Resumen 5: Diagonalización de matrices
1 Valores propios y vectores propios
Si se cumple que Av =λv(respectivamente f(v)=v) entonces ves un vector propio,delamatriz
A(respectivamente del endomorfismo f), y λun valor prop i o,delamatrizA(respectivamente del
endomorfismo f), asociado a v.
Los vectores propios son no nulos pero el escalar λ=0sí puede ser valor propio.
Observación: Sea fun endomorfismo de RnyAla matriz asociada a frespecto de la
base canónica Cde Rn. Entonces los valores propios (y los vectores propios) de fydeA
son los mismos. Esto se debe a que f(v)=Av para cualquier vector v.
El núcleo de una matriz Ade orden n×nes ker A={v∈Rn:Av =0}. Es un subespacio de Rn
cuyas ecuaciones implícitas tienen por matriz de coeficientes A. Su dimensión es dim ker A=n−r(A).
2 Polinomio característico
El polinomio característico de una matriz cuadrada A(de tamaño n×n)es|A−λI|.Este
polinomio es de grado nysus raíces son precisamente los valores propios de la matriz.
La suma de las multiplicidades de los valores propios de la matriz es como mucho el
tamaño de la matriz.
Los valores propios de una matriz triangular (superior o inferior) son los elementos
de la diagonal principal.
Propiedad: Dos matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico, y por tanto, los
mismos valores propios y las mismas multiplicidades.
Se llama polinomio característico de un endomorfismo al de cualquiera de sus matrices
asociadas.
3 Subespacios propios
El subespacio propio de la matriz Aasociado al valor propio λes
Nλ=ker(A−λI)={v∈Kn|(A−λI)v=0}={v∈Kn|Av =λv}
Está formado por todos los vectores propios de la matriz Aasociados al valor propio λ,
además del vector 0.
Propiedades: Para cada valor propio λde una matriz cuadrada Ade orden nse tiene que:
1. ker(A−λI)6=0(es decir, dim(ker(A−λI)) ≥1).
2. dim[ker(A−λI)] ≤m(λ).
3. dim[ker(A−λI)] = n−r(A−λI).
Propieda ˙
d: Vectores propios asociados a distintos valores propios son LI; o dicho de otro modo,
la suma de los subespacios propios es directa. Esto se traduce en que la unión de bases de
cada subespacio propio resulta ser una base de la suma de los subespacios propios.
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