DIFERENCIABILIDAD
1. Dada la función de valor total:
yx
xyx
yxf +
−
=
α
24
),(
Si sabemos que la
x
Ef
es lo que varía porcentualmente el valor total ante
variaciones de x, determine el valor de
α
∈
R
que hace que, en el punto
(1,1) y en la dirección (1,0) esa variación (
x
Ef
) sea igual a
4
1
.
2. Dada la función:
2
1 2
1 2 1
( , )
x x
f x x x e e
= −
, halle su
( 1,0)
f
∇ −
. Para cualquier
dirección
1 2
( , )
v v
, ¿qué significa el resultado que obtenemos?.
3. Una empresa fabrica 2 productos A y B cuyos precios en el mercado
son de 30€ y 50€ respectivamente. Su función de costes totales es
1004
2
),( 2
2++−+−= xyyyx
x
yxC
,
siendo x e y las cantidades producidas de los productos A y B. Estudie el
comportamiento de la función de costes totales en el punto (1,4) y en la
dirección del vector (0,1).
4. Tenemos la siguiente función:
zyxzyxyxzyxf
22232
232),,( −−+=
¿existe alguna dirección
),,(
321
vvvv
=
en donde esa función sea creciente en
el punto (1,1,1)?
5. Estudie si la función
yx
yx
yxf −
+
=),(
tiene un comportamiento
creciente, decreciente o estacionario en el punto
)5,1(
=
a
y en la
dirección
)1,1(
=
v
.
6. Sea una empresa que produce 3 artículos a precios
16
x
p
=
,
12
y
p
=
y
20
z
p
=
, siendo los ingresos a obtener
zyxzyxI 201216),,(
+
+
=
, donde
x, y, z representan las cantidades producidas de cada uno de los tres
artículos. Por estudios realizados se sabe que los costes necesarios
para su fabricación siguen la siguiente función:
