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Estadística

Antonio Jara Sánchez-Caro

30 de mayo de 2003

Descripción del documento

Este documento corresponde a la asignatura de Estadística del segundo curso de la Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas de la Universidad Alfonso X el Sabio. Está basado en las notas de clase de la profesora Luisa Fernanda Rodríguez Hevia.

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• 1. Estadística Descriptiva
  • 1.1. Introducción.
  • 1.2. Variables Estadísticas.
  • 1.3. Variables Cuantitativas Discretas y Contínuas.
  • 1.4. Frecuencias.
    • 1.4.1. Frecuencia Absoluta ( ni ).
    • 1.4.2. Frecuencia Relativa ( fi ).
    • 1.4.3. Frecuencia Absoluta Acumulada ( Ni ).
    • 1.4.4. Frecuencia Relativa Acumulada ( Fi ).
  • 1.5. Distribución de Frecuencias.
    • 1.5.1. Distribuciones no agrupadas.
    • 1.5.2. Distribuciones agrupadas.
  • 1.6. Amplitud del Intervalo y Marca de Clase.
    • 1.6.1. Amplitud del Intervalo ( ci ).
    • 1.6.2. Marca de Clase ( xi ).
  • 1.7. Representaciones Gráficas.
    • 1.7.1. Diagrama de Barras.
    • 1.7.2. Diagrama de Frecuencias Acumuladas.
    • 1.7.3. Histograma de Frecuencias.
    • 1.7.4. Polígono de Frecuencias Absolutas.
    • 1.7.5. Polígono de Frecuencias Acumuladas.
  • 1.8. Medidas de Posición.
    • 1.8.1. Media Aritmética ( x ).
    • 1.8.2. Mediana ( Me ).
    • 1.8.3. Moda ( Mo ).
    • 1.8.4. Cuantiles ( CN ).
  • 1.9. Medidas de Dispersión.
    • 1.9.1. Recorrido o Rango.
    • 1.9.2. Recorrido Intercuantílico.
    • 1.9.4. Desviación Típica ( Sx ).
    • 1.9.5. Coeficiente de Variación de Pearson ( CV ).
    • 1.9.6. Variable Tipificada ( zi ).
  • 1.10. Momentos de la Distribución.
    • 1.10.1. Momentos respecto al origen. Índice general
    • 1.10.2. Momentos respecto a la media.
• 2. Variables Estadísticas Bidimensionales
  • 2.1. Introducción.
  • 2.2. Distribuciones Conjuntas.
  • 2.3. Representaciones Gráficas.
  • 2.4. Distribuciones Marginales.
  • 2.5. Distribuciones Condicionadas.
  • 2.6. Independencia Estadística.
  • 2.7. Momentos de una distribución bidimensional.
    • 2.7.1. Momentos con respecto al origen.
    • 2.7.2. Momentos con respecto a la media.
  • 2.8. Regresión Lineal.
  • 2.9. Coeficiente de Correlación Lineal.
  • 2.10. Coeficiente de Determinación.
• 3. Teoría de la Probabilidad
  • 3.1. Fenómenos Deterministas y Aleatorios.
  • 3.2. Espacio Muestral.
  • 3.3. Sucesos y Tipos de Sucesos.
  • 3.4. Operaciones con sucesos.
    • 3.4.1. Unión de sucesos ( A ∪ B ).
    • 3.4.2. Intersección de sucesos ( A ∩ B ).
    • 3.4.3. Leyes de De Morgan
  • 3.5. Definición Axiomática de la Probabilidad.
  • 3.6. Otras definiciones de probabilidad
    • 3.6.1. Definición frecuencial de la probabilidad.
    • 3.6.2. Definición de Laplace
  • 3.7. Probabilidad Condicionada.
  • 3.8. Sucesos Independientes.
  • 3.9. Probabilidad de la intersección de sucesos.
  • 3.10. Probabilidad “a priori” y “a posteriori”.
  • 3.11. Probabilidad Total.
  • 3.12. Teorema de Bayes.
• 4. Variable Aleatoria Discreta
  • 4.1. Introducción
    • 4.1.1. Concepto de una variable aleatoria
    • 4.1.2. Función de distribución de una variable aleatoria
    • 4.1.3. Clasificación de una variable aleatoria discreta y contínua
      • 4.1.3.1. Variables aleatorias discretas
      • 4.1.3.2. Variables aleatorias contínuas
  • 4.2. Variables aleatorias discretas
    • 4.2.1. Función de masa de una variable aleatoria discreta Índice general
      • 4.2.1.1. Representación gráfica de la función de masa
    • 4.2.2. Distribución de probabilidad
      • 4.2.2.1. Ejemplo
    • 4.2.3. Función de distribución de una variable aleatoria discreta
      • 4.2.3.1. Representación gráfica de la función de distribución
      • 4.2.3.2. Cálculo de probabilidades a partir de la función de distribución
    • 4.2.4. Momentos con respecto al origen (α r )
      • 4.2.4.1. Esperanza matemática. Propiedades
    • 4.2.5. Momentos respecto a la esperanza
