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1. DIFERENCIABILIDAD EN VARIAS VARIABLES
1.1. DERIVADAS DIRECCIONALES Y PARCIALES
Definición 1.1. Sea f : Rn^ → R, ¯a ∈ Rn^ y ¯v ∈ Rn. Se define la derivada direccional de f en a¯ y en la dirección de v¯ como:
Dv¯f (¯a) = l´ım h→ 0
f
¯a + h (^) ||¯v¯v||
− f (¯a) h Si v¯ es unitario, tenemos
D¯vf (¯a) = l´ım h→ 0
f (¯a + h¯v) − f (¯a) h
Definición 1.2. Derivadas parciales. Sea f : Rn^ → R y ¯a ∈ Rn. Entonces se define la derivada parcial i-ésima en ¯a como
∂f ∂xi
(¯a) = Dei f (¯a) = l´ım h→ 0
f (¯a + he¯i) − f (¯a) h
= l´ hım→ 0
f (a 1 ,... , ai + h,... , an) − f (a 1 ,... , an) h
siendo ¯ei = (0,... , (^) ︸︷︷︸ 1 i)
,... , 0) el vector canónico i-ésimo (||¯ei|| = 1).
Denotamos a las derivadas de segundo orden por
∂^2 f ∂xi∂xj
∂xi
∂f ∂xj
Se ha derivado primero con respecto a xj y luego con respecto a xi.
∂^2 f ∂x^2 i
(^2) f ∂xi∂xi
∂xi
∂f ∂xi
Se ha derivado dos veces con respecto a xi.
Teorema 1.1. Derivadas parciales mixtas. Teorema de Schwarz.
Sea f : Rn^ → R tal que ∂f ∂xi
, ∂f ∂xj
(^2) f ∂xi∂xj
(^2) f ∂xj ∂xi
son continuas en un
entorno de ¯a. Entonces
∂^2 f ∂xi∂xj^ (¯a) =^
∂^2 f ∂xj ∂xi^ (¯a)
2 1 DIFERENCIABILIDAD EN VARIAS VARIABLES
1.2. GRADIENTES Y DIFERENCIABILIDAD
Definición 1.3. Sea f : Rn^ → R y ¯a ∈ Rn. Entonces se define el gradiente de f en a¯ como
∇f (¯a) =
∂f ∂x 1
(¯a),... , ∂f ∂xn
(¯a)
Para que exista ∇f (¯a) deben existir todas las derivadas parciales en ¯a.
Definición 1.4. Sea f : Rn^ → R y ¯a ∈ Rn. Se dice que f es diferenciable en ¯a si se verifica que:
- ∃ (^) ∂x∂f i
(¯a) para todo i = 1,... , n 2. (^) ¯l´ım h→¯ 0
f (¯a + ¯h) − f (¯a) − ∇f (¯a)¯h ||¯h||
La propiedad 2. también se escribe como (^) x ¯l´ım→¯a
f (¯x) − f (¯a) − ∇f (¯a)(¯x − a¯) ||¯x − ¯a|| = 0 En tal caso, la diferencial de f en ¯a se define como la aplicación lineal Df (¯a) : Rn^ → R tal que Df (¯a)(¯x) = ∇f (¯a)¯x.
Propiedades. Sea f : Rn^ → R con ¯a ∈ Rn.
- Si f es diferenciable en ¯a, f es continua en ¯a. El recíproco es falso (f (x, y) =
|xy| es continua en ¯a = (0, 0) pero no diferenciable).
- Si existe ¯v ∈ Rn^ tal que @ D¯vf (¯a), entonces f no es diferenciable en ¯a.
- Si (^) ∂x∂fi (¯x) son continuas en un entorno de ¯a, entonces f es diferenciable en a¯ (el recíproco es falso).
- Sean f, g : Rn^ → R diferenciables en ¯a ∈ Rn. Entonces 4.1. D(f + g)(¯a) = Df (¯a) + Dg(¯a) 4.2. D(f g)(¯a) = g(¯a)Df (¯a) + f (¯a)Dg(¯a) 4.3. D
( (^) f g
(¯a) = g(a)Df^ (a g)(−a)f 2 (a)Dg(a) En la regla del cociente se supone que g(a) 6 = 0.
