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TEMA 1
ANÁLISIS ESTADÍSTICO
UNIDIMENSIONAL
2
PROGRAMA
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Tema 1: Análisis estadístico unidimensional
Tema 2: Análisis estadístico bidimensiona l
Tema 3: Números índices
Tema 4: Introducción a las series temporales
TEORÍA DE LA PROBABILIDA D
Tema 5: Teoría de la probabilidad. Aspectos generales
Tema 6: Variables aleatorias unidimensiona les
Tema 7: Variables aleatorias bidimensionales
Tema 8: Características de las distribuciones de probabilidad
Tema 9: Distribuciones de probabilidad discretas y continuas
Tema 10: Convergencia
OTROS EJEMPLOS
- Definir el concepto de Estadística.
- Conocer el lenguaje estadístico básico.
- Clasificar, organizar, representar y resumir la información.
- Cálculo de medidas que sintetizan la información
PRINCIPALES OBJETIVOS DEL TEMA
- Población y muestra.
- Variable y atributo.
- Frecuencias y distribución de frecuencias.
- Promedios.
- Cuantiles.
- Momentos.
- Varianza.
- Simetría.
- Curtosis.
PRINCIPALES CONCEPTOS DEL TEMA
Introducción.
Definiciones base.
Frecuencias y distribuciones de frecuencias.
Representaciones gráficas.
Medidas
- Medidas de posición
- Medidas de tendencia central
- Medidas de tendencia no central
- Medidas de dispersión
- Absolutas
- Relativas
- Los momentos
- Medidas de forma
- Medidas de simetría
- Medidas de curtósis
ESTRUCTURA DEL TEMA
Concepto de Estadística (RAE)
- f. Estudio de los datos cuantitativos de la población, de los recursos
naturales e industriales, del tráfico o de cualquier otra manifestación de
las sociedades humanas.
f. Conjunto de estos datos.
f. Rama de la matemática que utiliza grandes conjuntos de datos
numéricos para obtener inferencias basadas en el cálculo de
probabilidades.
1. INTRODUCCIÓN
ESTADÍSTICA:
A) Como colección de datos numéricos
B) Ciencia (Obtener regularidades de fenómenos en masa)
“La Estadística se configura como la tecnología del método científico
que proporciona instrumentos para la toma de decisiones cuando
éstas se adoptan en ambiente de incertidumbre, siempre que esta
incertidumbre pueda ser medida en términos de probabilidad.
Por ello la Estadística se preocupa de los métodos de recogida y
descripción de datos, así como de generar técnicas para el análisis de
esta información”. (Martín Pliego)
La Estadística es la ciencia de la
- sistematización, recogida, ordenación y presentación de los datos referentes a un fenómeno que presenta variabilidad o incertidumbre para su estudio metódico, con objeto de
- deducir las leyes que rigen esos fenómenos
- y poder hacer previsiones sobre los mismos, tomar decisiones u obtener conclusiones.
Estadística
Descriptiva
Probabilidad Inferencia
Estadística
Descriptiva Probabilidad
Método científico deductivo Método científico inductivo
2. DEFINICIONES BASE
DATOS U OBSERVACIONES
VALORES
VARIABLES
CUANTITATIVOS
MODALIDADES
ATRIBUTOS
CUALITATIVOS
CARACTERÍSTICAS O CARACTERES
POBLACIÓN O UNIVERSO (ELEMENTOS)
FENÓMENO Y EXPERIMENTOS
Distintos tipos de variables: Métodos específicos de análisis estadístico
I. Atendiendo al nº de caracteres analizados:
- Unidimensionales: un solo carácter.
- Multidimensionales (bidimensionales, tridimensionales,…): dos o
más caracteres.
II. Atendiendo al nº de valores posibles de las variables:
- Discretas: Pueden tomar un número finito, o infinito numerable, de valores, es decir, entre dos consecutivos no puede tomar un tercero
(Ej. Nº de trabajadores).
- Continuas: Pueden tomar cualquier valor real dentro de un cierto
intervalo (Ej. Altura).
- Mixtas: se comportan como continuas en parte de su recorrido y
como discretas en otro.
III. Atendiendo al periodo de observación:
- Stock o nivel: cuantificada en un instante en el tiempo.
Ej. Riqueza en 2010, es decir, lo que se ha acumulado en el pasado hasta
esa fecha.
- Flujo: cuantificada en un intervalo de tiempo por lo que será medida por
unidad de tiempo.
Ej. Ingreso anual en 2010.