      • 4.2.5.1. Varianza. Propiedades
      • 4.2.5.2. Desviación Típica
    • 4.2.6. Función característica. Propiedades
    • 4.2.7. Algunas distribuciones discretas
      • 4.2.7.1. Distribución de Bernoulli B ( p )
      • 4.2.7.2. Distribución Binomial B ( n , p )
      • 4.2.7.3. Distribución de Poisson P (λ)
• 5. Variable Aleatoria Contínua
  • 5.1. Función de densidad
  • 5.2. Función de distribución
  • 5.3. Momentos con respecto al origen
  • 5.4. Momentos respecto a la esperanza
  • 5.5. Función característica. Propiedades
  • 5.6. Algunas distribuciones contínuas
    • 5.6.1. Distribución uniforme
      • 5.6.1.1. Función de densidad
      • 5.6.1.2. Función de distribución
      • 5.6.1.3. Esperanza
      • 5.6.1.4. Varianza
      • 5.6.1.5. Función característica
    • 5.6.2. Distribución normal N ( μ , σ)
      • 5.6.2.1. Función de densidad
      • 5.6.2.2. Función de distribución
      • 5.6.2.3. Esperanza
      • 5.6.2.4. Varianza
      • 5.6.2.5. Función característica
    • 5.6.3. Distribución normal estándar N ( 0 , 1 )
      • 5.6.3.1. Función de densidad
      • 5.6.3.2. Función de distribución
      • 5.6.3.3. Esperanza
      • 5.6.3.4. Varianza
      • 5.6.3.5. Función característica
  • 5.7. Variable Tipificada
  • 5.8. Teorema central del límite Índice general
  • 5.9. Aproximación de una distribución binomial mediante una distribución normal
• 6. Variables Aleatorias Bidimensionales
  • 6.1. Concepto de variable aleatoria bidimensional
  • 6.2. Clasificación
  • 6.3. Distribuciones conjuntas. Función de distribución conjunta
    • 6.3.1. Variables discretas
    • 6.3.2. Variables contínuas
      • 6.3.2.1. Función de densidad conjunta f ( x , y )
      • 6.3.2.2. Función de distribución F ( x , y )
  • 6.4. Distribuciones marginales. Funciones de distribuciones marginales
    • 6.4.1. Variables discretas
      • 6.4.1.1. Distribución marginal de ξ
      • 6.4.1.2. Distribución marginal de ξ
    • 6.4.2. Variables contínuas
  • 6.5. Distribuciones condicionadas. Funciones de distribuciones condicionadas
    • 6.5.1. Variables discretas
    • 6.5.2. Variables contínuas
  • 6.6. Independencia estocástica
    • 6.6.1. Variables discretas
    • 6.6.2. Variables contínuas
  • 6.7. Momentos de la distribución conjunta
    • 6.7.1. Momentos respecto al origen
      • 6.7.1.1. Variables discretas
      • 6.7.1.2. Variables contínuas
    • 6.7.2. Momentos respecto a la media
      • 6.7.2.1. Variables discretas
      • 6.7.2.2. Variables contínuas
  • 6.8. Vinculación entre variables aleatorias: correlación y regresión
    • 6.8.1. Recta de regresión de ξ 2 sobre ξ
    • 6.8.2. Recta de regresión de ξ 1 sobre ξ
    • 6.8.3. Coeficiente de correlación lineal
• 7. Teoría de Muestras
  • 7.1. Introducción
  • 7.2. Muestreo aleatorio simple (m.a.s.)
  • 7.3. Concepto de estadístico
  • 7.4. Algunos estadísticos
    • 7.4.1. Media muestral
      • 7.4.1.1. Esperanza de la media muestral
      • 7.4.1.2. Varianza de la media muestral
    • 7.4.2. Varianza muestral
    • 7.4.3. Desviación típica muestral
    • 7.4.4. Cuasivarianza muestral Índice general
    • 7.4.5. Diferencia de medias muestrales
    • 7.4.6. Proporción muestral
      • 7.4.6.1. Esperanza de la proporción muestral
      • 7.4.6.2. Varianza de la proporción muestral
  • 7.5. Algunas distribuciones contínuas
    • 7.5.1. χ^2 de PEARSON
    • 7.5.2. t de STUDENT
    • 7.5.3. F de SNEDECOR
  • 7.6. Distribución en el muestreo de poblaciones normales
    • 7.6.1. Media muestral
    • 7.6.2. Varianza muestral
    • 7.6.3. Cuasivarianza muestral
    • 7.6.4. Diferencia de medias muestrales
    • 7.6.5. Proporción muestral
• 8. Estimación Paramétrica
  • 8.1. Estimación puntual
    • 8.1.1. Concepto de estimador puntual
    • 8.1.2. Propiedades de los estimadores
    • 8.1.3. Métodos de estimación puntual
      • 8.1.3.1. Método de los momentos
      • 8.1.3.2. Método de máxima verosimilitud
  • 8.2. Estimación por intervalos
    • 8.2.1. Conceptos básicos
    • 8.2.2. Algunos intervalos de confianza

