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Univ. de Alcal´a de Henares Ingenier´ıa de Telecomunicaci´on C´alculo. Segundo parcial. Curso 2004-
Diferenciabilidad.
1. Definici´on de funci´on diferenciable
Despu´es del estudio de los l´ımites de funciones de dos variables retomamos la discusi´on sobre diferenciabilidad, y aprovechamos para fijar en una definici´on y un teorema lo que hemos avanzado hasta ahora.
Definici´on 1 (Funci´on diferenciable).
La funci´on z = f (x, y) es diferenciable en el punto p = (x 0 , y 0 ) si existen unos n´umeros A y B tales que l´ım (x,y)→(x 0 ,y 0 )
f (x, y) − (f (x 0 , y 0 ) + A(x − x 0 ) + B(y − y 0 )) √ (x − x 0 )^2 + (y − y 0 )^2
En ese caso diremos que el plano z = f (x 0 , y 0 ) + A(x − x 0 ) + B(y − y 0 ) es el plano tangente a la gr´afica de f en (x 0 , y 0 )
Y el teorema es este:
Teorema 2.
Para que la funci´on f sea diferenciable en (x 0 , y 0 ) es necesario que existan sus derivadas parciales en ese punto. Y en ese caso el plano tangente es el plano
z = f (x 0 , y 0 ) +
∂f ∂x
(x 0 ,y 0 )
· (x − x 0 ) +
∂f ∂y
(x 0 ,y 0 )
· (y − y 0 )
Por supuesto, se puede usar directamente la definici´on para probar que una funci´on es dife- renciable en un punto. Para ello:
- Debemos empezar por calcular las derivadas parciales en ese punto (ya sea mediante las reglas de derivaci´on, o usando la definici´on si no es posible aplicar las reglas).
- Despu´es debemos demostrar que se cumple
l´ım (x,y)→(x 0 ,y 0 )
f (x, y) −
f (x 0 , y 0 ) +
∂f ∂x
(x 0 ,y 0 )
· (x − x 0 ) +
∂f ∂y
(x 0 ,y 0 )
· (y − y 0 )
(x − x 0 )^2 + (y − y 0 )^2
Veamos un ejemplo elemental de demostraci´on.
Ejemplo 3. La funci´on f (x, y) = x^2 + 2y^2 es diferenciable en el punto (x 0 , y 0 ) = (1, 2). En efecto, en primer lugar sus derivadas parciales existen y valen ( ∂f ∂x
(1,2)
∂f ∂y
(1,2)
As´ı que el ´unico candidato posible a ser el plano tangente es
z = f (1, 2) +
∂f ∂x
(1,2)
· (x − 1) +
∂f ∂y
(1,2)
· (y − 2) = 9 + 2(x − 1) + 8(y − 2)
y para demostrar que f es diferenciable tenemos que demostrar que se cumple
l´ım (x,y)→(1,2)
(x^2 + 2y^2 ) − (9 + 2(x − 1) + 8(y − 2)) √ (x − 1)^2 + (y − 2)^2
Para demostrar esto, empezamos por trasladar el problema al origen mediante el cambio de variables u = x − 1 , v = y − 2. De esa forma, se trata de demostrar que:
l´ım (u,v)→(0,0)
((u + 1)^2 + 2(v + 2)^2 ) − (9 + 2u + 8v) √ u^2 + v^2
y si se desarrollan los par´entesis se obtiene
l´ım (u,v)→(0,0)
u^2 + 2v^2 √ u^2 + v^2
Y ahora observamos que |u^2 + 2v^2 | ≤ 2(u^2 + v^2 )
con lo que (^) ∣ ∣ ∣∣^ u
(^2) + 2v 2 √ u^2 + v^2
∣∣^ 2(u
(^2) + v (^2) ) √ u^2 + v^2
u^2 + v^2
A partir de aqu´ı (o tambi´en usando coordenadas polares) se concluye f´acilmente la demostraci´on.
1.1. Una condici´on suficiente de diferenciabilidad
El m´etodo que acabamos de ver para demostrar que f es diferenciable es demasiado laborioso. Para que nuestro trabajo sea sencillo necesitamos una forma m´as sencilla de establecer que una funci´on es diferenciable. El teorema que vamos a ver nos proporciona precisamente esa herramienta, y se basa en una propiedad de continuidad de las derivadas parciales.
Teorema 4 (Condici´on suficiente de diferenciabilidad).
Sea z = f (x, y) una funci´on de dos variables, y p = (x 0 , y 0 ) un punto en el que queremos demostrar que f es diferenciable. Si se puede encontrar una bola B(p, r) tal que las dos derivadas parciales ∂f ∂x
∂f ∂y existen y son continuas en todos los puntos de la bola, entonces f es diferenciable en p.
Muchas de las funciones que utilizamos se obtienen a partir de funciones elementales haciendo operaciones sencillas. Puesto que hemos visto que es f´acil demostrar la continuidad de esas funciones, se puede usar este teorema para analizar la diferenciabilidad de esas funciones. Veamos algunos ejemplos.