Teorema 1.2. Sea f : Rn^ → R diferenciable en ¯a ∈ Rn^ y sea ¯u ∈ Rn^ un vector unitario. Entonces
D¯uf (¯a) = ∇f (¯a)¯u (producto escalar) Si u¯ no es unitario,
D¯uf (¯a) = ∇f (¯a)
¯u ||¯u||
4 1 DIFERENCIABILIDAD EN VARIAS VARIABLES
∂z ∂t =^
∂z ∂x
∂x ∂t +^
∂z ∂y
∂y ∂t Escrito matricialmente, queda
( (^) ∂z ∂s
∂z ∂t
( (^) ∂z ∂x
∂z ∂y
) (^ ∂x ∂s
∂x ∂y ∂t ∂s
∂y ∂t
Teorema 1.3. Teorema de la función implícita. Supongamos que F : Rn+1^ → R tiene derivadas parciales continuas y que el punto (¯x 0 , z 0 ) ∈ Rn+1^ (con x¯ 0 ∈ Rn^ y z 0 ∈ R) cumple que F (¯x 0 , z 0 ) = 0 y ∂F ∂z (¯x^0 , z^0 )^6 = 0. Entonces, la ecuación^ F^ (¯x, z) = 0^ define, en un entorno del punto (¯x 0 , z 0 ), a z como función implícita de x¯, esto es, se puede encontrar una función (única y diferenciable) f (¯x) = z definida en un entorno V de x¯ 0 que cumple F (¯x, f (¯x)) = 0 ∀x¯ ∈ V. La función f tendrá derivadas parciales:
∂f ∂xi
= ∂z ∂xi
∂F ∂xi ∂F ∂z
con i = 1,... , n y ¯x = (x 1 ,... , xn)
Teorema 1.4. Teorema de la función inversa. Sea f = (f 1 ,... , fn) : Rn^ → Rn^ tal que fi tiene derivadas parciales con- tinuas para todo i = 1,... , n y sea f (¯x 0 ) = ¯y 0. Si el determinante jacobiano |Jf (¯x 0 )| es distinto de cero, entonces la función f admite inversa f −^1 en un entorno de y¯ 0 = f (¯x 0 ). La función f −^1 tiene derivadas parciales continuas.
1.3. APLICACIONES
1.3.1. Derivadas direccionales máximas
Para una función diferenciable f : Rn^ → R el valor máximo de las derivadas direccionales de f en ¯a se alcanza en la dirección del vector gra- diente ∇f (¯a) y el valor absoluto de ésta es |Du,¯máxf (¯a)| = ||∇f (¯a)| |.
1.3.2. Estimación por incremento y diferencial total
Definición 1.6. Diferencial total de y = f (x 1 ,... , xn). Si y = f (x 1 ,... , xn) y ∆x 1 ,... , ∆xn son incrementos de x 1 ,... , xn, las diferenciales de las variables independientes x 1 ,... , xn son dx 1 = ∆x 1 ,... , dxn = ∆xn y la diferencial total de f se define como:
df = (^) ∂x∂f 1
dx 1 + · · · + (^) ∂x∂f n
dxn
Se verifica que si ∆x 1 ,... , ∆xn son pequeños, entonces
∆y ' ∂f ∂x 1
∆x 1 + · · · + ∂f ∂xn
∆xn
1.3 APLICACIONES 5
1.3.3. Geometría diferencial
- Planos tangentes y rectas normales a una superficie. Sea S una superficie definida en R^3 por la ecuación F (x, y, z) = 0 y sea a¯ = (a 1 , a 2 , a 3 ) ∈ S (F (¯a) = 0). Entonces, si F es diferenciable en ¯a, el plano tangente a S en a¯ es:
π ≡ {(x − a 1 ) ∂F ∂x
(¯a) + (y − a 2 ) ∂F ∂y
(¯a) + (z − a 3 ) ∂F ∂z
(¯a) = 0}
Observación 1.1. Un vector normal al plano tangente a S en ¯a es ∇F (¯a), y la recta normal a S en ¯a es
r ≡
x = a 1 + λ ∂F∂x (¯a) y = a 2 + λ ∂F∂y (¯a) z = a 3 + λ ∂F∂z (¯a) con λ ∈ R.
- Recta tangente y plano normal a una curva en el espacio. Sea C una curva en el espacio definida por la intersección de dos su- perficies
C =
F (x, y, z) = 0 G(x, y, z) = 0 y sea p¯ = (p 1 , p 2 , p 3 ) ∈ C (F (¯p) = G(¯p) = 0) con f y G diferenciables en p¯. Entonces, el vector tangente a C en p¯ es ¯u = (u 1 , u 2 , u 3 )
¯u = ∇F (¯p) × ∇G(¯p) =
−→ i −→ j −→ k ∂F ∂x (¯p)^
∂F ∂y (¯p)^
∂F ∂z (¯p) ∂G ∂x (¯p)^
∂G ∂y (¯p)^
∂G ∂z (¯p)
∂F ∂y (¯p)^
∂F ∂z (¯p) ∂G ∂y (¯p)^
∂G ∂z (¯p)
∣ ,^ −
∂F ∂x (¯p)^
∂F ∂z (¯p) ∂G ∂x (¯p)^
∂G ∂z (¯p)
∂F ∂x (¯p)^
∂F ∂y (¯p) ∂G ∂x (¯p)^
∂G ∂y (¯p)
1.3 APLICACIONES 7
- Un punto de ensilladura si para todo > 0 existen x,¯ y¯ ∈ B(¯a, ) tales que f (¯x) > f (¯a) y f (¯y) < f (¯a).