1 Estadística Descriptiva

1.1. Introducción.

Existen dos formas de interpretar el término "estadística":

Se entiende por estadística, cualquier colección de datos numéricos clasificados según un criterio. (^1) Es la ciencia que utiliza los números para el estudio de las leyes que dependen del azar. Tratando de descubrir mediante el razonamiento inductivo la causa general a la que obe- dece el modelo particularmente analizado.

En la vida cotidiana el hombre protagoniza dos tipos de fenómenos:

Deterministas : aquellos que dadas las mismas condiciones se obtienen los mismos resul- tados.

Aleatorios : aquellos que dadas las mismas condiciones se obtienen distintos resultados (lanzar un dado). Se suele decir que están regidos por la ley del azar.

La estadística descriptiva trata de la descripción numérica de conjuntos, siendo particularmente útil cuando el número de elementos del conjunto es elevado. No pretende sacar conclusiones del conjunto, solo pretende describirlo.

1.2. Variables Estadísticas.

Estudiaremos dos tipos de variables:

Variables cualitativas : No toman valores númericos y describen cualidades. Se representan con las primeras letras del abecedario en mayúsculas. Ej: A, color de pelo.

Variables cuantitativas : Toman valores numéricos y se utilizan si el carácter que quere- mos valorar es susceptible a la medida. Se representan con las ultimas letras del abecedario en mayúsculas. Ej: X (altura), Y (peso). (^1) Es la definición académico-científica

1 Estadística Descriptiva

1.4.4. Frecuencia Relativa Acumulada ( Fi ).

Es la suma de las frecuencias relativas hasta un determinado valor ( i ).

1.5. Distribución de Frecuencias.

Es el conjunto de todos los valores que ha tomado la variable estadística acompañados de sus correspondientes frecuencias. Según cómo estén agrupados los datos tendremos dos tipos de distribuciones:

1.5.1. Distribuciones no agrupadas.

Una vez recogida la información, esta se dispone asociando a cada valor de la variable sus correspondientes frecuencias. Se representan en una tabla como la que sigue:

xi ni fi Ni Fi x 1 n 1 f 1 N 1 F 1 x 2 n 2 f 2 N 2 F 2 .. .

xn nn fn Nn Fn N 1

1.5.2. Distribuciones agrupadas.

Los datos se agrupan en intervalos cuando el número de valores que ha tomado la variable estadística es lo sufucientemente grande. Se agrupan para optimizar el tratamiento de la información. El número de intervalos está, generalmente, entre 4 y 15, no siendo nunca superior al 10 % de los datos.