IV. Atendiendo a la temporalidad:
- Temporal, serie cronológica, serie de tiempo o serie histórica: integrada por observaciones en distintos momentos del tiempo, de modo
que existe una ordenación en el tiempo de los elementos de la población.
La población es un determinado periodo de tiempo, siendo los elementos poblacionales los intervalos de tiempo que tomamos como unidad.
Ej. Paro mensual en 2012 (por meses).
- Atemporal o de corte transversal: integrada por observaciones obtenidas en un mismo periodo de tiempo.
Ej. Paro anual en 2012 por CCAA
- Datos de Panel: combinación de ambas
Distintos tipos de atributos: Métodos específicos de análisis estadístico
- Nominales: aquellos cuyas modalidades solo permiten realizar una
diferenciación entre ellas, sin que sea posible una ordenación. Ejemplo:
Atributo: carrera elegida.
Modalidades: Económicas, Derecho, Medicina, etc.
- Ordinales: aquellos cuyas modalidades admiten un orden implícito,
permitiendo así no solo diferenciar sino también ordenar. Ejemplo:
Atributo: opinión sobre una publicación.
Modalidades: Excelente, buena, regular y mala.
Distintos tipos de atributos: Métodos específicos de análisis estadístico
- Nominales: aquellos cuyas modalidades solo permiten realizar una
diferenciación entre ellas, sin que sea posible una ordenación. Ejemplo:
Atributo: carrera elegida.
Modalidades: Económicas, Derecho, Medicina, etc.
- Ordinales: aquellos cuyas modalidades admiten un orden implícito,
permitiendo así no solo diferenciar sino también ordenar. Ejemplo:
Atributo: opinión sobre una publicación.
Modalidades: Excelente, buena, regular y mala.
Existe la posibilidad de estudiar una variable en forma de atributo, mediante una simple agrupación de los valores en modalidades. Ejemplo:
variable: la estatura. valores (en cm.): 150, 156, 159, 164, 169, 178,.......
modalidades: alto, mediano y bajo.
Por tanto, en algunos casos los atributos se crean por agrupaciones de datos de una variables. Ej. Edad - > Grupos de edad.
Sin embargo, un atributo no puede estudiarse como una variable, ni aún
en el caso de que optemos por expresar las modalidades numéricamente. Ejemplo: alto = 1; mediano = 2; bajo = 3.
DATOS U OBSERVACIONES, Como resultado de la medida u observación del carácter o caracteres de los elementos de una población,
obtenemos un conjunto numérico o no, denominado conjunto de datos o
conjunto de observaciones.
**Recogida de datos Ordenación de datos
*Se dispone de N observaciones de la variable X
*Se ordenan de menor a mayor
*Se construye la tabla de frecuencias
Frecuencia absoluta ni
Frecuencia relativa fi = ni / N
Frecuencia absoluta acumulada
Frecuencia relativa acumulada^ Fi = Ni / N
xx i
Ni ni
Frecuencia total^ N
xx i
Fi fi
TIPOS DE FRECUENCIAS:
3. FRECUENCIAS Y DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS
Frecuencia absoluta: número de veces que aparece repetido el valor
(o modalidad) xi en el conjunto de las N observaciones disponibles.
Frecuencia relativa: tanto por uno de las observaciones de xi que hay
en el total de observaciones N.
Frecuencia absoluta acumulada: suma de las frecuencias absolutas de
los diferentes valores de X inferiores o iguales a xi.
Frecuencia relativa acumulada: suma de las frecuencias relativas de los valores diferentes inferiores o iguales a xi. Indica el tanto por uno
de observaciones que existen hasta xi inclusive respecto al total de
observaciones.
Observaciones
n (^) i N i
n
1
fi i
n
^ 1
N (^) n N
Fn 1
0 n (^) i N
0 fi 1
EJ EM PLO. En una e mpresa con 20 e mplea dos, 5 perciben un sala rio me nsua l de 1. 500 €, 3 de 2. 000 €, 7 de 2. 500 €, 4 de 3. 000 € y 1 de 3. 500 €. Construir la tabla de frecuencias.
EJ EM PLO. En una determinada re gión en 2010 los a ccidentes laborales con baja, según su graveda d, fueron: Leves: 172. 671 Graves: 2. 076 Mortales: 215. Construir la tabla de frecuencias.
