso de diagonalización de un endomorfismo. Dado un endomorfismo f: Y —>V, donde V es un espacio vectorial de dimensión n sobre un cuerpo K, sea A € Jlb,(K) la matriz asociada a f en una base £e1 €2 ..., €n) de V; si los autovalores de f (que son los mismos de A) son May Mas ---> Aj Si sus Órdenes respectivos son (tanto en f como en A) (1, Oz, ..-+ 0 y si las dimensiones de los respectivos subespacios propios son di, dy ....d, (dimensiones éstas que son las mismas para los subespacios de f que para los de A), entonces: Mt A an [f es diagonalizable] <> í di=0% (i Si así se verifica, f tiene asociada, en una cierta base, a la matriz diago- nal D, cuya diagonal principal es: £ £ Quo Ay Apo As 02 An 0 Ade En el supuesto de ser f diagonalizable, si %;1, U%;,2, ..-» Mt, g, E V, para i=1,2,...,r, son vectores propios linealmente independientes de f corres- 622 MATRICES DIAGONALIZABLES pondientes al autovalor A, entonces D es matriz asociada a f en la base de V: Últ + Bi do Udo +7 dar 1 Ur +++ Má, de Llamando U;,;, para ¿i=1,2,...,r y j=1,...,d, a la matriz columna de las coordenadas, en la base de partida, del vector w,;, las matrices U, 1, Us zo... U, son vectores propios linealmente independientes, de la matriz A, co- rrespondientes al autovalor A, Localizadas, pues, todas las matrices U, ;, los vectores 1, ¡ de la base que diagonaliza a f son ya conocidos. En ocasiones, interesan, más que la nueva base, las nuevas coordenadas; esto es, si (xl,a?,..., 1") son las coordenadas de un vector EV en la base de partida y X denota la matriz columna de dichas coordenadas, se buscan las coordenadas (x, x”,...,x”"), o su matriz columna X”, de dicho vector x en la base que diagonaliza a f, es decir, las coordenadas que per- miten expresar y=f(x) mediante: y =cp", y =ca?, . (C, Cz, ..., C. Son todos los autovalores de f). - ya=c an Estas nuevas coordenadas se obtienen, pues, de: X=PX”, con P=[Uy,1, ..., Up oy) U2,ro 009 Uzidos 0009 Uzjzo 0003 Ur, ad, esto es, las columnas de la matriz P € GL,(K) son, debidamente colocádas, las columnas de coordenadas de los vectores propios linealmente indepen- dientes 4;,;. 