√Una regla muy utilizada para elegir el número de intervalos es tomar el entero más próximo a n , siendo n el número de datos. Se representa en una tabla como la siguiente:

Li → Li + 1 ni fi Ni Fi L 0 → L 1 n 1 f 1 N 1 F 1 L 1 → L 2 n 2 f 2 N 2 F 2 .. .

Ln − 1 → Ln nn fn Nn Fn N 1

Nota: Los intervalos son cerrados por la derecha y abiertos por la izquierda [∗, ∗).

1 Estadística Descriptiva

1.6. Amplitud del Intervalo y Marca de Clase.

1.6.1. Amplitud del Intervalo ( ci ).

Es la diferencia entre el valor superior e inferior de un intervalo.

ci = Li + 1 − Li

1.6.2. Marca de Clase ( xi ).

Hace referencia al punto medio del intervalo. Se utiliza para calcular la media de la distribu- ción.

xi = Li + 1 + Li 2

1.7. Representaciones Gráficas.

1.7.1. Diagrama de Barras.

Se utiliza para variables discretas y en general para distribuciones no agrupadas. Ver figura 1.1.

ni

xi

Figura 1.1: Diagrama de barras.

1.7.2. Diagrama de Frecuencias Acumuladas.

Se representan las frecuencias acumuladas en el eje de ordenadas ( y ) y los valores que toma la variable en el eje de abscisas ( x ). Ver figura 1.

1.7.3. Histograma de Frecuencias.

Se utiliza para datos agrupados y se construye levantando sobre cada intervalo un rectángulo de área proporcional a la frecuencia absoluta ( ni ) correspondiente a ese intervalo. Dependiendo si los intervalos son o no uniformes se procederá de la siguiente forma:

1 Estadística Descriptiva

La suma de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a la media es siempre nula.

n ∑ i = 1

( xi − x ) ni = 0

Si a todos los valores de la variable les sumamos una constante, es decir, les hacemos un cambio de origen, la media queda también sumada por esa constante.

Si a todos los valores de la variable les multiplicamos por una constante, es decir, les hacemos un cambio de escala, la media también queda multiplicada por esa constante.

1.8.2. Mediana ( Me ).

Es el valor de la distribución que deja a ambos lados el mismo número de observaciones. Para calcularla hay que ordenar las observaciones de menor a mayor. Es decir, la mediana es el valor que ocupa el lugar central si el número de observaciones es impar. Si el número de datos es par, podrá decirse que existen dos valores medianos y, en tal caso se calcula la media de los valores medianos. Ej: { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } Me = 3 Ej: { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } Me = 3 + 2 4 = 3 , 5 La mediana puede definirse también como el valor que tiene una distribución acumulada igual a N 2. Para calcularla distinguiremos de nuevo si los datos están o no agrupados:

Datos no agrupados :

• Los datos no se repiten (frecuencias unitarias): se hace como en los ejemplos ante- riores.
• Los datos se repiten : tenemos que seguir los siguientes pasos:
  1. Calcular las frecuencias absolutas acumuladas ( Ni ).
  2. Calcular el número de observaciones que tiene la muestra dividido entre 2 ( N 2 ). Si N 2 = Ni −→ Me = xi + 2 xi +^1 Si N 2 6 = Ni −→ Me =valor de la variable cuya Ni sea la inmediatamente superior a N 2

Ejemplo: xi ni Ni 0 2 2 1 3 5 2 4 9 3 1 10 x = 1410 = 1 , 4 Me = 1 + 2 2 = 1 ,5 (porque N 2 = Ni −→ 102 = 5)