Distribución de frecuencias: conjunto de valores posibles de una variable (o modalidades de un atributo) con sus respectivas frecuencias
Tipos de distribución de frecuencias:
- No agrupadas en intervalos:
1.1. Con frecuencias unitarias: Distribución Tipo I (Pocas
observaciones y escasa variabilidad)
1.2. Con frecuencias no unitarias: Distribución Tipo II (Muchas
observaciones y escasa variabilidad)
- Agrupadas en intervalos: Distribuciones Tipo III (Muchas observaciones
y mucha variabilidad)
Porcentaje de profesoras y profesores en distintos paises
Carne de cerdo consumida en dos ciudades
Julio 2010 : 197.221 Agosto 2010: 108.
Total vehículos matriculados en España
Ejemplo real de un pictograma
CARTOGRAMA
Atributos
Ej. Venta de coches en España en 2010 Diagrama^ de barras
NÚMERO DE LLAMADAS xi Frecuencia 0 40 1 26 2 14 3 6 4 3 6 1 Total 90
La suma de las alturas de las barras es 90 porque hemos representado frecuencias absolutas.
Número de llamadas
frecuencias
0
10
20
30
40
(^0 1 2 3 4 5 )
DIAGRAMA DE BARRAS :
- Atributos y variables discretas
- Sobre cada valor o modalidad se levanta una barra cuya
altura es proporcional a su frecuencia (absoluta o relativa)
- Base elegida por el investigador, pero constante
Distribución del número de hermanos de una muestra de 500 alumnos de la URJC
Nº Hermanos 0 1 2 3 4 5 6 Más de 6
Frecuencia 72 155 97 81 30 27 20 18
Localizado Familia Clientes Emergencias Amigos Mensajes
Distribución del Motivo de compra de teléfono móvil Característica Frecuencia Frec. relativa Estar localizado 47 0’ Llamar a mi familia 25 0’ Hablar con mis clientes 12 0’ Usar en caso de emergencia 11 0’ Charlar con los amigos 3 0’ Enviar mensajes por pantalla 2 0’ fi Total 100 1
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
40000
Frecuencia absoluta
Pa ro reg istrad o
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 1 2 3 4 5 6
Diagrama de escalera
Xi n i Ni
0 7 7
1 12 19
2 10 29
3 5 34
4 3 37
5 2 39
6 1 40
DIAGRAMA DE ESCALERA :
Ni
Una alternativa sería presentar en el eje de ordenadas Fi en vez de Ni
0
2
4
6
8
10
12
14
0 2 4 6 8
ni
xi
Nube de puntos
X i n i
0 7
1 12
2 10
3 5
4 3
5 2
6 1
NUBE DE PUNTOS :
Variables
5. MEDIDAS
Resumen de la información contenida en la tabla de frecuencias
Representaciones gráficas
Características de una distribución de frecuencias:
- Medidas de posición
- Medidas de dispersión
- Medidas de forma
Reducción de datos
Consiste en sustituir los datos, por unos pocos valores numéric os que resumen sus características, evitando así tener que manejar todos los datos.
65
CRITERIOS BASICOS PARA SU UTILIZACIÓN:
- Siempre calculable.
- Es única.
- Es el centro de gravedad de la distribución.
- Su valor depende de todas las observaciones.
- Es la medida de posición más adecuada en caso de distribuciones
en escala cardinal (escala que diferencia entre categorías, establece un orden y permite cuantificar las diferencias).
- Se ve muy afectado por las observaciones extremas. Si existen
este tipo de observaciones en la distribución puede ser una medida escasamente representativa.
66
xi ni xi* ni
x 1 =0 n 1 =7 0
x 2 =1 n 2 =12 12
x 3 =2 n 3 =10 20
x 4 =3 n 4 =5 15
x 5 =4 n 5 =3 12
x 6 =5 n 6 =2 10
x 7 =6 n 7 =1 6
Ejemplo: Calcular el número medio de hijos por
familia
hijosporfamilia
xn N
x
n
i
i i
1 , 875 40
75
1
1
(^)
67
Ejemplo:
Calcular el salario medio por día de los 18 trabajadores de la empresa.
153 , 889 €/trabajador
1
N
xn
x
i
n
i
i
Li- 1 - Li ni xi xini
N=18 2770
153,889 es el valor representativo
de la distribución de frecuencias (centro de gravedad de la
distribución): si todos los
trabajadores ganaran 153, euros, el montante global de los
salarios sería igualmente
153,889 x 18 = 2.770 euros al día
Salario total a repartir 68
Propiedades de la media aritmética:
- La suma de las desviaciones de los valores de la variable respecto a su
media es cero.
