¡Descarga Apunte de Diagonalización y más Apuntes en PDF de Álgebra Lineal solo en Docsity!
Diagonalización de matrices Diagonalización de matrices
7.1. Matrices diagonalizables
Existen diversos procesos en los que el estado en cada uno de sus pasos se puede representar por un determinado vector y en los que, además, existe una relación ma- tricial entre el estado en cada paso y el estado en el paso anterior. Es decir, si Xk es el vector (columna) n -dimensional que representa el estado en el paso k , existe una matriz cuadrada A de tamaño n × n tal que
Xk = AXk − 1
En esta situación se tiene que
Xk = AXk − 1 = A ( AXk − 2 ) =
= A^2 Xk − 2 = A^2 ( AXk − 3 ) = A^3 Xk − 3 = · · · = AkX 0
donde X 0 representa el estado inicial.
Por tanto, conociendo el estado inicial X 0 y la potencia k -ésima de la matriz A es posible determinar el estado en el paso k , Xk , sin necesidad de determinar los estados intermedios.
Teniendo en cuenta cómo está definido el producto de matrices, no es fácil deter- minar cualquier potencia de una matriz arbitraria A ; pero en algunos casos sí que lo es.
Un primer caso en el que es posible hacerlo es si la matriz es diagonal. Llamaremos matriz diagonal a una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que no están en la diagonal principal; es decir a una matriz de la forma:
λ 1 0 0 · · · 0 0 λ 2 0 · · · 0 0 0 λ 3 · · · 0 .. .
0 0 0 · · · λn
2 Diagonalización de matrices
matriz que representaremos por Diag ( λ 1 ,... , λn ).
Si D = Diag ( λ 1 ,... , λn ) es una matriz diagonal se tiene que
D^2 = D D =
λ 1 0 0 · · · 0 0 λ 2 0 · · · 0 0 0 λ 3 · · · 0 .. .
0 0 0 · · · λn
λ 1 0 0 · · · 0 0 λ 2 0 · · · 0 0 0 λ 3 · · · 0 .. .
0 0 0 · · · λn
λ^21 0 0 · · · 0 0 λ^22 0 · · · 0 0 0 λ^23 · · · 0 .. .
0 0 0 · · · λ^2 n
y, de forma más general,
Dk^ = D D ︸ (^) ︷︷· · · D ︸ k veces
λk 1 0 0 · · · 0 0 λk 2 0 · · · 0 0 0 λk 3 · · · 0 .. .
0 0 0 · · · λkn
En conclusión, para este tipo de matrices es muy fácil calcular sus potencias.
Otra situación en la que es fácil calcular las potencias de una matriz es la siguiente:
Supongamos que A es una matriz cuadrada n × n que no es diagonal, pero existe una matriz inversible P tal que la matriz D = P −^1 A P sí que es diagonal. Entonces, como A = P D P −^1 , se tiene
Ak^ = A A ︸ (^) ︷︷· · · A ︸ k veces
= ( P D P −^1 ) ( P D P −^1 ) · · · ( P D P −^1 )
k veces
= P D ( P −^1 P ) D ( P −^1 · · · P ) D P −^1 = P D D ︸ ︷︷ · · · D ︸
k veces
P −^1 = P Dk^ P −^1
matriz que también se puede calcular fácilmente una vez conocidas las matrices P , inversible, y D , diagonal.
La situación anterior justifica la siguiente definición: Diremos que una matriz cuadrada A es una matriz diagonalizable si existe una matriz inversible P tal que la matriz
D = P −^1 A P
es una matriz diagonal.
En esta situación diremos que la matriz P diagonaliza a la matriz A o que es una matriz de paso en la diagonalización de A.
A continuación veremos métodos para determinar si una matriz A dada es o no diagonalizable y, en tal caso, cómo encontrar la matriz de paso P y la matriz diagonal D.
4 Diagonalización de matrices
En resumen, los vectores propios de una matriz A se encuentran de la siguiente forma:
Los valores propios de A son las raíces del polinomio característico pA ( λ ) = det ( λI − A ).
Para cada uno de estos valores propios, λ 0 , sus vectores propios asociados son las soluciones no nulas del sistema homogéneo ( λ 0 I − A ) X = 0.
Así, el cálculo de los autovalores se reduce al cálculo de las raíces de un polinomio. Conocidos los autovalores, el cálculo de los autovectores correspondientes se reduce a solucionar un sistema homogéneo de ecuaciones lineales. Muchas veces, calculados estos autovectores, es muy fácil extraer de ellos una base y entonces podemos diagonalizar la matriz.
Diagonalización
Veamos, a través de algunos ejemplos, distintas situaciones que se nos puede pre- sentar a la hora de estudiar la posible diagonalización de una matriz.