1 Estadística Descriptiva

Ejemplo: xi ni Ni 0 2 2 1 4 6 2 3 9 3 1 10 x = 1410 = 1 , 4 N 2 =^ 5, no coincide con ningún^ Ni ,^ por tanto^ Me^ =^1 Datos agrupados : tenemos que seguir los siguientes pasos:

1. Calcular las frecuencias absolutas acumuladas ( Ni ).
2. Calcular el número de observaciones que tiene la muestra dividido entre 2 ( N 2 ). Si N 2 = Ni −→ Me = Li + 1 Si N 2 6 = Ni −→ El intervalo^3 donde aparezca la Ni inmediatamente superior a N 2 es el que contiene a la mediana, que calcularemos mediante la siguiente fórmula:

Me = Li +

N 2 −^ Ni −^1 ni

ci

Ejemplo: Li → Li + 1 ni Ni ci 2 - 4 4 4 2 4 - 6 10 14 2 6 - 8 40 54 2 8 - 10 20 74 2 10 - 12 1 75 2 N 2 =^

75 2 =^37 ,^5 Me = 6 + 37 ,^540 − 142 = 7 , 175

Ejemplo: Li → Li + 1 ni Ni ci 2 - 4 2 2 2 4 - 6 3 5 2 6 - 8 5 10 2 N 2 =^

10 2 =^5 Me = 6

(^3) Se le conoce como “intervalo mediano”

1 Estadística Descriptiva

Datos agrupados : Si r k N = Ni −→ Cuantil = Extremo superior del intervalo Si r k N 6 = Ni −→ Cuantil = Li +

r k N − Ni − 1 ni ci

Ejemplo: Calcular el primer y el tercer cuartil ( C 1 y C 3 ) de la siguiente distribución:

xi ni Ni 0 2 2 1 3 5 2 10 15 3 16 31 4 5 36 6 5 41

Para calcular el primer cuartil tomamos r = 1 y k = 4, por tanto tenemos: r k N = 14 41 = 10 ,25. Cogemos el valor de Ni inmediatamente superior que es 15 y por tanto C 1 = 2. Para calcular el tercer cuartil tomamos r = 3 y k = 4, por tanto tenemos: (^) kr N = 34 41 = 30 ,75. Cogemos el valor de Ni inmediatamente superior que es 31 y por tanto C 3 = 3.

Ejemplo: Calcular el primer y el tercer cuartil ( C 1 y C 3 ) de la siguiente distribución:

Li → Li + 1 ni Ni 20 - 25 5 5 25 - 30 9 14 30 - 35 14 28 35 - 40 20 48 40 - 45 26 74 45 - 50 18 92 50 - 55 7 99 55 - 60 11 110

Para calcular el primer cuartil tomamos r = 1 y k = 4, por tanto tenemos: r k N = 14 110 = 27 , 25 Calculamos N 2 = 55 Como r k N no coincide con ningún Ni tenemos que aplicar la fórmula: Li + kr N − Ni −^1 ni ci^ donde Li es el extremo inferior del intervalo en el que Ni es inmediatamente superior a N 2. Por tanto: Li +

r k N − Ni − 1 ni ci^ =^30 +^

27 , 25 − 14 14 5 =^34 ,^82 Para calcular el tercer cuartil tomamos r = 3 y k = 4, por tanto tenemos: r k N = 34 110 = 82 , 5 Calculamos N 2 = 55

1 Estadística Descriptiva

Como r k N no coincide con ningún Ni tenemos que proceder de la misma forma que antes: Li +

r k N − Ni − 1 ni ci^ =^30 +^

82 , 5 − 74 18 5 =^47 ,^36

1.9. Medidas de Dispersión.

1.9.1. Recorrido o Rango.

Será la diferencia entre el valor máximo y mínimo de la distribución.

D = xM − xm

1.9.2. Recorrido Intercuantílico.

Será la diferencia entre el mayor y el menor cuantil. Por ejemplo, para los cuartiles sería RI = C 3 − C 1

1.9.3. Varianza

S^2 x

Es una medida de dispersión de los valores de la variable con respecto a la media.