Demostración:
n
i
i i
x xn
1
( ) 0
1
1
1 1 1
N x n xN x N
N
xn
x xn xn xn
n
i
i
n
i
n ii
i
n
i
ii i
n
i
i i
69
x c n c x
N
n
i
i i
( ) mínimo si
1
1
2
n c x esunmín N
f c
x cn c x N
x cn N
f c
x c n N
fc
n
i
i
n
i
n
i
i i i i
n
i
i i
1
''
1 1
1
2
- La media de las desviaciones al cuadrado de los valores de la variable
respecto a una constante c se hace mínima cuando c es la media aritmética.
71
- Cambio de origen: Si a todos los valores de una variable se les suma
(o resta) una cantidad constante “b”, entonces su media también queda aumentada (o en su caso disminuida) en esa constante.
y x b y x b
x x
i i
i
bn x b
N
xn
N
x bn
N
yn
N
y i
n
i
n
i
i i ii
n
i
n
i
(^) i i
1 1 1 1
72
Ejemplo: Calcular el salario medio de los 18 trabajadores de la empresa si
a todos se les incrementa el suelo semanal en 10 €.
163 , 889 € /trabajador
1
'
'
N
xn
x
i
n
i
i
x’i ni x’ini
N=18 2950
153 , 889 10 163 , 889 € /trabajador
'
x x
73
y ax y ax
x x
i i
i
xn ax
N
axn a
N
axn
N
yn
N
y
n
i
ii
n
i
i i ii
n
i
n
i
(^) i i
1 1 1 1
- Cambio de escala: Si se multiplican (o dividen) todos los valores de una variable por una cantidad constante “a”, entonces su media
también queda multiplicada (o en su caso dividida) por “a”.
x y ax b y ax b i i i
- Transformación lineal: cambio de origen y cambio de escala:
78
Hay ocasiones en las que la media
aritmética no representa el valor medio
Ejemplo: La evolución del sueldo de una persona durante 5 años.
x 8 ' 31 %
Año Sueldo Variación anual 1990 1.
1991 1.50 25.
1992 1.70 13.
1993 1.50 - 11.
1994 1.60 6.
Año Sueldo
1990 1.
1991 1.
1992 1.
1993 1.
1994 1.
79
MEDIA ARMÓNICA
PROPIEDADES:
- La inversa de la media armónica es la media aritmética de los inversos
de los valores de la variable.
- Le afectan los cambios de origen, , pero de distinto modo que a la
media aritmética.
- Le afectan los cambios de escala de igual modo que a la media
aritmética.
i
n
i
i
x
n
N
H
1
80
CRITERIOS BASICOS PARA SU UTILIZACIÓN:
- Es la medida de posición más adecuada en caso de promediar datos
cuyas unidades de medida son cocientes entre magnitudes. (ej. Km
por hora, productividades,…).
- Carece de sentido si algún valor observado es cero.
- Su valor depende de todas las observaciones y se ve muy afectado
por los valores anormalmente extremos y pequeños.
81
Ejemplo: Calcule la velocidad media de un vehículo que ha recorrido una distancia de 2000 km. con los siguientes datos:
velocidad distancia
50 km/h 400 km
60 km/h 600 km
100 km/h 1000 km
kmh
tiempototalempleado
espaciototalrecorrido
H 71 ' 4 /
x 78 km / h
83
Ejemplo: suponemos que una empresa dispone de máquinas con 3
tipos de productividad diaria (producción/día), de acuerdo con la siguiente distribución de frecuencias (el número de máquinas de cada
tipo salen de dividir la producción diaria de cada uno entre la
productividad):
x(i)=tipos de máquina x(i)= productividad n(i) producción nº máquinas A 100 3000 30 B 150 4500 30 C 200 6000 30 N 13500
La media armónica de las productividades será:
150
200
6000
150
4500
100
3000
13500
H
Nótese que si cada una de las 90 máquinas tuviera una productividad equivalente a la media armónica, la producción total sería 150 x 90 = 13500, la producción total. 84
Se define como la raíz N-ésima del producto de los valores de la variable
MEDIA GEOMÉTRICA
N
n
i
n i
i G (^) x
1 PROPIEDADES:
- Le afectan los cambios de origen, , pero de distinto modo que a la media aritmética.
- Le afectan los cambios de escala de igual modo que a la media aritmética.
- El logaritmo de la media geométrica es la media aritmética de los
logaritmos de los valores de la variable. Así, para calcularla se suelen tomar logaritmos y luego utilizar la función exponencial.
i i
n i
n k
n n k
n
n x N
x N
x x N
x x N
G
i
k k
log
1 log
1
(log ...log )
1 log( ... )
1 log 11 11
85
CRITERIOS BASICOS PARA SU UTILIZACIÓN:
- Es la medida de posición más adecuada en caso de promediar datos
que presentan variaciones acumulativas (ej. porcentajes, tasas, nºs índices, intereses anuales, inflación,...)