Ejemplo 7.1. Dada la siguiente matriz A , calcular sus valores y vectores propios, extraer de éstos una base y encontrar, si es posible, una matriz P que diagonalice a A :
A =
El polinomio característico de A es
pA ( λ ) = | λI − A | =
λ − 1 − 2 − 2 1 λ − 4 − 1 2 − 2 λ − 5
= λ^3 − 10 λ^2 + 33 λ − 36 = ( λ − 3)^2 ( λ − 4)
Por tanto A tiene dos valores propios: λ 1 = 3, con multiplicidad dos, y λ 2 = 4, con multiplicidad uno.
Para hallar los vectores propios asociados a λ 1 = 3 resolvemos el sistema homogéneo con matriz de coeficientes 3 I − A :
x y z
α + β α β
(^) = α
+ β
Se dice entonces que los vectores ~v 1 = (1 , 1 , 0) t^ y ~v 2 = (1 , 0 , 1) t^ son generadores de los vectores propios asociados a λ 1 = 3, en el sentido de que éstos se obtienen variando los parámetros en la expresión α~v 1 + β~v 2. El número de parámetros coincide, en este caso, con la multiplicidad del valor propio.
Para hallar los vectores propios de λ 2 = 4 resolvemos el sistema con matriz 4 I − A :
x y z
2 γ γ 2 γ
(^) = γ
7.1 Matrices diagonalizables 5
de modo que ~v 3 = (2 , 1 , 2) t^ genera los vectores propios asociados a λ 2 = 4. Cuando la multiplicidad de un valor propio es uno, como en este caso, aparece necesariamente un único parámetro.
La matriz que tiene los vectores ~vi en sus columnas
~v 1 =
(^) ~v 2 =
(^) ~v 3 =
P =
es invertible (pues | P | = − 1 6 = 0) y por tanto B = { ~v 1 , ~v 2 , ~v 3 } es una base de vectores propios, A es diagonalizable y P es una matriz de paso. Esto significa que
P −^1 AP = D = Diag (3 , 3 , 4)
donde D es la matriz cuya diagonal está los valores propios de los ~vi en el orden adecuado.
La igualdad P −^1 AP = D equivale a AP = P D (multiplicando a la izquierda por P ), que es mucho más fácil de comprobar que la primera porque no hay que calcular P −^1 y porque D es diagonal.
Ejemplo 7.2. Dada la siguiente matriz A , calcular sus autovalores y autovectores, y encontrar una matriz P que diagonalice a A :
A =
El polinomio característico de A es
pA ( λ ) = | λI − A | =
λ − 8 2 − 6 − 3 λ − 1 − 3 9 − 3 λ + 7
= λ^3 − 2 λ^2 − 4 λ + 8 = ( λ − 2)^2 ( λ + 2)
y por tanto A tiene dos autovalores λ 1 = 2, con multiplicidad dos, y λ 2 = −2, con multiplicidad uno. Para hallar los autovectores resolvemos los sistemas homogéneos con matrices 2 I − A y − 2 I − A.
(2 I − A ) →
x y z
(^) = α
+ β
También dos parámetros, igual que su multiplicidad.
(− 2 I − A ) →
7.2 Aplicaciones 7
x y z
(^) = α
(^) (su multiplicidad era dos)
(2 I − A ) →
x y z
(^) = β
Por tanto los vectores propios son múltiplos de ~v 1 = (1 , 0 , 0) t^ o de ~v 2 = (0 , 1 , 2) t. Tres de estos vectores no pueden formar una base, porque al menos dos son propor- cionales. En consecuencia no existe una base de vectores propios y por tanto A no es diagonalizable. Para el valor propio 1, el número de parámetros es menor que su multiplicidad en el polinomio característico.
En resumen, si n es el tamaño de una matriz A y m es el número total de generadores de sus vectores propios (o lo que es lo mismo, el número total de parámetros que aparecen al resolver los sistemas homogéneos asociados a los valores propios), se tiene:
Si m = n entonces A es diagonalizable (el número de parámetros para cada valor propio coincide con su multiplicidad) y ya hemos visto en los ejemplos cómo construir una base de vectores propios, o una matriz de paso.
Si m < n entonces A no es diagonalizable (no hay suficientes vectores propios para formar una base, bien porque no hay suficientes valores propios o bien porque para alguno de ellos el número de parámetros es menor que su multiplicidad).
El caso m > n no puede ocurrir.
Se verifica que si una matriz cuadrada A de tamaño n tiene n valores pro- pios distintos, entonces es diagonalizable ; para cada uno de sus valores propios podremos encontrar un vector propio de forma que todos ellos juntos formen una base.
7.2. Aplicaciones
Ecuaciones en diferencias
Las ecuaciones en diferencias lineales con coeficientes constantes (homogéneas) son expresiones de la forma:
xn + r + a 1 xn + r − 1 + · · · + ar xn = 0
Son expresiones que relacionan linealmente un determinado número de términos consecutivos de una sucesión. La diferencia entre el mayor y el menor índice de los términos relacionados se denomina orden de la ecuación (en el caso anterior r ).