S^2 x = ∑

n i = 1 ( xi^ −^ x ) (^2) ni N

S^2 x = ∑

ni = 1 ( xi − x ) (^2) ni N =^

∑ ni = 1 ( x^2 i + x^2 − 2 xix ) ni N =^

∑ ni = 1 x^2 i ni N +^

x^2 N N −^2 x^

∑ ni = 1 xini N =^

∑ ni = 1 x^2 i ni N +^ x (^2) − 2 x (^2) = = ∑

ni = 1 x (^2) i ni N −^ x

2 Propiedades:

S^2 x ≥ 0

Si a todos los valores de la variable les sumamos una constante, es decir, hacemos un cambio de origen, la varianza no se ve afectada. xi → x ; x ′ i = xi + k

S^2 x ′ = ∑ ni = 1 ( x ′ i −^ x ′)^2 ni N Si a todos los valores de la variable les multiplicamos por una constante, la varianza queda afectada por la constante, concretamente, multiplicada por la constante al cuadrado.

S^2 x ′ = k^2 S^2 x

Nota: Las unidades de la varianza serán las mismas que las de la variable elevadas al cuadrado.

1 Estadística Descriptiva

Problema Consideremos una variable estadísitica cuya media aritmética es 70, y cuya desvia- ción típica es 10, sea el valor de la variable en la observación i-ésima igual a 90. Calcular el valor tipificado e interpretar su significado.

zi = xi − x Sx

El valor de la variable está dos veces la desviación típica por encima de la media.

Calcular ahora para una observación i-ésima igual a 60.

z ′ i =

El valor de la variable está una vez la desviación típica por debajo de la media.

Problema Un estudiante obtiene en matemáticas una nota de 8.5, siendo 7.8 la nota media de la asignatura y con una desviación típica de 1.3. En estadística la nota media es de 6.3 y la desviación típica 1.65, el estudiante obtiene una nota de 7.2. Calcula:

¿En qué asignatura obtiene la mejor puntuación relativa?

zM =

zE =

Por tanto, la mayor puntuación relativa la obtiene en estadística.

¿En cuál de las dos asignaturas presenta la nota una mayor dispersión relativa?

CVM =

SM

xM

CVE =

SE

xE

La mayor dispersión se obtiene también en estadística.

1.10. Momentos de la Distribución.

Son unos valores que caracterizan la distribución. Distinguiremos dos tipos:

1 Estadística Descriptiva

1.10.1. Momentos respecto al origen.

Al momento de orden r respecto al origen lo llamaremos α r y lo calcularemos según la si- guiente fórmula:

α r = ∑ ni = 1 xri ni N Casos particulares:

Si r = 0 −→ α 0 = ∑

ni = 1 x (^0) i ni N =^

∑ ni = 1 ni N =^1

Si r = 1 −→ α 1 = ∑

ni = 1 x (^1) i ni N =^ x

Si r = 2 −→ α 2 = ∑

ni = 1 x (^2) i ni N

1.10.2. Momentos respecto a la media.

Al momento de orden s respecto a la media lo llamaremos ms y, lo calcularemos según la siguiente fórmula:

ms = ∑ ni = 1 ( xi −^ x ) sni N Casos particulares:

Si s = 0 −→ m 0 = ∑

ni = 1 ( xi − x ) (^0) ni N =^

∑ ni = 1 ni N =^

N N =^1

Si s = 1 −→ m 1 = ∑

ni = 1 ( xi − x ) (^1) ni N =

Si s = 2 −→ m 2 = ∑

ni = 1 ( xi − x ) (^2) ni N =^ S

(^2) x

Nota: Cómo expresar la varianza en función de los momentos.

S^2 x = ∑ ni = 1 ( xi −^ x )^2 ni N

∑ ni = 1 x^2 i ni N − x^2 = a 2 − a^21

Problema Un fabricante de tubos de televisión dispone de dos tipos de tubos, A y B. Los tubos tienen una duración media de 1495 h. y 1875 h. respectivamente. Las desviaciones típicas son 280 para A y 310 para B. Determinar qué tubo presenta mayor dispersión absoluta y cuál presente mayor dispersión relativa.

A = 1495 y SA = 280 (^4) Por la primera propiedad de la media.