- No es aplicable si algún valor observado es cero o negativo
- Su valor depende de todas las observaciones
- Los valores extremos le afectan menos que a la aritmética
86
xi ni logxi nilogxi
log
- 39824
G G
Ejemplo: Calcule la media geométrica de los siguientes valores
94
Es la medida más representativa en distribuciones en escala ordinal.
En su cálculo intervienen todas las observaciones, pero en su valor
sólo influye el orden de las mismas.
En su determinación no intervienen todos los valores de la variable,
sólo los valores centrales.
Es insensible a los valores extremos o “outliers ”.
Su uso es conveniente cuando los datos son asimétricos.
Le afectan los cambios de origen y escala igual que a la media
aritmética.
La mediana hace mínima la suma de todas las desviaciones
absolutas:
Propiedades:
n
i
i i
n
i
i i k
x kn x Men
1 1
min
Propiedades:
95
A) Cálculo para estadísticas no agrupadas
- Calculamos las frecuencias absolutas acumuladas (Ni )
- Calculamos N/
- Buscamos el primer xi tal que Ni > N/
- Si Ni = N/2, la mediana es la media aritmética entre el correspondiente valor y el siguiente.
- Si hay alguna frecuencia que sea estrictamente mayor,
me quedo con ese xi
xi ni Ni
Ejemplo:
N/2=
Me = (2+1)/2=1’
Ejemplo:
xi ni Ni
N/2=3’
Me = 2
96
B) Cálculo para estadísticas agrupadas en intervalos
- Calculamos las frecuencias absolutas acumuladas (Ni )
- Calculamos N/
- Buscamos el primer intervalo tal que Ni > N/2, que será el intervalo
mediano (Li- 1 , Li)
- Suponiendo que los valores de la variable están uniformemente
distribuidos dentro del intervalo mediano, la mediana vendrá dada por la expresión:
i i
i
i c
n
N
N
Me L
1
1
Ejemplo:
Int. ni Ni
N/2=
Me pertenece al intervalo 12- 20
8 19 ' 38 13
19 7 12
Me 97
Es el valor de la variable que se repite un mayor número de veces. Puede no existir (variable amodal), puede ser única (unimodal) o
puede existir más de un valor modal (plurimodal o multimodal).
Le afectan los cambios de origen y escala igual que a la media aritmética.
Propiedades:
MODA
A) Cálculo para estadísticas no agrupadas
La moda será el valor, o valores, con mayor ni.
98
B) Cálculo para estadísticas agrupadas en intervalos
1. Intervalos de igual amplitud
- Determinamos el intervalo modal como aquel con mayor frecuencia
- Consideramos que dentro de dicho intervalo la Mo esta en un punto
para el que las distancias a los extremos superior e inferior son inversamente proporcionales a las frecuencias de los intervalos
contiguos a dichos extremos respectivamente.
i i i
i
i c
n n
n
Mo L
1 1
1 1
2. Intervalos de distinta amplitud
- Determinamos el intervalo modal como aquel con mayor densidad de
frecuencia.
- Bajo el mismo supuesto anterior, pero trabajando con densidades de
frecuencia, la Mo viene dada por la siguiente expresión:
i i i
i i
c
d d
d
Mo L
1 1
1 (^199)
Ejemplo
xi ni
Mo = 2
Int. ni
Ejemplo
Mo
Int. ni
0 - 1 2
1 - 3 6
3 - 6 6
6 - 10 9
Ejemplo
Mo
di
2
3
2
2’
Intervalo modal
100
Relación entre Media Aritmética, Mediana y Moda:
3 ( x Me ) x Mo
101
5.1.2. MEDIDAS DE TENDENCIA NO CENTRAL
Cuantíl de orden r es el conjunto de (k- 1 ) valores que dividen la distribución en k intervalos de igual frecuencia, es decir, en k intervalos
que comprenden el mismo número de observaciones.
nº de intervalos de
igual frecuencia (k)
Denom inación y sím bolo
Nº de valores (k-1)
Porcentaje de observaciones
4 5 10 100
1000
Cuartiles (C) Quintiles (Q) Deciles (D) Centiles o Percentiles (P) Mililes (M)
3 4 9 99
999
25 % 20 % 10 % 1 %
0,1 %