Definición 1.8. Sea f : Rn^ → R. Se dice que f tiene un punto crítico en ¯a si ∇f (¯a) = ¯ 0 o no existe alguna de las derivadas parciales (^) ∂x∂fi (¯a).
Observación 1.2. Dada la superficie S de ecuación z = f (x, y) (implíci- tamente F (x, y, z) = 0 con F (x, y, z) = f (x, y) − z) y dado a¯ = (a 1 , a 2 ), el plano tangente en p¯ = (a 1 , a 2 , f (a 1 , a 2 )) ∈ S es
π ≡ {(x − a 1 )
∂f ∂x (¯a) + (y^ −^ a^2 )^
∂f ∂y (¯a)^ −^ (z^ −^ f^ (¯a)) = 0} Si f tiene un punto crítico en ¯a, el plano tangente será z = a 3 = f (¯a) (plano horizontal), ya que ∂f∂x (¯a) = ∂f∂y (¯a) = 0. Por tanto, una condición necesaria para que f tenga en ¯a un extremo relativo es que ¯a sea un punto crítico de f.
Análisis de los puntos críticos
Definición 1.9. Sea f : Rn^ → R y ¯a ∈ Rn^ tal que existen y son continuas las derivadas de segundo orden (^) ∂x∂i^2 ∂xfj para todo i, j = 1,... , n en B(¯a, ). Entonces se define la matriz hessiana de f en ¯a como
Hf (¯a) =
∂^2 f ∂x^21 (¯a)^ · · ·^
∂^2 f ∂x 1 ∂xn (¯a) ..
....^
∂^2 f ∂xn∂x 1 (¯a)^ · · ·^
∂^2 f ∂x^2 n^ (¯a)
∂^2 f ∂xi∂xj^ (¯a)
Por el teorema de Schwarz, la matriz hessiana es simétrica. Llamaremos hessiano de f en ¯a al determinante de la matriz hessiana.
Teorema 1.5. En las condiciones de la definición anterior, sea ¯a un punto crítico de f. Entonces:
- Si Hf (¯a) es definida positiva, f tiene un mínimo local en ¯a.
8 1 DIFERENCIABILIDAD EN VARIAS VARIABLES
- Si Hf (¯a) es definida negativa, f tiene un máximo local en ¯a.
- Si Hf (¯a) es indefinida, f tiene un punto de ensilladura en ¯a.
Corolario 1.1. Sea f : R^2 → R en las condiciones de la última definición y sea ¯a un punto crítico de f con
Hf (¯a) =
A B
B C
y |Hf (¯a)| = D. Entonces:
- Si D < 0 , f tiene un punto de ensilladura en ¯a.
- Si D > 0 y A > 0 , f tiene un mínimo local en ¯a.
- Si D > 0 y A < 0 , f tiene un máximo local en ¯a.
- Si D = 0 no se concluye nada.
Multiplicadores de Lagrange
Cuando se intenta resolver un problema de máximos y mínimos sometido a ligaduras, se suele hacer uso de los multiplicadores de Lagrange. Si deseamos encontrar los extremos relativos de la función f (¯x) sometida a las ligaduras {g 1 (¯x) = 0,... , gr(¯x) = 0}, con f, g 1 ,... , gr derivables y con derivadas par- ciales continuas, se considera
F (¯x) = f (¯x) + λ 1 g 1 (¯x) + · · · + λrgr(¯x),
donde los λi son constantes denominadas multiplicadores de Lagrange. Los extremos condicionados de f serán puntos críticos de F.
Teorema 1.6. Teorema de Lagrange. Sean f (x, y) y g(x, y) con primeras derivadas parciales continuas y tales que f tiene un extremo en el punto (x 0 , y 0 ) sobre la curva de ligadura {g(x, y) = 0 }. Si ∇g(x 0 , y 0 ) 6 = 0, existe un número real λ tal que ∇f (x 0 , y 0 ) = λ∇g(x 0 , y 0 ).
Corolario 1.2. Método de los multiplicadores de Lagrange. Supongamos que f (x, y), sujeta a la ligadura {g(x, y) = 0}, tiene un extremo, donde f y g están en las condiciones del teorema de Lagrange. Para detectar los extremos de f basta resolver el sistema
{∇f (x, y) = λ∇g(x, y), g(x, y) = 0}
y evaluar f en cada uno de los puntos solución. El mayor y el menor de los valores obtenidos serán el máximo y el mínimo de f (x, y) sometida a la ligadura {g(x, y) = 0}.