La diagonalización de matrices puede ayudar a encontrar la expresión del término general xn de la sucesión en función de n. Veamos un ejemplo.
8 Diagonalización de matrices
Ejemplo 7.4. Encontrar el término general de la sucesión de Fibonacci:
xn +1 = xn + xn − 1 con x 0 = 1 , x 1 = 1
A partir de la sucesión { xn } podemos construir otra auxiliar
Yn =
xn xn − 1
De esta forma, la condición que define la sucesión de Fibonacci se transforma en la siguiente relación matricial:
Yn +1 =
xn + xn
xn + xn − 1 xn
xn xn − 1
Por lo que
Yn +1 = A Yn = A^2 Yn − 1 = · · · = An^ Y 1 = An
x 1 x 0
Como A =
, su polinomio característico pA ( λ ) es
∣ ∣ ∣ ∣
λ − 1 − 1 − 1 λ
∣ =^ λ
(^2) − λ − 1 =
λ −
λ −
La matriz A es diagonalizable, con forma diagonal y matriz de paso dadas por
D =
y P =
y el término general xn +1 de la sucesión de Fibonacci se puede calcular a partir de la expresión: (^) ( xn + xn
= An
x 1 x 0
= P DnP −^1
Sistemas de ecuaciones en diferencias
Un sistema de ecuaciones en diferencias lineales de primer orden con coeficientes constantes (homogéneo) es, por ejemplo, un sistema de la forma:
xn +1 = a 11 xn + a 12 yn + a 13 zn yn +1 = a 21 xn + a 22 yn + a 23 zn zn +1 = a 31 xn + a 32 yn + a 33 zn
Es decir, expresa una relación lineal entre los términos de unas determinadas suce- siones y sus términos inmediatamente anteriores.
Si denotamos por Sn a la matriz columna formada por términos enésimos de las tres sucesiones, este sistema se puede expresar matricialmente de la forma
Sn +1 = A Sn
10 Diagonalización de matrices
Así, podemos obtener el término general de ambas sucesiones ( xn yn
) n ( x 0 y 0
= P DnQ
(7 / 10) n^ 0 0 1
300000 − 2 10^5 − n^ 7 n 2 10^5 − n^ 7 n^ + 600000
y podemos determinar el número de habitantes dentro y fuera de la capital al cabo de 20 años, xn = 299840_._ 4154674048 (≈ 299840) e yn = 600159_._ 5845325952 (≈ 600160). Calculando los límites, cuando n tiende a ∞, de ambas sucesiones
l´ım n →∞ xn = l´ım n →∞ (300000−2 10^5 − n^ 7 n ) = 300000 l´ım n →∞ yn = l´ım n →∞ (600000+2 10^5 − n^ 7 n ) = 600000
encontramos que la tendencia a largo plazo es que en la capital vivan 300000 personas y fuera de ella 600000.
Sistemas diferenciales lineales con coeficientes constantes
Un sistema diferencial lineal con coeficientes constantes (homogéneo) es, por ejem- plo:
f (^) 1 ′( x ) = a 11 f 1 ( x ) + a 12 f 2 ( x ) + a 13 f 3 ( x ) f (^) 2 ′( x ) = a 21 f 1 ( x ) + a 22 f 2 ( x ) + a 23 f 3 ( x ) f (^) 3 ′( x ) = a 31 f 1 ( x ) + a 32 f 2 ( x ) + a 33 f 3 ( x )
Es decir, expresa una relación lineal entre las derivadas de unas funciones y las propias funciones.
Si denotamos por Y a la matriz columna formada por las tres funciones y por Y ′ a la formada por sus derivadas, este sistema se puede expresar matricialmente de la forma Y ′^ = A Y Supongamos que la matriz A es diagonalizable con matriz diagonal D y matriz de paso P , se tendrá que P −^1 AP = D. Entonces, si se introducen funciones auxiliares Z que dependan linealmente de las iniciales a traves de la matriz P −^1 , es decir, de la forma Z = P −^1 Y ( Y = P Z ), cada una de las nuevas funciones será combinación lineal de las anteriores y, teniendo en en cuenta las propiedades de las derivadas, se tendrá que Z ′^ = P −^1 Y ′^ = P −^1 AY = P −^1 AP Z = DZ
y, como D es una matriz diagonal, cada una de la nuevas funciones cumplirá una igualdad ade la forma g ′( x ) = αg ( x ), por lo que será de la forma g ( x ) = Ceαx.
Las funciones iniciales, Y = P Z , serán, entonces, combinaciones lineales de expo- nenciales en cuyos exponentes aparecen precisamente los valores propios de la matriz A.