1.2. Operaciones con funciones diferenciables
Al igual que sucede con la continuidad, la propiedad de ser diferenciable se conserva cuando hacemos operaciones elementales. Es decir, que se tiene este resultado:
Teorema 6.[ Si f y g son diferenciables en el punto p entonces las funciones f ± g y f · g tambi´en son diferenciables en p. Si adem´as g(p) 6 = 0, entonces la funci´on fg es diferenciable en p.
Probablemente el lector se pregunte que sucede con la composici´on de funciones. Volveremos sobre este asunto m´as adelante, pero primero tendremos que generalizar toda la discusi´on al caso de funciones de n variables.
2. Probando que f no es diferenciable
¿C´omo se demuestra que una funci´on no es diferenciable? En primer lugar, usamos que una funci´on, para ser diferenciable, tiene que cumplir necesariamente algunas propiedades. Si comprobamos que alguna de estas propiedades falla, habremos demostrado inmediatamente que f no puede ser diferenciable. Por ejemplo:
Proposici´on 7 (Diferenciable implica derivable).
[ Si no existen las derivadas parciales de f en p, entonces f no es diferenciable en ese punto.
Otro resultado con una utilidad similar es el siguiente:
Proposici´on 8 (Diferenciable implica continua).
[ Si z = f (x, y) es diferenciable en (x 0 , y 0 ), entonces es continua en ese punto.
Le´ıda al rev´es esta proposici´on nos interesa m´as: si descubrimos que f no es continua en (x 0 , y 0 ), autom´aticamente sabremos que no es diferenciable en ese punto.
Esbozo de la demostraci´on. La demostraci´on de esta proposici´on es muy sencilla. Si f es diferenciable, tiene que ser
l´ım (x,y)→(x 0 ,y 0 )
funci´on − (plano tangente) distancia entre (x, y) y (x 0 , y 0 )
y para que este l´ımite pueda ser 0 el l´ımite del numerador tiene que ser 0. As´ı que
l´ım (x,y)→(x 0 ,y 0 )
f (x, y) − (plano tangente) = 0 (2)
El plano tangente viene definido por un polinomio de grado 1, y se obtiene f´acilmente que:
l´ım (x,y)→(x 0 ,y 0 ) (plano tangente) = l´ım (x,y)→(x 0 ,y 0 ) (f (x 0 , y 0 ) + A(x − x 0 ) + B(y − y 0 )) = f (x 0 , y 0 )
Por lo tanto, para que el l´ımite del numerador anterior (2) sea cero, es necesario que se cumpla:
l´ım (x,y)→(x 0 ,y 0 )
f (x, y) = f (x 0 , y 0 )
Y eso significa precisamente que f tiene que ser continua en (x 0 , y 0 ). §.
Comentarios adicionales sobre el an´alisis de la diferenciabilidad. A pesar de estos resultados, sigue habiendo casos en los que no es posible decidir f´acilmente lo que ocurre. Su- pongamos que z = f (x, y) es una funci´on que resulta ser continua en p = (x 0 , y 0 ) y cuyas derivadas parciales existen en p. Pero, por otra parte, supongamos que las derivadas parciales no son continuas en p. En esta situaci´on, ninguno de los teoremas que hemos visto sirve, ni para probar que f es diferenciable, ni para probar que no lo es. En este caso deber´ıamos analizar el l´ımite de la definici´on:
l´ım (x,y)→(x 0 ,y 0 )
f (x, y) −
f (x 0 , y 0 ) +
∂f ∂x
(x 0 ,y 0 )
· (x − x 0 ) +
∂f ∂y
(x 0 ,y 0 )
· (y − y 0 )
(x − x 0 )^2 + (y − y 0 )^2
y tratar de decidir si este l´ımite es 0 (y entonces f es diferenciable) o si no es 0 o no existe (con lo que f no ser´ıa diferenciable). Para evitar confusiones, queremos mencionar expl´ıcitamente que el rec´ıproco de la condici´on suficiente de diferenciabilidad (teorema 4, de la p´agina 2), no es cierto. Es decir, aunque las deri- vadas parciales no sean continuas en un punto p, puede suceder que la funci´on sea diferenciable en ese punto. Veremos ejemplos de este tipo de situaciones en los ejercicios.
Y algunos comentarios adicionales m´as sobre derivabilidad. Al estudiar funciones de dos variables nos hemos visto obligados a distinguir entre las nociones de derivabilidad (existen- cia de derivadas parciales) y diferenciabilidad (el plano tangente es una buena aproximaci´on). Queremos subrayar aqu´ı que la derivabilidad es una noci´on muy d´ebil, de la que se pueden de- ducir muy pocas consecuencias. La existencia de derivadas parciales depende exclusivamente del comportamiento de f en dos direcciones del plano. Y, como hemos visto, esa informaci´on puede ser muy poco representativa del comportamiento global de la funci´on. En particular: f puede tener derivadas parciales en un punto p, sin ser ni siquiera continua en ese punto. Comp´arese esta afirmaci´on con la proposici´on 8 de la p´agina 4, en la que vimos que ser diferenciable implica ser continua. Veremos tambi´en ejemplos de este tipo en los ejercicios.
